nbhkdz.com冰点文库

求数列通项公式的十种方法[1]

时间:2017-06-20


求数列通项公式的十种方法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 2 , a1 = 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:an +1 = 2an + 3 × 2 两边除以 2
n

an +1 an 3 a a a 3 = n + ,则 n +1 n =

,故数列 { n } 是 n +1 n +1 n 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 以 1 = = 1 为首项, 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, n = 1 + ( n 1) , 得 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an = ( n )2 。 2 2
n +1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 2an + 3 × 2 转化为
n

an +1 an 3 = ,说明数列 2n +1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n = 1 + (n 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2 {an } 的通项公式。

a = 二、利用 n

{

S1 ( n =1)

Sn Sn1 ( n ≥ 2)

例 2.若 S n 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意正整数
an = 2(n + 1) , Tn 3Sn = 4n .求数列 {bn } 的通项公式;

解: ∵ an = 2( n + 1)

∴ a1 = 4

d = 2

S n = n 2 3n

∴Tn =3Sn + 4n =3n2 5n ……2 分

当 n =1时,T1 =b1 =35=8

当 n ≥ 2时,bn =Tn Tn 1 =6 n 2

∴bn =6 n 2. ……4 分

练习:1. 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等 练习 比数列,求数列{an}的通项 an 2 解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a1 +5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2) 当 a1=3 时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

2. (2006 年全国卷 I)设数列 {an } 的前 n 项的和
第 1 页 共 14 页

Sn =

4 1 2 a n × 2 n +1 + , n = 1, 2, 3,iii 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn =
n 2n 3 , n = 1, 2, 3,iii ,证明: ∑ Ti < Sn 2 i =1

4 1 2 a1 = S1 = a1 × 22 + 3 3 3 ,解得: a1 = 2 解: (I) 4 4 1 an +1 = Sn +1 Sn = an +1 an ( 2n + 2 2n +1 ) a + 2n +1 = 4 ( a + 2n ) n +1 n 3 3 3 {an + 2n }
an + 2 = ( a1 + 21 ) × 4n 1
n

所以数列 所以:

是公比为 4 的等比数列

n n 得: an = 4 2

(其中 n 为正整数)

4 1 2 4 1 2 2 Sn = an × 2n +1 + = ( 4n 2n ) × 2n +1 + = ( 2n +1 1)( 2n 1) 3 3 3 3 3 3 3 (II)
Tn = 2n 3 2n 3 1 1 = × n +1 = × n n +1 n Sn 2 ( 2 1)( 2 1) 2 2 1 2 1

所以:
三、累加法

∑T = 2 × 2
i =1 i

n

3 1 1 3 n +1 < 1 1 2 1 2

例 3 已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2n + 1,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an +1 = an + 2n + 1 得 an +1 an = 2n + 1 则

an = (an an 1 ) + (an 1 an 2 ) + + (a3 a2 ) + (a2 a1 ) + a1 = [2(n 1) + 1] + [2(n 2) + 1] + + (2 × 2 + 1) + (2 ×1 + 1) + 1 = 2[(n 1) + (n 2) + + 2 + 1] + (n 1) + 1 (n 1)n + (n 1) + 1 2 = (n 1)(n + 1) + 1 =2 = n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an = n 。
2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = an + 2n + 1 转化为 an +1 an = 2n + 1 ,进而求 出 ( an an 1 ) + ( an 1 an 2 ) + + ( a3 a2 ) + ( a2 a1 ) + a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
第 2 页 共 14 页

例 4 已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2 × 3 + 1,a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:由 an +1 = an + 2 × 3 + 1 得 an +1 an = 2 × 3 + 1 则
n n

an = (an an 1 ) + (an 1 an 2 ) + + (a3 a2 ) + (a2 a1 ) + a1

= (2 × 3n 1 + 1) + (2 × 3n 2 + 1) + + (2 × 32 + 1) + (2 × 31 + 1) + 3 = 2(3n 1 + 3n 2 + + 32 + 31 ) + (n 1) + 3
3(1 3n 1 ) =2 + (n 1) + 3 1 3 = 3n 3 + n 1 + 3

= 3n + n 1
所以 an = 3 + n 1.
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = an + 2 × 3 + 1 转化为 an +1 an = 2 × 3 + 1 ,
n n

