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2015届广东省海珠区等四区高三联考数学试卷(文)


1

海珠区 2014 学年高三综合测试(二)

数学(文科)
2014.11

1 参考公式:锥体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要

求的.

( x, y) x ? y ? 2? ,B ?? ( x, y) x ? y ? 4?,那么集合 A B 为 1.已知集合 A ? ?
A. {(- 1,3)} B. (3, - 1) C. {3, - 1} D. {(3, - 1)}

2.若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.函数 y ? 2x ( x ? R )的反函数为 A. y ? log2 x ( x ? 0 ) C. y ? log x 2 ( x ? 0 ) B. y ? log2 x ( x ? 1 ) D. y ? log x 2 ( x ? 1 )

4.已知向量 a , b 的夹角为 120 , a ? 2 ,且 a ? b ? ?8 ,则 b ? A.6 B.7 C.8 D.9

5.函数 y ? cos 2 x ? sin 2 x 的一条对称轴为 A. x =
p 4

B. x =

p 8

C. x = -

p 8

D. x = -

p 4

6.根据如下样本数据:

x

3 4

4 2

5 -1

6 1

7 -2

8 -3

y

得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则 A. a ? 0, b ? 0
1

B. a ? 0, b ? 0

C. a ? 0, b ? 0

D. a ? 0, b ? 0

7.函数 y = ln x 与 y = -

- x 2 + 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为

-

8.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为 A.0 B.
3 2

C. 3

D. ?

3 2

9.已知椭圆

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点 F1 , F2 ,设它们在第 9 a b

一象限的交点为 P ,且 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则双曲线的渐近线方程为 A. y ? ? 7 x
7 x 3

B. y ? ?

7 x 7

C. y ? ?

D. y ? ?

3 7 x 7

10.若实数 x1 , y1 , x2 , y2 满足 ( y1 ? x12 ? 3ln x1 )2 ? ( x2 ? y2 ? 2)2 ? 0 ,则 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 的最小值为 A.8 B. 2 2 C.2 D. 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , a1 + a2 = 5 , a9 + a10 = 21 , 则 该 数 列 前 10 项 和
S10 ? ________.

12. 一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为 2 的等边

三角形,俯视图如图所示,则这个几何体的体积为________. 13.给出下列四个命题:
2 ①函数 f ? x ? = 2 ? x ?

1 2 ? x2

有最小值 2 ;

②“ x2 - 4 x - 5 = 0 ”的一个必要不充分条件是“ x = 5 ”; ③命题 p : ?x ? R, tan x ? 1 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .则命题“
3 2 ④函数 f (x)= x - 3x +1在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = - 3 .

p ? ? ?q ? ”是假命题;

其中正确命题的序号是________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,圆 ? ? 4sin ? 与直线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 4 相交所 得的弦长为________. 15.(几何证明选讲选做题) 如图,⊙ O 是 ?ABC 的外接圆,
AB ? AC ,延长 BC 到点 D ,使得 CD ? AC ,连结 AD 交⊙O

于点 E ,连结 BE ,若 ?D ? 350 ,则 ?ABE 的大小为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c ,已知 A ? (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 10 , D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

?
4

, cos B ?

4 . 5

17.(本小题满分 12 分) 随着社会的发展,网上购物已成为一种新型的购物方式.某商家在网上新推出 A, B, C , D 四 款商品,进行限时促销活动,规定每位注册会员限购一件,并需在网上完成对所购商品的 质量评价.以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取 100 份评价的统计表:

好评
A款 B款

中评 15% 12% 10% 8%

差评 5% 0 10% 8%

80% 88% 80% 84%

C款
D款

(1)若会员甲选择的是 A 款商品,求甲的评价被选中的概率; (2)在被选取的 100 份评价中,若商家再选取 2 位评价为差评的会员进行电话回访,求 这 2 位中至少有一位购买的是 C 款商品的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,已知 PD 垂直以 AB 为直径的圆 O 所在平面,点 D 在线段 AB 上,点 C 为圆 O 上 一点,且 BD ? 3PD ? 3, AC ? 2 AD ? 2 . (1)求证: PA ⊥ CD ; (2)求点 B 到平面 PAC 的距离.

