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福建省三明市尤溪一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建省三明市尤溪一中高二(上)第二次月考数 学试卷(理科)
一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分) 1.命题 p:?x∈R,均有 x2≥0,则?p 为( ) 2 2 A.?x0∈R,使得 x ≤0 B.?x∈R,均有 x ≤0 C.?x0∈R,使得 x02<0 D.?x∈R,均有 x2<0 2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的

样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3 3.双曲线 A. (﹣ ﹣y2=1 的一个焦点坐标是( ,0) B. (﹣2,0) C. ( ) ,0) D. (1,0) )

4.设 x,y∈R,条件甲:

+

≤1,条件乙:

,则条件甲是条件乙的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下:且回归方程是 =0.95x+a,则 ) 当 x=6 时,y 的预测值为( x 0 1 y 2.2 4.3 A.8.4 B.8.3 C.8.2 D.8.1

2 4.5

3 4.8

4 6.7

6.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=10, ) 那么|AB|=( A.11 B.12 C.13 D.14 7.从分别写上数字 1,2,3,…,9 的 9 张卡片中,任意取出两张,观察上面的数字,则两 ) 数积是完全平方数的概率为( A. B. C. D.

8.阅读如图所示的算法框图,运行相应的程序,输出的结果是(

)

A.﹣1 B.2

C.3

D.4

9.a,b,c 为三个人,命题 P:“如果 b 的年龄不是最大的,那么 a 的年龄最小”和命题 Q: “如果 c 的年龄不是最小的,那么 a 的年龄最大”都是真命题,则 a,b,c 的年龄大小顺序是 ( ) A.b>a>c B.a>c>b C.c>b>a D.不能确定 10.已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,椭圆的一个短轴端 e2, 点为 B, 直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行, 椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1, ) 则 e1+e2 取值范围为( A. B. C. D. (2,+∞) (4,+∞) (4,+∞) (2,+∞)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.若直线 l 的方向向量为 =(1,0,2) ,平面 α 的法向量为 =(﹣2,0,﹣4) ,则直线 与平面的位置关系是__________.

12.椭圆

+

=1 的焦距为 2,则 m 的值等于__________.

13.在区间[﹣

]上随机取一个数记为 x,则使得 sinx≥ 的概率为__________.

14.已知空间四点 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,1) ,P(2,3,m)同在平面 α 内,则 m 的值为__________. 15.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A、B 在抛物线上,且∠AFB= M 在其准线上的射影为 N,则 的最大值为__________.

,弦 AB 的中点

三.解答题. (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算) 16. (13 分) 设命题 p: 对任意实数 x, 不等式 x2﹣2x>m 恒成立; 命题 q: 方程 表示焦点在 x 轴上的双曲线, (Ⅰ)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围. 17. (13 分)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节 约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量的标准.为 了确定一个较为合理的标准, 必须先了解全市居民日常用水量的分布情况. 现采用抽样调查 的方式,获得了 n 位居民某年的月均用水量(单位:t) ,样本统计结果如图表: 分组 频数 频率 [0,1) 25 a [1,2) __________ 0.19 [2,3) 50 b [3,4) __________ 0.23 [4,5) __________ 0.18 [5,6] 5 __________ (Ⅰ)分别求出 n,a,b 的值; (Ⅱ)若从样本中月均用水量在[5,6](单位:t)的 5 位居民中任选 2 人作进一步的调查研 究,求月均用水量最多的居民被选中的频率(5 位居民的月均用水量均不相等. ) + =1

18. (13 分)如图,直线 l 与抛物线 y2=x 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,与 x 轴相交 于点 M,且 y1y2=﹣1. (1)求证:M 点的坐标为(1,0) ; (2)求证:OA⊥OB; (3)求△ AOB 的面积的最小值.

19. (13 分)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,M、N 分别是 A1B、B1C1 上的点,且 BM=2A1M, C1N=2B1N.设 (Ⅰ)试用 , , ; .

表示向量

(Ⅱ)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求 MN 的长.