进而求出 an = ( an an 1 ) + ( an 1 an 2 ) + + ( a3 a2 ) + ( a2 a1 ) + a1 , 即得数列 {an } 的通 项公式。

, 例 5 已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 2 × 3 + 1 a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解: an +1 = 3an + 2 × 3 + 1 两边除以 3
n

n+1

,得

an +1 an 2 1 = n + + n +1 , n +1 3 3 3 3



an +1 an 2 1 n = + n +1 ,故 n +1 3 3 3 3

an an a a an 2 an 2 an 3 a2 a1 a = ( n n 1 ) + ( n 1 n 2 ) + ( n 2 n 3 ) + + ( 2 1 ) + 1 n 3 3 an 1 an 1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 = ( + n ) + ( + n 1 ) + ( + n 2 ) + + ( + 2 ) + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n 1) 1 1 1 1 1 = + ( n + n + n 1 + n 2 + + 2 ) + 1 3 3 3 3 3 3 1 (1 3n 1 ) an 2(n 1) 3n 2n 1 1 + +1 = + , 因此 n = 3 3 1 3 3 2 2 × 3n
则 an =

2 1 1 × n × 3n + × 3n . 3 2 2

第 3 页 共 14 页

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 3an + 2 × 3 + 1 转化为
n

an +1 an 2 1 n = + n +1 , n +1 3 3 3 3

进而求出 (

an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 a2 a1 a an n 1 ) + ( n 1 n 2 ) + ( n 2 n 3 ) + + ( 2 1 ) + 1 ,即得数列 n n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 四、累乘法 例 6 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2( n + 1)5 × an,a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:因为 an +1 = 2( n + 1)5 × an,a1 = 3 ,所以 an ≠ 0 ,则
n

an +1 = 2(n + 1)5n ,故 an

an =

an an 1 a a 3 2 a1 an 1 an 2 a2 a1

= [2(n 1 + 1)5n 1 ][2(n 2 + 1)5n 2 ] [2(2 + 1) × 52 ][2(1 + 1) × 51 ] × 3 = 2n 1[n(n 1) 3 × 2] × 5( n 1) + ( n 2)++ 2+1 × 3 = 3 × 2n 1 × 5
n ( n 1) 2

× n!
n 1

所以数列 {an } 的通项公式为 an = 3 × 2

×5

n ( n 1) 2

× n !.
n

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an +1 = 2( n + 1)5 × an 转化为

an +1 = 2(n + 1)5n ,进而求 an



an an 1 a a 3 2 a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an 1 an 2 a2 a1

求 例 7 已知数列 {an } 满足 a1 = 1,an = a1 + 2a2 + 3a3 + + ( n 1) an 1 ( n ≥ 2) , {an } 的通项 公式。 解:因为 an = a1 + 2a2 + 3a3 + + ( n 1) an 1 ( n ≥ 2) 所以 an +1 = a1 + 2a2 + 3a3 + + ( n 1) an 1 + nan 用②式-①式得 an +1 an = nan . ② ①

第 4 页 共 14 页

则 an +1 = ( n + 1) an ( n ≥ 2)



an +1 = n + 1(n ≥ 2) an an an 1 a n! 3 a2 = [n(n 1) 4 × 3]a2 = a2 . an 1 an 2 a2 2

所以 an =



由 an = a1 + 2a2 + 3a3 + + ( n 1) an 1 ( n ≥ 2) ,取n = 2得a2 = a1 + 2a2 ,则 a2 = a1 ,又知

a1 = 1 ,则 a2 = 1 ,代入③得 an = 1 3 4 5 n =
所以, {an } 的通项公式为 an =

n! 。 2

n! . 2 an +1 = n + 1(n ≥ 2) , an

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = ( n + 1) an ( n ≥ 2) 转化为

进而求出

an an 1 a 3 a2 , 从而可得当 n ≥ 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 an 1 an 2 a2

通项公式。

五.构造等差或等比 an +1 = pan + q 或 an +1 = pan + f (n) 例 8(2006 年福建卷)已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1(n ∈ N * ). 求数列 {an } 的通项公式; 解:∵ an +1 = 2an + 1( n ∈ N * ),

∴ an +1 + 1 = 2(an + 1),

∴{an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列。

∴ an + 1 = 2 n .


an = 2 2 1(n ∈ N * ).
1 1 an + ( )n +1 ,求 a n 。 2 2 1 1 an + ( )n +1 两边乘以 2 n+1 得: 2n +1 an +1 = (2n an ) + 1 2 2

例 9.已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , an +1 = 解:在 an +1 =

令 bn = 2 n a n ,则 bn +1 bn = 1 ,解之得: bn = b1 + n 1 = n 1 所以 an =
bn n 1 = n 2n 2
第 5 页 共 14 页

练习.

