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2016高考第一轮复习11.3变量间的相关关系


一轮复习讲义

变量间的相关关系

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.两个变量的线性相关 线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附 近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线 叫做回归直线. 2.回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线,

使得样本数据的点到它的距离的平方和最 小的方法叫做最小二乘法.

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要点梳理
(2)回归方程
^

忆一忆知识要点

方程 y = bx + a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中 a,b 是待定 参数.

?b ? ? (x ? ? ?a ? y-bx ?
i ?1 n i ?1

? ( x ? x )( y
i i

n

i

? y)

? (x y
=
i ?1 i

n

i

? n x y) ? nx
2

? x)

2

?x
i ?1

n

2 i

.

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[难点正本

疑点清源]

1.相关关系与函数关系的区别 相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是 一种确定性关系.例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关` 系 S=x2 就是函数关系.相关关系是一种非确定性关系, 即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系. 例如商 品的销售额与广告费是相关关系. 两个变量具有相关关系 是回归分析的前提.

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2.对回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法,它主要 解决三个问题: (1)确定两个变量之间是否有相关关系,如果有就找出它 们之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的 变化趋势; (3)求出线性回归方程.

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利用散点图判断两个变量 的相关关系
例 1 山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7 块并排、形状大小相 同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影 响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg). 施化肥量 x 棉花产量 y (1)画出散点图; (2)判断是否具有相关关系. 15 20 25 30 35 40 45 33 34 36 40 44 45 45 0 5 5 5 5 0 5

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(1)用 x 轴表示施化肥量,y 轴表示棉花产量,逐一画点. (2)根据散点图,分析两个变量是否存在相关关系.
解 (1)散点图如图所示

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(2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附近,所 以施化肥量 x 与产量 y 具有线性相关关系.

探究提高
散点图是由大量数据点分布构成的, 是定义在具有相关关系的 两个变量基础之上的, 对于性质不明确的两组数据可先作散点 图,直观地分析它们有无关系及关系的密切程度.

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变式训练 1
在某地区的 12~30 岁居民中随机抽取了 10 个人的身高和体重的 统计资料如下表: 身高(cm) 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重(kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54

根据上述数据,画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有 相关关系. 解 以 x 轴表示身高,y
轴表示体重,可得到相应 的散点图如图所示: 由散点图可知,两者之间具、

有相关关系,且为正相关.

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求线性回归方程
例 2 某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下: 年收入 x(万元) 年饮食支 出 y(万元) 2 0.9 4 1. 4 4 6 6 6 7 7 8 10

1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3

(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出是否 具有相关关系; (2)若(1)具有线性相关关系, 求出 y 关于 x 的线性回归方程.
画出散点图,判断其线性相关性,求出线性回归方程.

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(1)由题意知, 年收入 x 为解释变量, 年饮食支出 y 为预报

变量,作散点图如图所示.

从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出 具有线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间 的关系.

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2 (2)∵ x =6, y =1.83,∑ x i =406,∑xiyi=117.7, = = 10 i 1 ∴b= 10 i 1 i 1

10

10

∑ xiyi-10 x y =
2 2 ∑ x - 10 x i = i 1

≈0.172,

a= y -b x =1.83-0.172×6=0.798.
从而得到线性回归方程为y =0.172x+0.798.
^

探究提高
从本题可以看出, 求线性回归方程, 关键在于正确求出系数 a, b,由于计算量较大,所以计算时要仔细谨慎,分层进行,避 免因计算产生失误,特别注意,只有在散点图大体呈线性时, 求出的线性回归方程才有意义.

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变式训练 2
在 2011 年春节期间,某市物价部门对本市五个商场销售的某商 品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价 x 元和销 售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 9 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5
^

销售量 y 11

通过分析,发现销售量 y 与商品的价格 x 具有线性相关关系,
=-3.2x+40. 则销售量 y 关于商品的价格 x 的线性回归方程为y ____________
i 1 2 ∑ x y = 392 , x = 10 , y = 8 , ∑ x i i i =502.5, = = i 1 5 5

代入公式,得 b=-3.2,所以,a= y -b x =40,
故线性回归方程为y=-3.2x+40.
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利用线性回归方程对总体

进行估计
例 3 某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位: 万元)之间有 如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图; (2)求线性回归方程; (3)试预测宣传费支出为 10 万元时,销售额多大?

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画散点图,对变量的相关关系作出评估;求线性回归方程, 由线性回归方程进行回归分析预测.