20. CD⊥AD, (14 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形, 其中 BA⊥AD, CD=AD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (1)求证:BE∥平面 PAD; (2)若 BE⊥平面 PCD: ①求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值; ②求二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值.

21. (14 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的长轴长为 4,离心率为 ,F1、F2 分别

为其左右焦点.一动圆过点 F2,且与直线 x=﹣1 相切. (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (ⅱ)求动圆圆心 C 轨迹的方程; N, Q, (Ⅱ) 在曲线上 C 有两点 M、 椭圆 C1 上有两点 P、 满足 MF2 与 共线,且 ? =0,求四边形 PMQN 面积的最小值. 共线, 与

2014-2015 学年福建省三明市尤溪一中高二(上)第二次 月考数学试卷(理科)
一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分) 1.命题 p:?x∈R,均有 x2≥0,则?p 为( ) A.?x0∈R,使得 x2≤0 B.?x∈R,均有 x2≤0 C.?x0∈R,使得 x02<0 D.?x∈R,均有 x2<0 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;对应思想;简易逻辑. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题 p:?x∈R,均有 x2≥0,则?p 为: ?x0∈R,使得 x02<0. 故选:C. 【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题. 2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 ) 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3 【考点】简单随机抽样;分层抽样方法;系统抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个 体被抽中的概率都是相等的, 即 P1=P2=P3. 故选:D. 【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础. ﹣y2=1 的一个焦点坐标是(

3.双曲线 A. (﹣

) D. (1,0)

C. ,0) B. (﹣2,0) ( ,0) 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论. 【解答】解:双曲线 ∴c= ∴双曲线 ﹣y2=1 的一个焦点坐标是(﹣ ,0) . ﹣y2=1 中 a=2,b=1,

故选:A. 【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程,根据 a,b,c 之间的关系是解决本题的关键.

4.设 x,y∈R,条件甲:

+

≤1,条件乙:

,则条件甲是条件乙的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】结合不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:由 + ≤1,得|x|≤5 且|y|≤3,∴充分性成立.

当 x=5,y=3 时,满足

,但

+

=1+1=2≤1 不成立,即必要性不成立.

∴条件甲是条件乙的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础.

5.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下:且回归方程是 =0.95x+a,则 ) 当 x=6 时,y 的预测值为( x 0 1 y 2.2 4.3 A.8.4 B.8.3 C.8.2 D.8.1 【考点】线性回归方程. 【专题】应用题;概率与统计.

2 4.5

3 4.8

4 6.7

【分析】线性回归方程 =0.95x+a,必过样本中心点,首先计算出横标和纵标的平均数,代 入回归直线方程求出 a 即可得到回归直线的方程,代入 x=6,可得 y 的预测值. 【解答】解:由已知可得 = ∴ =4.5=0.95× +a=1.9+a ∴a=2.6 ∴回归方程是 =0.95x+2.6 当 x=6 时,y 的预测值 =0.95×6+2.6=8.3 故选:B. 【点评】本题考查线性回归方程,是一个运算量较大的题目,有时题目的条件中会给出要有 的平均数,本题需要自己做出,注意运算时不要出错. =2, = =4.5

6.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=10, ) 那么|AB|=( A.11 B.12 C.13 D.14 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线的方程可得 p,再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p 即可得出. 【解答】解:由抛物线 y2=4x 可得 2p=4,解得 p=2. ∵x1+x2=10, ∴|AB|=x1+x2+p=10+2=12. 故选:B. 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其弦长公式,属于基础题. 7.从分别写上数字 1,2,3,…,9 的 9 张卡片中,任意取出两张,观察上面的数字,则两 ) 数积是完全平方数的概率为( A. B. C. D.

【考点】等可能事件的概率. 【专题】计算题. 【分析】所有的取法有 C92=36 种,两数积是完全平方数的取法只有 4 种,故两数积是完全 平方数的概率为 .