已知数列 {a n } 满足 a n = 2a n 1 + 2 n (n ≥ 2) 1 ,且 a 4 = 81 。

(1)求 a 1,a 2,a 3 ; (2)求数列 {a n } 的通项公式。 解: (1) a 1 = 5,a 2 = 13,a 3 = 33 (2) a n = 2a n 1 + 2 n 1 a n 1 = 2(a n 1 1) + 2 n



an 1 2
n

=

a n 1 1 2
n 1

+ 1

an 1 2n

= n +1

∴ a n = (n + 1)2 n + 1 六、待定系数法 例 10 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 5 ,a1 = 6 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an +1 + x × 5

n +1

= 2(an + x × 5n )



将 an +1 = 2an + 3 × 5 代入④式,得 2an + 3 × 5 + x × 5
n n

n +1

= 2an + 2 x × 5n ,等式两边消去

2an , 得 3 5n + x 5n +1 = 2 x 5n , 两 边 除 以 5n , 得 3 + 5 x = 2 x, 则x = 1, 代 入 ④ 式 得
an +1 5n +1 = 2(an 5n )


an +1 5n +1 = 2 ,则数列 {an 5n } 是以 由 a1 5 = 6 5 = 1 ≠ 0 及⑤式得 an 5 ≠ 0 ,则 n an 5
1 n

a1 51 = 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an 5n = 2n 1 ,故 an = 2 n 1 + 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 2an + 3 × 5 转化为 an +1 5
n n n n +1

= 2(an 5n ) ,

从而可知数列 {an 5 } 是等比数列,进而求出数列 {an 5 } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 11 已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an +1 + x × 2

n +1

+ y = 3(an + x × 2n + y )



第 6 页 共 14 页

将 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4 代入⑥式,得
n

3an + 5 × 2n + 4 + x × 2 n +1 + y = 3(an + x × 2n + y )
整理得 (5 + 2 x) × 2 n + 4 + y = 3 x × 2n + 3 y 。



5 + 2 x = 3 x x = 5 ,则 ,代入⑥式得 4 + y = 3 y y = 2


an +1 + 5 × 2 n +1 + 2 = 3(an + 5 × 2 n + 2)
由 a1 + 5 × 2 + 2 = 1 + 12 = 13 ≠ 0 及⑦式,
1

得 an + 5 × 2 + 2 ≠ 0 ,则
n

an +1 + 5 × 2 n +1 + 2 = 3, an + 5 × 2 n + 2
1

故数列 {an + 5 × 2 + 2} 是以 a1 + 5 × 2 + 2 = 1 + 12 = 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n

因此 an + 5 × 2 + 2 = 13 × 3
n

n 1

,则 an = 13 × 3

n 1

5 × 2n 2 。
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4 转化为

an +1 + 5 × 2 n +1 + 2 = 3(an + 5 × 2 n + 2) ,从而可知数列 {an + 5 × 2n + 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an + 5 × 2 + 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

例 12 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2

解:设 an +1 + x( n + 1) + y ( n + 1) + z = 2( an + xn + yn + z )
2 2



将 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5 代入⑧式,得
2

2an + 3n 2 + 4n + 5 + x(n + 1) 2 + y (n + 1) + z = 2(an + xn 2 + yn + z ) ,则 2an + (3 + x)n 2 + (2 x + y + 4)n + ( x + y + z + 5) = 2an + 2 xn 2 + 2 yn + 2 z
第 7 页 共 14 页

等式两边消去 2an ,得 (3 + x) n + (2 x + y + 4) n + ( x + y + z + 5) = 2 xn + 2 yn + 2 z ,
2 2

x = 3 3 + x = 2 x 解方程组 2 x + y + 4 = 2 y ,则 y = 10 ,代入⑧式,得 x + y + z + 5 = 2z z = 18
an +1 + 3(n + 1)2 + 10(n + 1) + 18 = 2(an + 3n 2 + 10n + 18)
2



