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(解析版)安徽省安庆一中等江淮名校2015届高三第二次联考数学(文)[来源:学优高考网846848]


安徽省江淮名校 2015 届高三第二次联考

数学(文)试题
【试卷综述】重点考查基本知识和基本技能,侧重通性通法 注重对基本知识和基本技能的考查,重点考 查通性通法,避免偏题、怪题,适当控制运算量,加大思考量,在大题中,每个题的难度按照由易到难的 梯度设计,学生入口容易,但是又不能无障碍的获得全分, 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合 性,很

多题目是由多个知识点构成的,这有利于考查考生对知识的综合理解能力,有利于提高区分度. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间:120 分钟。考 生务必将答案答在答题卷上,在试卷上作答无效。考试结束后只交答题卷。

第 I 卷 (选择题共 50 分)
【题文】一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 【题文】1.已知集合 A ? x | x |? 2, x ? R , B ? x A. (0,2) 【知识点】集合 A1 【答案】 【解析】D 项为 D. 【思路点拨】先求出各集合中的元素,再求出它们的交集. 【题文】2.复数 B.[0,2]

?

?

?

x ? 2, x ? z ,则 A B =( )
D.{0,l,2}.

?

C.{0,2}

解析: 因为 A ? ?x | ?2 ? x ? 2? , B ? ?0,1, 2,3, 4 ? ,所以 A ? B ? ?0,1, 2? ,正确选

i 在复平面内对应的点位于( 2i ? 1

) D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 【知识点】复数的运算 L4 【答案】 【解析】D 所以正确选项为 D. 解析:根据复数的运算可知

C.第三象限

i ? 2i ? 1? 2 1 i ?2 1? ? ? ? i ,所以复数的坐标为 ? , ? ? , 2 2i ? 1 ? 2i ? ? 1 5 5 ?5 5?

【思路点拨】对分母进行实数化运算,求出复数的坐标可得正确结果. 【题文】 3. 已知函数 f ( x) ? sin ? x( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? , 为了得到函数 g ( x) ? sin(? x ? 图象,只要将 y ? f ( x) 的图象( )

?
4

)的

? 个单位长度 4 ? C.向左平移 个单位长度 8
A.向左平移 【知识点】三角函数的图像与性质 C3

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

【答案】 【解析】C 解析:因为最小正周期为

? , 所 以 ? ? 2 , 所 以 f ? x? ? s i n 2x, 而

?? ? g ? x? ? s i n 2? ? ? ? x 4? ?

? ? ? ? ?? s?i n ? ?? ,所以只需将 f ? x ? 向左平移 单位即可.所以正确结果为 C. ? x2 8 8 ?? ? ?

【思路点拨】根据函数图像移动的法则,我们可导出公式再求出正确结果. 【题文】4.已知等差数列{an}的前 n 项之和是 Sn,则-am<a1<-am+l 是 Sm>0,Sm+1<0 的( ) A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不毖要 【知识点】等差数列 D2

【答案】 【解析】C 解析: 由等差数列的前 n 项公式可知

a1 ? an ? 0则Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? a1 ? an ? ? 0,Sn ? ? 0 ? 则a1 ? an ? 0 ,所以 2 2 n ? a1 ? am ? n ? a1 ? am ? ? 0,Sm ? ? 0则a1 ? am ? 0 ,同理可知 2 2

?am ? a1 ? a1 +a m >0 ?Sm ? a1 +a m?1 >0 ?Sm ?

n ? a1 ? am?1 ? ? 0 ,反这成立,所以 C 正确. 2

【思路点拨】根据等差数列的前 n 项和公式即可判定它们之间的关系. 【题文】5.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与横轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos2 ? = A.一

3 5

B.-

4 5

C.

2 3

D.

3 4

【知识点】三角函数的定义 C1 C6 【 答 案 】【 解 析 】 A 解 析 : 由 题 意 可 找 ? 角 终 边 上 一 点

?1, 2?

, 则

sin ? ?

2 5 5 ,cos ? ? 5 5

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2? ? ?