(1)根据表中所列数据可得散点图如图所示:

25 250 (2)计算得: x = =5, y = =50, 5 5
2 ∑ x i =145,∑xiyi=1 380. = = i 1 i 1 5 5

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5

∑ xiyi-5 x y 1 380-5×5×50 i=1 于是可得 b= 5 = =6.5, 2 145 - 5 × 5 2 2 ∑ x - 5 x i =
i 1

a= y -b x =50-6.5×5=17.5,
因此,所求线性回归方程是y =6.5x+17.5.
(3)由上面求得的线性回归方程可知,当宣传费支出为 10 万元 时,y =6.5×10+17.5=82.5(万元), 即这种产品的销售额大约为 82.5 万元.
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探究提高
利用线性回归方程可以对总体进行预测估计, 线性回归方程将 部分观测值所反映的规律进行延伸, 是我们对有线性相关关系 的两个变量进行分析和控制的依据, 依据自变量的取值估计和 预报因变量的值,在现实生活中有广泛的应用.

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变式训练 3
下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的 产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回 归方程y =bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根 据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比 技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
^

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(1)散点图如下图:

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 (2) x = =4.5, y = =3.5, 4 4
4

∑ xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5, =
2 2 2 2 2 ∑ x i =3 +4 +5 +6 =86, = i 1 i 1 4

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4 i 1 ∴b= 4

∑ xiyi-4 x · y =
2 2 ∑ x - 4 x i = i 1

66.5-4×4.5×3.5 = =0.7, 86-4×4.52

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. ∴所求的线性回归方程为y =0.7x+0.35. (3)现在生产 100 吨甲产品用煤
y =0.7×100+0.35=70.35(吨), ∴90-70.35=19.65(吨).
∴比技改前大约降低 19.65 吨标准煤.
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答题模板
求线性回归方程问题
(14 分)一台机器使用时间较长,但还可以使用.它按不同的转 速生产出来的某机械零件有一些会有缺点, 每小时生产有缺点 零件的多少, 随机器运转的速度而变化, 下表为抽样试验结果: 转速 x(转/秒) 每小时生产有 缺点的零件数 y(件) 16 14 12 8

11 9

8

5

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(1)画出散点图判断 y 与 x 是否具有线性相关关系, 如果有, 求 线性回归方程; (2)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?(结果保 留整数)

审题视角
(1)在具有线性相关性的前提下,求线性回归方程;(2)利用 线性回归方程进行相关分析.

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规范解答 解 (1)散点图如图所示

根据散点图可直观判断 y 与 x 有线性相关关系.
4

[6 分]

x =12.5, y =8.25,∑ xiyi=438, =
2 2 4 x y =412.5,∑ x i =660,∑yi =291, = = i 1 i 1 4 i 1 4

[4 分]

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4

∑xiyi-4 x y b= 4 ≈0.728 6, 2 2 ∑ x i -4 x =
i=1 i 1

a= y -b x =8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5, ∴所求线性回归方程为y =0.728 6x-0.857 5.
(2)要使y ≤10?0.728 6x-0.857 5≤10, 所以 x≤14.901 9≈15. 所以机器的转速应控制在 15 转/秒以下. [14 分]
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^

[10 分]

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答题模板
第一步:判断两个变量的线性相关性; 第二步:求线性回归方程的斜率和截距; 第三步:确定线性回归方程; 第四步:根据线性回归方程对随机变量作出预测; 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点和答题规范.

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批阅笔记

(1)本题易错点有两个,一是散点图描点不准确,线性相关关系判 断不准;二是计算易出错. (2)如果不先判断线性相关性,我们虽然也可以求出 x 与 y 的线性 回归方程,但这时的线性回归方程也许没有任何实际价值,它也 就不能确定地反映变量 x 与 y 之间的变化规律,只有在 x 与 y 之 间具有相关关系时,求得的线性回归方程才具有实际意义.

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方法与技巧
1.求线性回归方程,关键在于正确求出系数 a,b,由于 a, b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计 算而产生错误.(注意线性回归方程中一次项系数为 b,常 数项为 a,这与一次函数的习惯表示不同.) 2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决: (1)确定特定量之间是否有相关关系, 如果有就找出它们之 间贴近的数学表达式;(2)根据一组观察值,预测变量的取 值及判断变量取值的变化趋势;(3)求出线性回归方程.

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失误与防范
1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方 法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才 有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义. 2.根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发 生的值.