【解答】解:所有的取法有 C92=36 种,当取出的两个数是 1 和 4,1 和 9,2 和 8,4 和 9 时,两数积是完全平方数. 故两数积是完全平方数的概率为 = ,

故选 A. 【点评】本题考查等可能事件的概率,求得两数积是完全平方数的取法只有 4 种,是解题的 难点. 8.阅读如图所示的算法框图,运行相应的程序,输出的结果是( )

A.﹣1 B.2

C.3

D.4

【考点】程序框图.

【专题】算法和程序框图. n 的值, 【分析】 模拟执行算法框图, 依次写出每次循环得到的 S, 当 S=2 时, 满足条件 S=2, 退出循环,输出 n 的值为 4. 【解答】解:模拟执行算法框图,可得 S=2,n=1 S=﹣1,n=2 不满足条件 S=2,S= ,n=3 不满足条件 S=2,S=2,n=4 满足条件 S=2,退出循环,输出 n 的值为 4. 故选:D. 【点评】本题主要考查了算法和程序框图,正确写出每次循环得到的 S,n 的值是解题的关 键,属于基础题. 9.a,b,c 为三个人,命题 P:“如果 b 的年龄不是最大的,那么 a 的年龄最小”和命题 Q: “如果 c 的年龄不是最小的,那么 a 的年龄最大”都是真命题,则 a,b,c 的年龄大小顺序是 ( ) A.b>a>c B.a>c>b C.c>b>a D.不能确定 【考点】进行简单的合情推理. 【专题】转化思想;分析法;简易逻辑;推理和证明. 【分析】由命题 P 为真命题时,得出 a<b<c 或 c<a<b; 由命题 Q 为真命题时,得出 a<c<b 或 c<a<b,从而得出结论. 【解答】解:若命题 P:“如果 b 的年龄不是最大,那么 a 的年龄最小”为真命题; 则 a 最小,b 不是最大,即 c 最大,或 a 不是最小,b 最大,c 最小, 即 a<b<c 或 c<a<b; 若命题 Q:“如果 c 的年龄不是最小,那么 a 的年龄最大”为真命题; 则 c 不是最小,a 最大,b 最小,或 a 不是最大,c 最小,b 最大, 即 a<c<b 或 c<a<b; 若两个命题均为真命题, 则 c<a<b. 故选:A. 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用问题,也考查了逻辑推理能力,解题的关键是正 确理解互为逆否的两个命题真假性相同,是基础题目. 10.已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,椭圆的一个短轴端 e2, 点为 B, 直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行, 椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1, ) 则 e1+e2 取值范围为( A. B. C. D. (2,+∞) (4,+∞) (4,+∞) (2,+∞) 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设椭圆的长轴为 2a,短轴为 2b;双曲线的实轴为 2a',虚轴为 2b'.由椭圆、双曲 线的基本概念,结合直线平行的条件,建立关系式化简可得 ,即

,可得 e1?e2=1.由此结合基本不等式求最值,即可算出 e1+e2 取值范 围. 【解答】解:设椭圆的长轴为 2a,短轴为 2b;双曲线的实轴为 2a',虚轴为 2b' ∵椭圆的一个短轴端点为 B,直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行, ∴ ,平方可得

由此得到

,即



也即

,可得 e1?e2=1 =2,且等号不能成立

∵e1、e2 都是正数,∴e1+e2≥2 因此 e1+e2 取值范围为(2,+∞) 故选:D

【点评】本题给出椭圆与双曲线有公共的焦点,在椭圆的短轴端点 B 与 F1 的连线平行双曲 线的一条渐近线情况下,求离心率之和的范围.着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单 几何性质等知识,属于中档题. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.若直线 l 的方向向量为 =(1,0,2) ,平面 α 的法向量为 =(﹣2,0,﹣4) ,则直线 与平面的位置关系是 l⊥α. 【考点】共线向量与共面向量. 【专题】空间向量及应用. 【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出. 【解答】解:∵ =﹣2 , ∴ , l ⊥ α 因此 . 故答案为:l⊥α. 【点评】本题考查了向量共线定理、线面垂直的判定定理,属于基础题.

