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北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习(二)数学文科


北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学文科 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时间 120 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题,共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)若集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? B ,则集合

B 可能是 (A) ?1, 2? (B) x x ? 1

?

?

?

?

(C) ??1,0,1?

(D) R

(2) a ? 3 ”是“直线 ax ? 3 y ? 0 与直线 2 x ? 2 y ? 3 平行”的 “ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)执行右图的程序框图,则第 3 次输出的数为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (4) 已知圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? my ? 0 上任意一点 M 关于直线 x ? y ? 0 的对称点 N 也在圆上, 则 m 的值为 (A) ?1 (C) ?2

(B) 1

(D) 2

(5)将函数 y ? sin x 的图象向右平移 象对应的函数解析式为 (A) y ? 1 ? sin x (C) y ? 1 ? cos x

? 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得的图 2
(B) y ? 1 ? sin x (D) y ? 1 ? cos x

(6)已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中 一定能推出 m ? ? 的是 (A) ? ? ? ,且 m ? ? (C) ? ? ? ,且 m ∥ ? (B) m ∥ n ,且 n ? ? (D) m ? n ,且 n ∥ ?

(7)设 M ( x0 , y0 ) 为抛物线 C : y ? 8x 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,若以 F 为圆心,
2

FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x0 的取值范围是 (A) (2 , ? ?) (B) (4 , ? ?) (C) (0 , 2) (D) (0 , 4)

1

(8)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1)(cx2 ? bx ? 1) ,集合
S ? ? x f ( x ) ? 0, x ? R? , T ? ? x g x ? 0 , x R? ,记 cardS ,cardT 分别为集合 S , T 中的元素个数,那么下列 ( ) ?
结论不可能的是 (A) cardS ? 1,cardT ? 0 (C) cardS ? 2,cardT ? 2 (B) cardS ? 1,cardT ? 1 (D) cardS ? 2,cardT ? 3

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) 若向量 a ? (1, 0) ,向量 b ? (1,1) ,则 a - b = (10) 设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为实数,则 a 的值为 , a - b 与 b 的夹角为
.

.

(11)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,若第一组至第六组数据的频率之比为

2 : 3 : 4 : 6 : 4 :1 ,且前三组数据的频数之和等于 27 ,则 n 的值为
?

.

(12)在平面直角坐标系 xOy 中, 将点 A( 3,1) 绕原点 O 逆时针旋转 90 到点 B , 那么点 B 坐 标为____,若直线 OB 的倾斜角为 ? ,则 tan 2? 的值为 (13) 已知函数 f ( x) ? x 2 ,给出下列命题: ①若 x ? 1 ,则 f ( x) ? 1 ; ②若 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ③若 0 ? x1 ? x2 ,则 x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ④若 0 ? x1 ? x2 ,则
1



f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ). 2 2
.

其中,所有正确命题的序号是

(14) 已知四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, 侧棱 AA ? 底面ABCD , AA ? 2 , 底面 ABCD 的 1 1 1 边长均大于 2,且 ?DAB ? 45 ,点 P 在底面 ABCD 内运动且在 AB , AD 上的射影分
?

别为 M , N ,若 PA ? 2 ,则三棱锥 P ? D1MN 体积的最大值为____.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0, ? 图象如图所示. (Ⅰ)求 A , ? , ? 的值; (Ⅱ)已知在函数 f ( x ) 图象上的三点 M , N , P 的横坐标分别为 ?1, 1, 3 ,求 sin ?MNP 的 值.
y 1 ?2 ?1 0 ?1 1 2

π π ? ? ? )的部分 2 2

3

4

5

6 x

(16) (本小题共 13 分) 某校为了解学生的学科学习兴趣,对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样 调查,随机抽取了 100 名学生,相关的数据如下表所示:
数学 初中 高中 总计 语文 总计

40

18

58
42

15
55

27
45

100

(Ⅰ) 用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取 5 名,高中学生应该抽取几名? (Ⅱ) 在(Ⅰ)中抽取的 5 名学生中任取 2 名,求恰有 1 名初中学生的概率.

(17) (本小题共 13 分) 如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互 直, MB ∥ NC , MN ? MB . (Ⅰ)求证:平面 AMB ∥平面 DNC ;
3

D

相垂
A

N M

C B

(Ⅱ)若 MC ? CB ,求证 BC ? AC .

