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学高中数学第四章函数应用.实际问题的函数建模练习北师大版必修-课件


§2

实际问题的函数建模
课后训 练案 巩固提 升

1.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四 个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( A.y=100x C.y=50×2 答案:C 2.某种动物繁殖数量

y(只)与繁殖时间 x(年)的关系为 y=alog2(x+1),设这种动物第一年有 100 只, 则第七年它们发展到( A.300 只 B.400 只 ) C.500 只 D.600 只
x

)

B.y=50x -50x+100 D.y=100log2x+100

2

解析:根据题目给出的数据,结合不同函数增长的差异,可知应为指数函数模型.

解析:∵由题意知,当 x=1 时,y=100,即 100=alog22,a=100.∴y=100log2(x+1).

∴当 x=7 时,y=100log28=300(只).
答案:A 3.某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方 向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线 提速返回.设 t 为出发后的某一时刻,s 为汽艇与码头在时刻 t 时的距离,下列图像中能大致表示

s=f(t)的函数关系的为(

)

解析:由题中所述,只有 C 符合题意. 答案:C 4. 导学号 91000169 某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y=其中 x 代表拟 录用人数,y 代表面试人数,若应聘的面试人数为 60,则该公司拟录用人数为( A.15 B.40 C.25 D.130 解析:令 y=60,若 4x=60,则 x=15>10,不合题意; 若 2x+10=60,则 x=25,满足题意; 若 1.5x=60,则 x=40<100,不合题意. 故拟录用人数为 25 人. 答案:C 5.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x (0<x<240,x∈N),若 每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 )
2

)

1

解析:由题意知解之,得 150≤x<240 且 x∈N.

∴不亏本时的最低产量为 150 台.
答案:C 6.(2016 四川雅安高中联考)某种商品投放市场以来,曾经过三次降价,其价格由 a 元降至 b 元,那么 该商品每次平均降价的百分数是
3

.
a

解析:此题是一个平均增长率的数学模型,要用到 M=N(1±p%) 这一关系.设每次平均降价为 x,则由 题意,得 a(1-x) =b,解得 x=1-.故该产品每次平均降价的百分数为×100%. 答案:·100% 7.某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为 40 cm 的正方形 ABCD,点 E,F 分别在边

BC 和 CD 上,△CFE,△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成△CFE,△ABE 和四边形 AEFD 的三
种材料的每平方米价格之比依次为 3∶2∶1.若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,能使中间的阴 影部分构成四边形 EFGH.则当 CE= cm 时,定制这批地砖所需的材料费用最省?

解析:设 CE=x,则 FC=x,BE=40-x,设△CFE,△ABE 和四边形 AEFD 的面积分别为 S1,S2,S3,地砖的总费 用为 y,则 y=3S1+2S2+S3=x +40 -40x+40 -x -20×40+20x=x -20x+2 400,二次函数开口向上,其对称轴 为 x=10,所以当 x=10,即 CE=10 时费用最少. 答案:10 8.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过滤一次可使 杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求 ?(已知:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 解:依题意,得 2%·≤0.1%, 即. 则 n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2), 故 n≥≈7.4,考虑到 n∈N+, 即至少要过滤 8 次才能使产品达到市场要求. 9. 导学号 91000170 某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲 家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活 动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动
2 2 2 2 2

x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x);
(2)问:选择哪家比较合算?为什么? 解:(1)f(x)=5x,15≤x≤40;

g(x)=

2

(2)当 5x=90 时,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x); 当 x=18 时,f(x)=g(x); 当 18<x≤40 时,f(x)>g(x);

∴当 15≤x<18 时,选甲家比较合算;当 x=18 时,两家一样合算;当 18<x≤40 时,选乙家比较合
算. 10.中考结束以后,某同学一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且 有各自的优惠政策.甲旅行社承诺,如果父亲买一张全票,则其家庭其余成员均可享受半价;乙旅行 社承诺,家庭旅行算团体票,按原价的计算.这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不同,试 比较选择哪家更优惠?(提示:根据孩子的个数来判断) 解:设两家旅行社的原价为 a(a>0),家庭孩子的个数为 x(x∈N+),甲、乙两家旅行社收费分别为 f(x) 和 g(x), 则 f(x)=a+(x+1)·x+a(x∈N+),

g(x)=(x+2)·a=ax+a(x∈N+),
所以 f(x)-g(x)=-(x-1), 所以当 x=1 时,f(x)=g(x). 当 x>1 时,f(x)-g(x)<0. 因此,当家庭只有一个孩子时,两家旅行社随便选择,当孩子多于 1 个时,应选择甲旅行社.

3


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