由 a1 + 3 ×1 + 10 ×1 + 18 = 1 + 31 = 32 ≠ 0 及⑨式,得 an + 3n + 10n + 18 ≠ 0
2



an +1 + 3(n + 1) 2 + 10(n + 1) + 18 = 2 ,故数列 {an + 3n 2 + 10n + 18} 为以 an + 3n 2 + 10n + 18

a1 + 3 ×12 + 10 ×1 + 18 = 1 + 31 = 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an + 3n 2 + 10n + 18 = 32 × 2 n 1 ,则 an = 2n + 4 3n 2 10n 18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5 转化为
2

an +1 + 3(n + 1)2 + 10(n + 1) + 18 = 2(an + 3n 2 + 10n + 18) ,从而可知数列
2 {an + 3n 2 + 10n + 18} 是等比数列, 进而求出数列 {an + 3n + 10n + 18} 的通项公式, 最后再

求出数列 {an } 的通项公式。

七、对数变换法 例 13 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2 × 3 × an , a1 = 7 ,求数列 {an } 的通项公式。
n 5 n 5 n 5

解:因为 an +1 = 2 × 3 × an,a1 = 7 ,所以 an > 0,an +1 > 0 。在 an +1 = 2 × 3 × an 式两边取 常用对数得 lg an +1 = 5 lg an + n lg 3 + lg 2 设 lg an +1 + x ( n + 1) + y = 5(lg an + xn + y ) ⑩

11 ○

11 将 ⑩ 式 代 入 ○ 式 , 得 5lg an + n lg 3 + lg 2 + x ( n + 1) + y = 5(lg an + xn + y ) , 两 边 消 去

第 8 页 共 14 页

5lg an 并整理,得 (lg 3 + x)n + x + y + lg 2 = 5 xn + 5 y ,则
lg 3 x = 4 lg 3 + x = 5 x ,故 x + y + lg 2 = 5 y y = lg 3 + lg 2 16 4
代入○式,得 lg an +1 + 11 由 lg a1 + 得 lg an +

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n + 1) + + = 5(lg an + n+ + ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ×1 + + = lg 7 + ×1 + + ≠ 0 及○式, 12 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n+ + ≠ 0, 4 16 4



lg an +1 +

lg 3 lg 3 lg 2 (n + 1) + + 4 16 4 =5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an + n+ + 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n+ + } 是以 lg 7 + + + 为首项,以 5 为公比的等 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n 1 比数列,则 lg an + n+ + = (lg 7 + + + )5 ,因此 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an +

lg an = (lg 7 +

lg 3 lg 3 lg 2 n 1 lg 3 lg 3 lg 2 + + )5 n 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

= (lg 7 + lg 3 4 + lg 3 6 + lg 2 4 )5n 1 lg 3 4 lg 316 lg 2 4 = [lg(7 3 3 2 )]5 = lg(7 3 3 2 )5 = lg(7
5 n 1 1 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n 1

lg(3 3 2 )
n 4 1 16 1 4

n 4

1 16

1 4

n 1

lg(3 3 2 ) 2
1 5n 1 1 4

3

5

n1

n

4

3

5

n1

1 16 5
n1

)

= lg(75 n 1 3
则 an = 7
5n1

5 n 4 n 1 16

2

4

)

n 5

×3

5 n 4 n 1 16

×2

5n1 1 4

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an +1 = 2 × 3 × an 转化为

lg an +1 +

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n + 1) + + = 5(lg an + n+ + ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4

第 9 页 共 14 页

{lg an +

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n+ + } 是等比数列,进而求出数列 {lg an + n+ + } 的通项 4 16 4 4 16 4

公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 八、迭代法 例 14 已知数列 {an } 满足 an +1 = an 解:因为 an +1 = an
3( n +1)2n 3( n +1)2n

,a1 = 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
3( = [an n21)2 ]3 n2
n2 n1

,所以 an = an 1

3 n2n1

32 (n1)n2(n2)+(n1) =a n 2 3(n2)2n3 32 (n1)n2(n2)+(n1) = [a ] n3 33 (n2)(n1)n2(n3)+(n2)+(n1) =a n3 = 3n123(n2)(n1)n21+ 2++(n3)+(n2)+(n1) =a 1 n(n1) n1n!2 2 = a3 1
3n1n!2 又 a1 = 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an = 5 n(n1) 2