19.(本小题满分 14 分) 已知 ?an ? 是首项为 2,公差不为零的等差数列,且 a1 , a5 , a17 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn =
an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 3n- 1

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, A 、 B 两点的坐标分别为 (0,1) 、(0, - 1) ,动点 P 满足直线 AP 与
1 直线 BP 的斜率之积为 ? ,直线 AP 、 BP 与直线 y ? ?2 分别交于点 M 、 N . 4

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)求线段 MN 的最小值; (3)以 MN 为直径的圆是否经过某定点?若经过定点,求出定点的坐标;若不经过定点,请 说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

?1 ? ( x ? 0) 已知函数 f ( x) ? ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx ( k ? R ). ?e x ( x ? 0) ?
(1)当 k ? 1 时,求函数 F ( x) 的值域; (2)试讨论函数 F ( x) 的单调性.

海珠区 2014 学年高三综合测试(二)

文科数学参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数 的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 65 12.

4 3 3

13. ③④

14. 2 2

15. 350

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解:(1)

cos B ?

4 3 , 且 B ? (0, ? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? .………………1 分 5 5

∴ cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos(

3? ? B) 4

………………2 分

? cos

3? 3? cos B ? sin sin B 4 4

………………4 分

?? ??

2 4 2 3 ? ? ? 2 5 2 5 2 . 10

………………5 分

………………6 分

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? (?

2 2 ? 7 2 . ………………7 分 ) 10 10
………………8 分

10 c ? a c 7 ? 由正弦定理得 ,即 2 2, sin A sin C 10 2

17. 解: (1)

由条形图可得,选择 A, B, C , D 四款商品的会员共有 2000 人,……1 分 其中选 A 款商品的会员为 400 人,由分层抽样可得 A 款商品的评价抽取了 100 ? 份. 设 “甲的评价被选中” 为事件 M ,则 P ( M ) ? ………………2 分

400 ? 20 2000

20 1 ? ? 0.05 . 400 20

………………3 分 ………………4 分

答:若甲选择的是 A 款商品,甲的评价被选中的概率是 0.05 .

(2) 由图表可知,选 A, B, C , D 四款商品的会员分别有 400,500,600,500 人, ………5 分 用分层抽样的方法,选取评价的人数分别为 20,25,30,25 人,其中差评的人数分别为 1,0,3, 2 人,共 6 人. ………………6 分

记对 A 款商品评价为差评的会员是 a ;对 C 款商品评价为差评的会员是 b, c, d ;对 D 款商品评价为差 评 的 会 员 是 e, f . 从 评 价 为 差 评 的 会 员 中 选 出 2 人 , 共 有 15 个 基 本 事 件 :

? a, b? , ? a, c ? ,?

a, ?d? , a ,e ??

, ?fb, c ? , ?b, d ? , ?b, e? , ?b, f ? , ? c, d ? , ? c, e? , ? c, f ? , , ?a
………………9 分

? d , e? , ? d , f ? , ?e, f ? .

设 “ 至 少 有 一 人 选 择 的 是 C 款 商 品 ” 为 事 件 N , 事 件 N 包 含 有 12 个 基 本 事 件 :

? a, b? , ? a, c? , ? a, d ? , ? b, c ? ,?b, d ? , ?b, e? , ?b, f ? , ? c, d ? , ?c, e? , ?c, f ? , ? d , e? , ? d , f ? .由古典概率公式
知 P?N ? ?

