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3.2函数的单调性与最值1


第二节

函数的单调性与最值

【考点分析】 (1)以客观题的形式考查函数的单调性; (2)考查求函数最值的几种常用方法; (3)利用函数的单调性求参数的取值范围

1.会利用函数的单调性定义判断函数的单调性; 2.求函数的单调区间;

一.单调性定义

描 述 4 ___

_ 3 ____ 自左向右看图像是□ 自左向右看图像是□

(2)单调区间的定义: 5 ________或 □ 6 __________,则称 若函数f(x)在区间D上是 □ 函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调 区间.

(3)判断函数单调性的方法: ①根据定义;②根据图像;③利用已知函数的增减性; ④利用导数;⑤复合函数单调性判定方法:在复合函数 y= f(g(x))中, 若 u=g(x)在区间[a, b]上是单调增(减)函数, y=f(u) 在区间 [g(a) , g(b)] 上 ( 或在区间 [g(b) , g(a)] 上 ) 是单调增 ( 减 ) 函数,那么复合函数 y=f(g(x)) 在区间[a,b]上一定是单调函 数,它的增减性规律:同增异减。

考点一

判断函数的单调性

x 【例 1】 试讨论函数 f(x)= 2 的单调 x +1 性. 思维启迪:可用定义法或导数法判断.

通关训练 1

ax 讨 论 函 数 f(x) = x-1

(a≠0)在(-1,1)上的单调性.

考点二

求函数的单调区间

【例 2】
2

求出下列函数的单调区间:

(1)f(x)=x -4|x|+3; (2)f(x)=|x -4x+3|; (3)f(x)=log2(x -1).
点评:函数的单调区间的求法:求函数的单调区间首先 应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其定义域的子 集; 其次掌握一次函数、 二次函数等初等函数的单调区间. 常 用方法:根据定义、利用图像和单调函数的性质,还可以利 用导数.
2 2

通关训练 2 间是( )

(1)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区

? 3? ? A.?-∞,2? ? ? ? ? 3? ? C.?-1,2? ? ? ?

?3 ? ? B.?2,+∞? ? ? ? ?3 ? ? D.?2,4? ? ? ?

(2)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的 正数 k,定义函数
? ?f?x?,f?x?≤k, fk(x)=? ? ?k,f?x?>k,

取函数 f(x)=2-|x|.当 )

1 k=2时,函数 fk(x)的单调递增区间为( A.(-∞,0) C.(-∞,-1)

B.(0,+∞) D.(1,+∞)

求函数的单调性有哪些方法?应该首先 注意什么?


2.2 函数的单调性与最值

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