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1.6 三角函数模型的简单应用(2)


1.6三角函数模型的简单应用

例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ ,δ 为此时太 阳直射纬度, ? 为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是 θ =90?-| ? - δ |.当地夏半年δ 取正值,冬半年δ 取负值.
? ??

?

?

?

太阳光

r />
如果在北京地区(纬度数约为北纬40? )的一幢高为H的楼房 北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮 挡,两楼的距离不应小于多少?

解:如图,A、B、C分别太阳 直射北回归线、赤道、南回归 线时,楼顶在地面上的投影点, 要使新楼一层正午的太阳全年 H 不被前面的楼房遮挡,应取太 阳直射南回归线的情况考虑, 此时的太阳直射纬度为-23? 26',依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义,有∠C=90? -|40? -(-23? 26')|=26? 34' 所以,

H H MC ? ? ? 2.000 H ' tan C tan 26 34

即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高 两倍的间距。

例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,
一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进 航道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返回海洋,下面是某港口 在某季节每天的时间与水深的关系表:
时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 时刻 水深(米)

0:00 3:00 6:00

5.0 7.5 5.0

9:00 12:00 15:00

2.5 5.0 7.5

18:00 21:00 24:00

5.0 2.5 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 并给出整点时的水深的近似数值。(精确到0.001) (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例 规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能 进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始 卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必 须停止卸货,将船驶向较深的水域?

解: (1)以时间为横坐标,水深为纵坐标, 在直角坐标系中画出散点图,根据图象, 可以考虑用函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? h 来刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出: A=2.5,h=5,T=12, ? =0; ? 由 T ? 2? ? 12 ,得 ? ? . 6 ? 所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为:

6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:

y ? 2.5sin

?

x?5

解: (2)货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 (米),所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 2.5sin ? x ? 5 ? 5.5 6 化简得 sin ? x ? 0.2 6 由计算器计算可得 ? x ? 0.2014, 或? ? ? x ? 0.2014 6 6 解得 xA ? 0.3848, xB ? 5.6152
因为 x ?[0, 24],所以有函数周期性易得 xC ? 12 ? 0.3848 ? 12.3848,

xD ? 12 ? 5.6152 ? 17.6152. 因此,货船可以在凌晨零时30分左右进港,早晨5时30分左右出 港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港,每次 可以在港口停留5小时左右。

解:
(3)设在时刻x船舶的安全水深为y, 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象,可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米,此时船舶的安全水深约为 4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时船舶的安全水深约为4.1米; 7时的水深约为3.8米,而船舶的安全水深约为4米,因此为了安 全,船舶最好在6.5时之前停止卸货,将船舶驶向较深的水域。


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