评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an +1 = an 两边取常用对数得 lg an +1 = 3( n + 1) × 2 × lg an ,即
n

3( n +1)2n

lg an +1 = 3(n + 1)2 n ,再由累乘法可推知 lg an

n1 lg an lg an 1 lg a3 lg a2 lg an = lg a1 = lg 53 n!2 lg an 1 lg an 2 lg a2 lg a1 an = 5
3n1 n!2 n ( n 1) 2

n(n1) 2









九、数学归纳法 例 15 已知数列 {an } 满足 an +1 = an +

8(n + 1) 8 ,a1 = ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n + 1) (2n + 3) 9

第 10 页 共 14 页

解:由 an +1 = an +

8(n + 1) 8 及 a1 = ,得 2 2 (2n + 1) (2n + 3) 9

8(1 + 1) 8 8 × 2 24 = + = 2 2 (2 × 1 + 1) (2 × 1 + 3) 9 9 × 25 25 8(2 + 1) 24 8× 3 48 a3 = a2 + = + = 2 2 (2 × 2 + 1) (2 × 2 + 3) 25 25 × 49 49 8(3 + 1) 48 8 × 4 80 a4 = a3 + = + = 2 2 (2 × 3 + 1) (2 × 3 + 3) 49 49 × 81 81 a2 = a1 +

由此可猜测 an =

(2n + 1) 2 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n + 1) 2 (2 × 1 + 1) 2 1 8 = ,所以等式成立。 (2 × 1 + 1)2 9 (2k + 1) 2 1 ,则当 n = k + 1 时, (2k + 1)2

(1)当 n = 1 时, a1 =

(2)假设当 n = k 时等式成立,即 ak =

ak +1 = ak +

8(k + 1) (2k + 1) 2 (2k + 3) 2

= = = = =

(2k + 1) 2 1 8(k + 1) + 2 (2k + 1) (2k + 1) 2 (2k + 3) 2 [(2k + 1) 2 1](2k + 3) 2 + 8(k + 1) (2k + 1) 2 (2k + 3) 2 (2k + 1) 2 (2k + 3)2 (2k + 3) 2 + 8(k + 1) (2k + 1)2 (2k + 3) 2 (2k + 1) 2 (2k + 3)2 (2k + 1) 2 (2k + 1) 2 (2k + 3) 2 (2k + 3) 2 1 (2k + 3) 2

[2(k + 1) + 1]2 1 = [2(k + 1) + 1]2
由此可知,当 n = k + 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ∈ N 都成立。 ,
*

第 11 页 共 14 页

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 十、换元法 例 16 已知数列 {an } 满足 an +1 =

1 (1 + 4an + 1 + 24an ),a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn 1) 24

解:令 bn = 1 + 24an ,则 an = 故 an +1 =

1 2 1 (bn +1 1) ,代入 an +1 = (1 + 4an + 1 + 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 (bn +1 1) = [1 + 4 (bn2 1) + bn ] 24 16 24
即 4bn +1 = (bn + 3)
2 2

因为 bn = 1 + 24an ≥ 0 ,故 bn +1 = 1 + 24an +1 ≥ 0 则 2bn +1 = bn + 3 ,即 bn +1 = 可化为 bn +1 3 =

1 3 bn + , 2 2

1 (bn 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn 3} 是以 b1 3 = 1 + 24a1 3 = 1 + 24 × 1 3 = 2 为首项,以 列,因此 bn 3 = 2( )

1 2

n 1

1 1 1 = ( ) n 2 ,则 bn = ( ) n 2 + 3 ,即 1 + 24an = ( ) n 2 + 3 ,得 2 2 2

an =

2 1 n 1 n 1 ( ) +( ) + 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 + 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

1 3 bn +1 = bn + 形式, 从而可知数列 {bn 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn 3} 的通项公式, 2 2
最后再求出数列 {an } 的通项公式。

第 12 页 共 14 页

附: 构造辅助数列

1 an ) 1.构造数列 ,使其为等差数列。 (形式: a n+1 = an pa n +1
例: 已知数列 {a n } 满足 a1 = 1, a n+1 = 的通向公式。 解: ∵ a n+1 =

1 an , 求证: 是等差数列, 并求 {a n } 3a n + 1 an

an 1 1 1 1 ,∴ = + 3 ,即 = +3. 3a n + 1 a n +1 a n a n +1 a n

1 ∴ 是首项为 1,公差为 3 的等差数列。 an



1 = 3n 2, an

an =

1 3n 2

.