12.椭圆

+

=1 的焦距为 2,则 m 的值等于 3 或 5.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得:c=1,再分别讨论焦点的位置进而求出 m 的值. 【解答】解:由题意可得:c=1. ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,m﹣4=1,解得 m=5. ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,4﹣m=1,解得 m=3. 故答案为:3 或 5. 【点评】本题只要考查椭圆的标准方程,以及椭圆的有关性质.

13.在区间[﹣ 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】在 x∈[﹣

]上随机取一个数记为 x,则使得 sinx≥ 的概率为 .

]时解 sinx≥ ,由几何概型的概率公式可得. ]上随机取一个数记为 x, ﹣(﹣ )=π 的线段, , ],

【解答】解:在区间[﹣ 则 x 的基本事件空间为长度为 当 x∈[﹣

]时解 sinx≥ 可得 x∈[

∴所求概率 P=

=

故答案为: . 【点评】本题考查几何概型,涉及三角不等式的解法,属基础题. 14.已知空间四点 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,1) ,P(2,3,m)同在平面 α 内,则 m 的值为﹣4. 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直. 【专题】空间向量及应用. 【分析】四点 A,B,C,P 同在平面 α 内,可得存在实数 λ,μ 使得 =λ 可. 【解答】解: =(﹣1,1,0) , =(﹣1,0,1) , =(1,3,m) , ∵四点 A,B,C,P 同在平面 α 内, ∴存在实数 λ,μ 使得 =λ +μ ,



,解出即





解得 m=﹣4. 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查了向量共面定理、向量的线性坐标运算,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题. 15.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A、B 在抛物线上,且∠AFB= M 在其准线上的射影为 N,则 的最大值为 .

,弦 AB 的中点

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义,2|MN|=a+b.再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2,进 而根据基本不等式,求得|AB|的范围,进而可得答案. 【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义, 得 AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由勾股定理得,|AB|2=a2+b2 配方得,|AB|2=(a+b)2﹣2ab, 又 ab≤( )2,

∴(a+b)2﹣2ab≥(a+b)2﹣

得到|AB|≥

(a+b) .

所以



=

,即

的最大值为



故答案为:



【点评】本题主要考查抛物线的应用和解三角形的应用,考查了计算能力、分析问题和解决 问题的能力. 三.解答题. (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算) 16. (13 分) 设命题 p: 对任意实数 x, 不等式 x2﹣2x>m 恒成立; 命题 q: 方程 表示焦点在 x 轴上的双曲线, (Ⅰ)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. + =1

【分析】 (1)命题 q:方程

+

=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,可得



解得 m 即可. (2)若命题 p 真,即对任意实数 x,不等式 x2﹣2x>m 恒成立,k 可得 m<(x2﹣2x)min, 利用二次函数的单调性可得 m<﹣1.由 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,可得 p 真 q 假,或 p 假 q 真. 【解答】解: (1)命题 q:方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,



,解得 m>5.

即命题 q 为真命题时,实数 m 的取值范围是 m>5; (2)若命题 p 真,即对任意实数 x,不等式 x2﹣2x>m 恒成立, ∴m<(x2﹣2x)min,∵(x﹣1)2﹣1≥﹣1, ∴m<﹣1. ∵p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,即 p 真 q 假,或 p 假 q 真, 如果 p 真 q 假,则 ,解得 m<﹣1;

如果 p 假 q 真,则

,解得 m>5;

所以实数 m 的取值范围为 m<﹣1 或 m>5. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定、双曲线的标准方程、二次函数的单调性,考查了计算 能力,属于基础题. 17. (13 分)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节 约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量的标准.为 了确定一个较为合理的标准, 必须先了解全市居民日常用水量的分布情况. 现采用抽样调查 的方式,获得了 n 位居民某年的月均用水量(单位:t) ,样本统计结果如图表: 分组 频数 频率 [0,1) 25 a [1,2) 38 0.19 [2,3) 50 b [3,4) 46 0.23 [4,5) 36 0.18 [5,6] 5 0.025 (Ⅰ)分别求出 n,a,b 的值; (Ⅱ)若从样本中月均用水量在[5,6](单位:t)的 5 位居民中任选 2 人作进一步的调查研 究,求月均用水量最多的居民被选中的频率(5 位居民的月均用水量均不相等. )