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? 2 x ? ae x . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 左 焦 点 F1 (? 1, 0) 长 轴 长 与 短 轴 长 的 比 是 , a 2 b2

2: 3 .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F 作两直线 m ,n 交椭圆于 A , B ,C , D 四点,若 m ? n ,求证: 1 为定值. (20)(本小题共 14 分)

1 1 ? AB CD

64 个正数排成 8 行 8 列, 如下所示:

a11 a12 ? a18 a21 a22 ? a28 ??????? a81 a82 ? a88
其中 aij 表示第 i 行第 j 列的数.已知每一行中的数依次都成等差数列,每一列中的数依 次都成等比数列,且公比均为 q , a11 ? (Ⅰ)求 a12 和 a13 的值; (Ⅱ)记第 n 行各项之和为 An ( 1 ≤ n ≤ 8 ) ,数列 ?an ? , ?bn ? , ?cn ? 满足 a n ?

1 1 , a 24 ? 1 , a 21 ? . 2 4
36 , An

mbn?1 ? 2(a n ? mbn ) m 为非零常数) c n ? ( ,
的取值范围; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 a n ,记 d n ? 最大项的项数.

bn 2 , c1 ? c7 ? 100 , c1 ? 2 ? 且 2 求 c ?? an

c7

200 (n ? N? ) ,设 Bn ? d1d2 ??? dn (n ?N? ) ,求数列 {Bn } 中 an

4

北京市东城区 2011-2012 学年度高三综合练习(二) 数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)C (2)C (6)B (3)B (7)A (4)D (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) (0 , ? 1) (12) (?1, 3)

3 ? 4

(10) ?1

(11) 60 (14) ( 2 ? 1)

3

(13)①④

1 3

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图可知, A ? 1 . ???1 分

f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ?




?

? 8,? ?

π . 4

???3

π π π ? ? ) ? 1 ,且 ? ? ? ? 4 2 2 π π π 所以 ? ? ? , ? ? . 4 2 4
又 f (1) ? sin( (Ⅱ)因为 f (?1) ? 0, f (1) ? 1, f (3) ? 0 , 所以 M (?1, 0) , N (1,1) , P(3 , 0) . 设 Q(1, 0) , ????7 分 在等腰三角形 MNP 中,设 ?MNQ ? ? ,则 sin ? ? 所

????6 分

2 1 , cos ? ? , 5 5


s ?MNP ?

??

?

?? ?

2 ? ? . 5 5 5

i ?????13 分

(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ) 由表中数据可知, 高中学生应该抽取 27 ?

5 ? 3 人. 45

??????4 分

(Ⅱ) 记抽取的 5 名学生中,初中 2 名学生为 A , B ,高中 3 名学生为 a , b , c ,

5

则从 5 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 10 种, 它们是:( A , B) ,( A , a) ,

( A , b) , ( A , c) , ( B , a) , ( B , b) , ( B , c) , (a , b) , (a , c) , (b , c) .
????7 分

其中恰有 1 名初中学生的情况有 6 种,它们是: ( A , a ) , ( A , b) , ( A , c) ,

( B , a) ( B , c) .
故所求概率为



( B , b)
????9 分



6 3 ? . 10 5

???13 分

(17) (共 13 分) 证明: (Ⅰ)因为 MB // NC , MB ? 平面 DNC , NC ? 平面 DNC , 所以 MB //平面 DNC . ?????2 分
A D

因为 AMND 是矩形, 所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 所以 MA //平面 DNC . ?????4 分

又 MA ? MB ? M ,且 MA , MB ? 平面 AMB , 所以平面 AMB //平面 DNC . (Ⅱ)因为 AMND 是矩形, 所以 AM ? MN . ?????6 分
M

N

C B

因为 平面AMND ? 平面MBCN ,且 平面AMND ? 平面MBCN = MN , 所以 AM ? 平面MBCN . 因为 BC ? 平面MBCN , 所以 AM ? BC . 因为 MC ? BC , MC ? AM ? M , 所以 BC ? 平面AMC . 因为 AC ? 平面AMC , ??????12 分 ??????10 分

6

所以 BC ? AC . (18) (共 13 分) 解 : ( Ⅰ ) 由
a ?1

??????13 分



1 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? e x 2



f (1) ?

3 ?e, 2
所以 f ?( x) ? ?x ? 2 ? e x . 又 f ?(1) ? 1 ? e , 所 以 所 求 切 线

???1 分 ????3 分







3 y ? ( ? e) ? (1 ? e)( x ? 1) 2



2(1 ? e) x ? 2 y ? 1 ? 0 .

????5 分

1 (Ⅱ)由已知 f ( x) ? ? x2 ? 2x ? ae x ,得 f ?( x) ? ? x ? 2 ? ae x . 2
因为函数 f (x) 在 R 上是增函数, 所以 f ?( x) ? 0 恒成立,即不等式 ? x ? 2 ? ae x ? 0 恒成立.??????9 分 整理得 a ? 令

?x ? 2 . ex
??????11 分

g ( x) ?