1 an 2. 构造数列 + λ ,使其为等比数列。 a n+1 = ( 或 Aa n + Ba n + c = 0 ) pa n + q an
例:在数列 {a n } 中,已知 a1 = 2, a n+1 =

2a n ,求证:数列 {a n } 的通项公式。 an + 1

解:由 a1 = 2, a n+1 =
1
a n +1

2a n 可知,对 n ∈ N , a n ≠ 0 . an + 1



=

1 1 1 1 1 + ,即 1 = 1 . a 2 2a n a n +1 2 n
1 1 1 = . a1 2

又∵ a 1 = 1, ∴

1 1 1 ∴ 数列 1 是首项为 ,公比为 的等比数列. 2 2 an ∴

1 11 1 = an 22

n 1

1 = . 2

n

2n ∴ an = n 2 1
第 13 页 共 14 页

3. 构造数列 {a n +1 + λa n } ,使其为等比数列。 a n+ 2 = pa n +1 + qa n1 例:已知数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 3 , a n+ 2 = 3a n +1 2a n 1 ,求 {a n } 的通项公式。 解:设 a n+ 2 + αa n +1 = β (a n +1 + αa n1 ) ,即 a n+ 2 = (β α )a n+1 + αβ a n 1 , 则 a n+ 2 = (β α )a n+1 + αβ a n 1 , 与 a n+ 2 = 3a n +1 2a n 1 比较后的得

β α = 3, αβ = 2 .
∴ α = 2, β = 1 或 α = 1, β = 2 .
当 α = 1, β = 2 时, a n+ 2 a n+1 = 2(a n +1 a n 1 ) , {a n +1 a n } 是以 a 2 a1 = 2 为 首项,2 为公比的等比数列。∴ a n+1 a n = 2 n

∴ a n = (a n a n 1 ) + (a n 1 a n 2 ) + + (a 2 a1 ) + a1
= 2 n 1 + 2 n 2 + + 2 + 1 = 2 n 1 ( n ≥ 2 ).

经验证,n=1 时适合上式,∴ a n = 2 n 1 . 同理,当 α = 2, β = 1 时,也得到 a n = 2 n 1 . 综上知 a n = 2 n 1 .

第 14 页 共 14 页


求数列通项公式方法大全[1]

求数列通项公式方法大全[1]_高二数学_数学_高中教育_教育专区。求数列通项公式的常用方法 类型 1、 Sn ? f (an ) 解法:利用 an ? ? ?S1 ? ? ? ? ?...

求数列通项公式的十种方法

1 / 21 求数列通项公式的十一种方法 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换...

求数列通项公式的各种方法(非常全)

龙文教育个性化辅导授课教案教师: 学生: 时间: 年月日段 课题:数列的通项公式教学目标:掌握数列通项公式的求法 教学重难点:构造等差等比数列 一、教学内容: a ...

求数列通项公式方法经典总结

求数列通项公式方法经典总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。求数列通项公式方法 (1) .公式法(定义法)根据等差数列、等比数列定义求通项 1..数列 ?an ?...

高三数学求数列通项公式的10种方法

求数列通项公式的十种方法 数列通项公式的十一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 2 , a1 = 2 ,求数列 {an } 的通项公式...

高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧1

高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧1...项和公式时所用的方法,这种方 法主要用于求数列{...第 6 页共 12 页 6 数列通项公式的十种求法 ...

求数列通项公式an的常用方法

专题:求数列通项公式 a n 的常用方法 、 观察法已知数列前若干项,求该...简析数列通项公式的几... 8页 免费 求数列通项公式的常见方... 4页 ...

最全的递推数列求通项公式方法[1]

最全的递推数列求通项公式方法[1] 隐藏>> 高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较 强的数列...

求数列通项公式的方法总结(强烈推荐)

求数列通项公式的方法总结(强烈推荐)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数列求通项公式各类方法总结求数列{an}通项公式的方法 1. a n ? 1 = a n + f ...

八种求数列通项公式的方法

种求数列通项公式的方法种求数列通项公式的方法 ,公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 2 , a1 = 2 ,求数列 {an } ...