12 4 ? . 15 5
4 . 5

………………11 分 ………………12 分

答:至少有一人选择的是 C 款商品的概率为

18.解:(1)由 BD ? 3 , AD ? 1 ,知 AB ? 4 , AO ? 2 ,点 D 为 AO 的中点.……1 分 连接 OC . ∵ AO ? AC ? OC ? 2 ,∴ ?AOC 为等边三角形, 又点 D 为 AO 的中点,∴ CD ? AO . 又∵ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD , ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分

PD ? AO ? D , PD ? 平面 PAB , AO ? 平面 PAB ,
∴ CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ⊥ CD . ………………5 分 ………………6 分

19 .解:( 1 )

设数列 ?an ? 的公差为 d ,∴ a1 ? 2 , a5 ? 2 ? 4d , a17 ? 2 ? 16d , 由 a1 , a5 , a17 成等比数列, ∴ ? 2 ? 4d ? ? 2 ? 2 ? 16d ? ,
2

………………3 分 ………………5 分 ………………6 分 ………………7 分

即 d 2 ? d .∵ d ? 0 ,∴ d ? 1 . ∴ an ? 2 ? ? n ?1? ?1 ? n ?1 . (2)由(1)知, bn ? ∴ Sn ?

n ?1 , 3n ?1

2 3 4 n ?1 ? 1 ? 2 ? ?... n ?1 , 0 3 3 3 3

………………8 分

1 2 3 4 n ?1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ?... n , 3 3 3 3 3
两式相减得:

………………9 分

2 2 1 1 1 1 n ?1 Sn ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? ... n ?1 ? n , 3 3 3 3 3 3 3

………………11 分

1? 1 ? 1 ? n?1 ? ? 2 3 3 ? n ?1 , ∴ Sn ? 2 ? ? ? n 1 3 3 1? 3


………………12 分

2 5 2n ? 5 Sn ? ? , 3 2 2 ? 3n 15 2n ? 5 ? . 4 4 ? 3n ?1 n ?1 ,. 3n ?1

………………13 分

∴ Sn ?

………………14 分

另解:由(1)知 bn ?

………………7 分

设 bn ?

n ? 1 An ? B A ? n ? 1? ? B 2 An ? 2 B ? A = , ? n?2 ? 3n ?1 3n?1 3 3n?1

利用待定系数法 ?

?2 A ? 1 1 3 ,解得 A ? , B ? , 2 4 ?2 B ? A ? 1
………………10 分

1 3 1 3 2n ? 3 2n ? 5 n? n ? 1? ? ? ? ? ∴ . 2 4 2 4 bn ? n?2 ? 4 ? 3n ? 2 4 ? 3n ?1 n ?1 3 3
∴ Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn

?

2 ?1 ? 3 2 ?1 ? 5 2 ? 2 ? 3 2 ? 2 ? 5 2n ? 3 2n ? 5 ? ? ? ? ... ? ? 1? 2 1?1 2?2 2 ?1 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?2 4 ? 3n ?1

?

15 2n ? 5 ? . 4 4 ? 3n ?1

………………14 分

20. 解:(1)已知 A(0,1), B(0, - 1) ,设动点 P 的坐标 ? x, y ? , ∴直线 AP 的斜率 k1 ? 又 k1 ? k 2 ? ?

y ?1 y ?1 ,直线 BP 的斜率 k2 ? ( x ? 0 ), ………2 分 x x
………………3 分

1 y ?1 y ?1 1 ? ?? , ,∴ 4 x x 4

x2 即 ? y 2 ? 1 ? x ? 0? . 4

………………4 分

(2)设直线 AP 的方程为的 y ?1 ? k1 ? x ? 0? ,直线 BP 的方程为的 y ?1 ? k2 ? x ? 0? , ………………6 分

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? 3 ? ?x ? ? k1 , ∴ M ? ? , ?2 ? ; 由? ,得 ? ? k1 ? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ? 1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? 1 ? ?x ? ? k2 ,∴ N ? ? , ?2 ? , 由? ,得 ? ? k2 ? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
由 k1 ? k 2 ? ? 当且仅当

………………7 分

………………8 分

3 1 3 3 1 ? ? ? 4k1 ? 2 ? 4 k1 ? 4 3 ,………9 分 ,∴ MN ? k k k k 4 1 2 1 1

3 ? 4 k1 ,即 k ? ? 3 时,等号成立, 1 k1 2
………………10 分

∴线段 MN 长的最小值 4 3 .