【考点】频率分布直方图;频率分布表. 【专题】概率与统计. 【分析】 (I)从直方图中得在[2,3)小组中的频率,利用频率分布直方图中小长方形的面 积=组距× =频率求出 b, 再利用样本容量等于频数除以频率得出 n, 最后求出 a 处的数;

(II)设 A,B,C,D,E 代表用水量从多到少的 5 位居民,从中任选 2 为,总的基本事件 为 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个,包含 A 的有 AB,AC,AD, AE 共 4 个,根据古典概率计算公式计算即可. 【解答】解: (I)根据频率分布直方图中小长方形的面积=组距× 从直方图中得在[2,3)小组中的频率为 0.25×1=0.25,即 b=0.25 从而 n= a= =200, =频率,

=0.125.

∴n=200,a=0.125,b=0.25. (II)设 A,B,C,D,E 代表用水量从多到少的 5 位居民,从中任选 2 为,总的基本事件 为 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个,包含 A 的有 AB,AC,AD, AE 共 4 个, 所以 .即为月均用水量最多的居民被选中的频率.

【点评】用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方 形的面积=组距× 型. 18. (13 分)如图,直线 l 与抛物线 y2=x 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,与 x 轴相交 于点 M,且 y1y2=﹣1. (1)求证:M 点的坐标为(1,0) ; (2)求证:OA⊥OB; (3)求△ AOB 的面积的最小值. =频率,各个矩形面积之和等于 1,能根据直方图求频率,属于常规题

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题. 【分析】 (1) 设出点 M 的坐标和直线 l 的方程, 代入抛物线方程利用韦达定理求得 x0=﹣y1y2, x M 进而求得 0,则点 的坐标可得. (2)利用 y1y2=﹣1,求得 x1x2+y1y2=0,进而判断出 OA⊥OB. (3)利用(1)中的方程根据韦达定理表示出 y1+y2 和 y1y2,进而求得|y1﹣y2|的表达式,进 而利用|OM|代入三角形面积公式求得三角形 AOB 的面积表达式, 利用 m 的范围求得面积的 最小值. 【解答】解: (1)设 M 点的坐标为(x0,0) ,直线 l 方程为 x=my+x0, 2 2 代入 y =x 得 y ﹣my﹣x0=0①, y1,y2 是此方程的两根, ∴x0=﹣y1y2=1,即 M 点的坐标为(1,0) . (2)∵y1y2=﹣1, ∴x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=y1y2(y1y2+1)=0 ∴OA⊥OB. (3)由方程①,y1+y2=m,y1y2=﹣1,且|OM|=x0=1, 于是 = = ≥ 1,

∴当 m=0 时,△ AOB 的面积取最小值 1. 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了基础知识综合理解和应用,方 程与函数思想的运用. 19. (13 分)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,M、N 分别是 A1B、B1C1 上的点,且 BM=2A1M, C1N=2B1N.设 (Ⅰ)试用 , , ; .

表示向量

(Ⅱ)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求 MN 的长.

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式. 【专题】计算题;数形结合;转化思想;数形结合法.

【分析】 (Ⅰ)由图形知 来即可 (Ⅱ)求 MN 的长,即求 求得 MN 的长 【解答】解: (Ⅰ)由图形知 = =

=

再用

表示出

,利用求向量模的方法,求

即可

. (Ⅱ)由题设条件 ∵ , ∴ , . =

【点评】 本题考查空间向量的夹角与距离求解公式, 解题的关键是掌握住向量加法法则与用 空间向量求线段长度的公式, 空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运 用.理解并记忆熟练公式是解题的知识保证. 20. CD⊥AD, (14 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形, 其中 BA⊥AD, CD=AD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (1)求证:BE∥平面 PAD; (2)若 BE⊥平面 PCD: ①求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值; ②求二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值.