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例1.为了对2008年某市中考成绩进行分析,所有成绩均按百分制 进行了折算. 在60分以上的全体同学中随机抽出 8位,他们的数 学分数从小到大排列是60,65,70,75, 80, 85, 90, 95,物理分 数从小到大排列是72, 77, 80, 84, 88, 90, 93, 95. (1)若规定 85分(包括85分)以上为优秀,求这 8位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀的概率; (2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表:
学生编号 数学分数x 物理分数y 化学分数z 1 60 72 67 2 65 77 72 3 70 80 76 4 75 84 80 5 80 88 84 6 85 90 87 7 90 93 90 8 95 95 92

①用变量y与x, z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学 的相关程度; ②求y与x, z与x的线性回归方程(系数精确到0.01),并用相关 指数比较所求回归模型的效果. 主页

(参考公式,数据如下)

? ?a ? ? bx ?, 回归直线方程 y

n ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? ? i ?1 ? ?b ? r? n 2 ? ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ? ? ? y ? bx ? ?a

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

2

x ? 77.5, y ? 85, z ? 81, ? ( xi ? x )2 ? 1050, ? ( yi ? y )2 ? 456,
i ?1 i ?1

8

8

? (z
i ?1

8

2 2 ? z ) ? 550, ( x ? x )( y ? y ) ? 688, ? i i i i ?1

8

?(x
i ?1

8

i

? x )( zi ? z ) ? 755,
2

2 ? ( y ? y ) ? 7. ? i i ?1

8

2 ? ( z ? z ) ? 94, 1050 ? 32.4, 456 ? 21.4, 550 ? 23.5. ? i i ?1

8

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解: (1)这8位同学中恰有3倍同学的数学和物理分数均为优秀, 则 需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应, 种 3 3 数是 C4 A3 , 然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应,种数是 A5 5,
3 3 5 根据乘法原理,满足条件的种数是 C4 A3 A5 ,

这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有 A8 8, 3 3 5 C4 A 3 A5 1 . 故所求的概率为 P ? ? 14 A8 8,
(2)①变量y与x、z与x的相关系数分别是 755 688 r? ? 0.99, r ? ? ? 0.99. 32.4 ? 21.4 32.4 ? 23.5

可以看出,物理与数学、化学与数学的成绩都 是高度正相关.
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? ?a ??x? ? a ? ? bx ?, z ? ?. ??b ②设y与x、z与x的线性回归方程分别是 y

根据所给的数据,可以计算出
? ? 688 ? 0.66, a b ? ? 85 ? 0.66 ? 77.5 ? 33.85, 1050 ? ? 755 ? 0.72, a ? ? 81 ? 0.72 ? 77.5 ? 25.20. b 1050

? ? 0.66 x ? 33.85, 所以 y与x、z与x的回归方程分别是 y ? ? 0.75 x ? 25.20. z
又y与x、z与x的相关指数是
R2 ? 1 ? 7 ? 0.98, 456 R? 2 ? 1 ? 94 ? 0.83. 550

? ? 0.66 x ? 33.85 比回归模型 z ? ? 0.75 x ? 25.20 故回归模型 y
的拟合的效果好.
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1. (2010 ? 佛山一模)今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了
了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x(℃)之间的关系,随 机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表:
月平均气温x(℃) 月销售量y(件) 17 24 13 33 8 40 2 55

? ?a ? ? bx ? 中的 b ? ?2. 由表中数据算出线性回归方程 y 气象部门预 测下个月的平均气温约为 6℃,据此估计,该商场下个月羽绒服的销 售量约为 ___ __ 件. 46
样本点的中心?10,38? 满足线性回归方程,

? ? ?2x ? 58. 该线性回归方程为y

据此估计该商场下个月羽绒服的销售量约为? 2 ? 6 ? 58 ? 46(件).

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走进高考
(2010广东)某市居民2005~2009年家庭年平均收入x(单位: 万元)与年平均支出y(单位:万元)的统计资料如下表所示:

2009 15 12 根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是___, 13 家庭 年平均收入与年平均支出有_____ 正 线性相关关系. 年份 收入x 支出y
居民家庭的年平均收入按从小到大排列依次为:

2005 11.5 6.8

2006 12.1 8.8

2007 13 9.8

2008 13.3 10

11.5,12.1,13,13.3,15,
由中位数定义知年平均收入的中位数是13. 画出散点图,由图可知家庭年平均收入与年平均支出有 正的线性相关关系. 主页


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