(3)设点 Q ? x, y ? 是以 MN 为直径的圆上的任意一点,则 QM QN ? 0 ,即

? 3 ?? 1? ? x ? ?? x ? ? ? ? y ? 2 ?? y ? 2 ? ? 0 , k1 ?? k2 ? ?

………………11 分

又 k1 ? k 2 ? ?

1 , 4

?3 ? 2 2 故以 MN 为直径的圆的方程为: x ? ? ? 4k1 ? x ? ? y ? 2 ? ? 12 ? 0 , ………………12 分 ? k1 ?
令 x ? 0 ,得 ? y ? 2 ? ? 12 ,解得 y ? ?2 ? 2 3 ,
2

………………13 分

∴以 MN 为直径的圆经过定点 0, ?2 ? 2 3 或 0, ?2 ? 2 3 .

?

? ?

?

………………14 分

?1 ? ? x( x ? 0) 21.解:(1)当 k ? 1 时, F ( x) ? ? x , ?e x ? x( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ( x) ?

………………1 分

1 ? x ≥ 2 ,当且仅当 x ? 1 时, F ( x) 取最小值 2. …………2 分 x

当 x ≤ 0 时 , F ( x)? xe? x, F ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,

F ( x) 在 ?? ?,0? 上 单 调 递 增 , 所 以
………………3 分 ………………4 分

F ( x) ≤ F (0) ? 1.
所以当 k ? 1 时, F ( x ) 的值域为 (??,1] [2, ??) .

1 ? ?1 ?k ? 2 ( x ? 0) ? ? kx( x ? 0) x (2)由 F ( x) ? ? x ,得 F ?( x) ? ? , ?e x ? k ( x ≤ 0) ?e x ? kx( x ≤ 0) ? ? ? 1 ?? 2 ( x ? 0) ①当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? x , ?e x ( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递减, 当 x ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 (??, 0] 上单调递增.

………………5 分

………………6 分 ………………7 分

1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) x ②当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? , ?e x ? k ( x ≤ 0) ?
当 x ≤ 0 时, F ?( x) ? e x ? k ? 0 , F ( x ) 在区间 (??, 0] 上单调递增.………………8 分 当 x ? 0 时,令 F ?( x) ? k ?

1 ? 0 ,解得 x ? ? k ,舍去负值,得 x ? k , 2 x k k

当0 ? x ? 当x?

k k 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递减, ………………9 分 k k

k k 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 ( , ??) 上单调递增. ………………10 分 k k

1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) x ③当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? , ?e x ? k ( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ?( x) ? k ?

1 ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减.……………11 分 x2

当 x ? 0 时,令 F ?( x) ? e x ? k ? 0 ,得 x ? ln(?k ) , 下面讨论 x ? ln(?k ) 是否落在区间 (??, 0) 上, 令 ln(?k ) ? 0 ,解得 k ≤ ?1 ,令 ln(?k ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 0 , 当 k ≤ ?1 时,当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在 ? ??,0? 上单调递减.……………12 分 当 ?1 ? k ? 0 时,在 ? ??,0? 上存在极值点 x ? ln(?k ) , 当 ln(?k ) ? x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在 (ln(?k ), 0] 上单调递增, 当 x ? ln(?k ) 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在 (??, ln(?k )) 上单调递减.……………13 分 综上所述: 当 k ? 0 时, F ( x ) 在 (??, 0] 和 (

k k , ??) 上单调递增,在 (0, ) 上单调递减; k k

当 k ? 0 时, F ( x ) 在 (??, 0] 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减; 当 ?1 ? k ? 0 时, F ( x ) 在 (ln(?k ), 0] 上单调递增,在 (??, ln(?k )) 和 (0, ??) 上 单调递减; 当 k ≤ ?1 时, F ( x ) 在 ? ??,0? 和 ? 0, ??? 上单调递减. ……………14 分


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