?x ? 2 x ?3 , g ?( x) ? x . x e e
x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表:

x
g ?( x)
g ( x)

(?? , 3)

3

(3 , ? ?)
+

?

0
极小值







a ? ( g= 3 ?

?3

,即 )

e的a











? ?? , ? e

?3

?. ?

??????13 分

(19) (共 14 分)

7

?2a : 2b ? 2 : 3, ? (Ⅰ)解:由已知得 ? c ? 1, ? a 2 ? b2 ? c 2 . ?
解 得

a?2
??????4 分

,

b? 3.
故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??????5 分

(Ⅱ )证明: 由(Ⅰ)知 F1 ? ?1, 0? , 当直线 m 斜 率存在时,设 直线 m 的方 程为 :

y ? k ? x ? 1?? k ? 0? .
? y ? k ( x ? 1), ? 2 ?x y2 ? ? 1, ? 3 ?4
??????7 分





? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .

由于 ? ? 0 ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2 1 2

AB ?

?1 ? k ? ?? x ? x ? ?
2

? 4 x1 x2 ? ?

2 2 ?? 8k 2 ? 4k 2 ? 12 ? 12 1 ? k ? ?1 ? k ? ?? ? ? 4? ? ? . 2 ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ?? 3 ? 4k ? ? ?

?

?

????

??9 分 同理 CD ? 所

12 ?1 ? k 2 ? 3k 2 ? 4

.

??????11 分 以 ??????12 分

7 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 7 1 1 ? ? ? ? ? . 2 2 2 AB CD 12 ?1 ? k ? 12 ?1 ? k ? 12 ?1 ? k ? 12
当 直 线

m 斜 率 不 存 在 时 , 此 时

AB ? 3, CD ? 4 ,

1 1 7 1 1 ? ? ? .???13 分 ? AB CD 3 4 12
8







1 1 ? AB CD







7 . 12
(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 q ?

??????14 分

a 21 1 a ? , 所以 a14 ? 24 ? 2 . a11 2 q

又 a11 , a12 , a13 , a14 成等差数列, 所以 a12 ? 1, a13 ?

3 . 2

??????4 分

(Ⅱ)设第一行公差为 d ,由已知得, a24 ? a14 q ? ( ? 3d ) ? 解得 d ?

1 2

1 ?1, 2

1 . 2

1 7 ? ?4. 2 2 1 n ?1 1 n 1 1 1 an8 ? a18 ? ( ) n ?1 ? 4 ? ( ) n ?1 ? 8 ? ( ) n . 因为 an1 ? a11 ? ( ) ? ( ) , 2 2 2 2 2 a ? an8 1 ? 8 ? 36 ? ( ) n , 所以 An ? n1 2 2 ? n 所以 a n ? 2 (1 ? n ? 8, n ?N ) . ???6 分
所以 a18 ? a11 ? 7d ? 因为 mbn?1 ? 2(a n ? mbn ) , 所以 mbn?1 ? 2n?1 ? 2mbn . 整理得

bn ?1
n ?1

2 2 bn 1 而 cn ? ,所以 c n ?1 ? c n ? , an m 所以 {cn } 是等差数列.
故 c1 ? c2 ? ??? ? c7 ?

?

bn
n

?

1 . m

???8 分

(c1 ? c7 ) ? 7 . 2

1 ? 0, m 所以 c1 ? c7 .
因为 所以 2c1c7 ? c12 ? c7 2 . 所以 (c1 ? c7 ) ? c1 ? c7 ? 2c1c7 ? 2(c1 ? c7 ) ? 200 ,
2 2 2 2 2

所以 ?10 2 ? c1 ? c7 ? 10 2 . 所 以

c1 ?

c2 ?

? 的 c7? 取 ?
????10 分 5 2

值?







(?

3

5 .

2
1 2
n

,

3

)

(Ⅲ)因为 d n ? 200 ? ( ) 是一个正项递减数列, 所以当 d n ? 1 时,Bn ? Bn ?1 ,当 d n ? 1 时,Bn ? Bn ?1 .( n ? N , n ? 1 )
?

9

1 n ? ? 200 ? ( 2 ) ? 1, d n ? 1, ? ? 所以 {Bn } 中最大项满足 ? 即? ?dn?1 ? 1, ?200 ? ( 1 ) n?1 ? 1. ? ? 2 16 16 解得 6 ? log 1 . ? n ≤ 7 ? log 1 2 25 2 25 16 又 0 ? log 1 ? 1 ,且 n ? N? , 2 25 所以 n ? 7 ,即 {Bn } 中最大项的项数为 7 .

???12 分

????14 分

10


北京市东城区2011-2012学年度高三第二学期高三综合练习(二)(文科数学)

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