【考点】直线与平面平行的判定;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定;与二面 角有关的立体几何综合题. 【专题】计算题;综合题;转化思想. 【分析】建立空间直角坐标系求出相关向量, (1)利用共面向量定理: (2)若 BE⊥平面 PCD,①求出 ,证明 BE∥平面 PAD; =(0,2a,﹣2a)和 =(a,2a,0)的数量积来求异 =(2,1,﹣1) ;平

面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值;②求平面 BDE 的一个法向量为

面 BDC 的一个法向量为

=(0,0,1) ;然后求向量的数量积来求二面角 E﹣BD﹣C 的余

弦值. 【解答】解:设 AB=a,PA=b,建立如图的空间坐标系, A(0,0,0) ,B(a,0,0) ,P(0,0,b) , C( (2a,2a,0) ,D(0,2a,0) ,E(a,a, ) . (1) 所以 =(0,a, ) , =(0,2a,0) , =(0,0,b) ,

,BE?平面 PAD,∴BE∥平面 PAD;

(2)∵BE⊥平面 PCD,∴BE⊥PC,即 =(2a,2a,﹣b) ,∴ ① cos< =(0,2a,﹣2a) , , >= =

=0 =0,即 b=2a.

=(a,2a,0) , = ,

所以异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值为



②平面 BDE 和平面 BDC 中, =(0,a,a) , =(﹣a,2a,0) , =(a,2a,0) , 所以平面 BDE 的一个法向量为 平面 BDC 的一个法向量为 cos< , >= =(2,1,﹣1) ;

=(0,0,1) ; .

,所以二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值为

【点评】本题考查直线与平面平行的判定,二面角的求法,考查转化思想,计算能力,是中 档题.

21. (14 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的长轴长为 4,离心率为 ,F1、F2 分别

为其左右焦点.一动圆过点 F2,且与直线 x=﹣1 相切. (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (ⅱ)求动圆圆心 C 轨迹的方程; N, Q, (Ⅱ) 在曲线上 C 有两点 M、 椭圆 C1 上有两点 P、 满足 MF2 与 共线,且 ? =0,求四边形 PMQN 面积的最小值. 共线, 与

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;圆锥曲线的轨迹问题. 【专题】综合题.

【分析】 (Ⅰ) (ⅰ)由题设知:

,由此能求出椭圆方程.

(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点为(1,0) ,准线方程为 x=1, 由此能求出动圆圆心轨迹方程. (Ⅱ)当直线斜率不存在时,|MN|=4,此时 PQ 的长即为椭圆长轴长,|PQ|=4,从而四边形 PMQN 面积为 8;设直线 MN 的斜率为 k,直线 MN 的方程为:y=k(x﹣1) ,直线 PQ 的方 程为 y= y1) N y2) P y3) Q y4) , 设M (x1, , (x2, , (x3, , (x4, , 由 ,

得 k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,由抛物线定义可知:|MN|=4+ >8,所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8. 【解答】解: (Ⅰ) (ⅰ)由题设知: ,

,由此求出 SPMQN=

∴a=2,c=1,b=



∴所求的椭圆方程为



(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线, 且抛物线 C 的焦点为(1,0) , 准线方程为 x=1,则动圆圆心轨迹方程为 C:y2=4x. (Ⅱ)当直线斜率不存在时,|MN|=4, 此时 PQ 的长即为椭圆长轴长,|PQ|=4, 从而 =8,

设直线 MN 的斜率为 k,直线 MN 的方程为:y=k(x﹣1) , 直线 PQ 的方程为 y=﹣ ,

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x3,y3) ,Q(x4,y4) , 由 ,消去 y 可得 k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,

由抛物线定义可知: |MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1 = =4+ ,



,消去 y 得(3k2+4)x2﹣8x+4﹣12k2=0,

从而|PQ|=

=



∴SPMQN= =

=

=24



令 1+k2=t,∵k2>0,则 t>1, 则 SPMQN=

=

=

. =4﹣(1+ )2∈(0,3) ,

因为 3﹣

所以 SPMQN=

>8,

所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8. 【点评】 本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法, 考查四边形面积的最小值的求法. 综合性强, 难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理 地进行等价转化.


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