3 5

【思路点拨】根据三角函数的定义及二倍角公式可求出正确结果. 【题文】6.已知函数 f ( x) ? a x ? x ? b ,的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ) ,其中常数 a,b 满足 2a =3,3b =2, 则 n 的值是( ) . A.-2 B.-l 【知识点】函数与方程 B9 C.0 D.1
x

【答案】 【解析】B 解析:因为 a ? log 2 3, b ? log 3 2 ? f ? x ? ? ? log 2 3? ? x ? log 3 2 ,函数的零点为方程

? log 2 3?

x

? log 3 2 ? x 的根据,由指数函数与一次函数的交点可知方程的根在 ? ?1.0? 内,所以 n ? ?1 ,所

以正确选项为 B. 【思路点拨】根据函数零点的定义,可以列出方程,再由零点判定的方法求出结果. 【题文】7.如图,在圆 C 中,点 A,B 在圆上, AB ·AC 的值( A.只与圆 C 的半径有关; B.只与弦 AB 的长度有关 C.既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 D.是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值 【知识点】向量的数量积 F2 【答案】 【解析】B ∴ ? =| | 解析:设 cosA═ | | 与 的夹角为 A, = | |,
2



∴ ? 的值只与弦 AB 的长度有关, 故选:B. 【思路点拨】由题意设 与 的夹角为 A,表示出 ? ═| | ,得到结论
2

【题文】8.已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f (2 ? x) ? f (6 ? x) ,且当 x≠4 时其导函数 f '( x) 满足 xf '( x) ? 4 f '( x) ,若 9<a<27,则( )

A. f (2 a ) ? f (6) ? f (1og3a) C. f (1og3a) ? f (2 a ) ? f (6) 【知识点】函数的性质 B14 【答案】 【解析】D 解析:由已知条件

B. f (6) ? f (2 a ) ? f (1og3a) D. f (1og3a) ? f (6) ? f (2 a )

f (2 ? x) ? f (6 ? x) 可 推 出 函 数 关 于 x ? 4 对 称 , 再 由

xf '( x)? 4 f '(x ? ) f '(x ? ?)x

? ?4

, 0 所 以 x ? 4时,f '( x) ? 0 函 数 f ? x ? 为 增 函 数 , 又 因 为
a

9 ? a ? 27,2 ? log3 a ? 3? f ? log3 a ? ? f ? 2? ? f ? 6? , 9 ? a ? 27, 2
选项为 D.

? 8? f 2

? ? ? f ?6? ,所以正确
a

【思路点拨】由函数的性质可知函数的对称轴及单调性,再根据变量的大小进行判定. 【题文】9.若非零向量 a, b ,满足 | a ? b |?| b | ,则( A.|2 a |>|2 a + b | C.|2 b |>| a + 2b | 【知识点】向量的运算 F3 【答案】 【解析】C ) B.|2 a |<|2 a + b | D.|2 b |<| a + 2b |

解析:∵| +2 |=| + + |≤| + |+| |=2| |,

∵ , 是非零向量,∴必有 + ≠ ,∴上式中等号不成立.∴|2 |>| +2 |, 故选 C 【思路点拨】本题是对向量意义的考查,根据|| |﹣| ||≤| + |≤| |+| |进行选择,题目中注意 | +2 |=| + + |的变化,和题目所给的条件的应用. 【题文】10.已知数列{an}的前 n 项之和是 Sn,且 4Sn=(an+1)2,则下列说法正确的是 A.数列{an}为等差数列 B.数列{an}为等比数列 C.数列{an}为等差或等比数列 D.数列{an}可能既不是等差数列也不是等比数列 【知识点】等差数列 D2 【答案】 【解析】A
2

解析:
2 2 2

4Sn ? ? an ? 1? ? 4Sn ?1 ? ? an ?1 ? 1? ? 4 Sn ?1 ? 4 Sn ? 4an ?1 ? ? an ?1 ? 1? ? ? an ? 1?

? an?1 ? 1?
所以选 A

2

? ? an ? 1? ?an?1 ? an ? 2, 或an?1 ? an ? 2
2

4a1 ? ? a1 ? 1? ? a1 ? 1? an ?1 ? an ? 2或an ? 1
2

【思路点拨】由数列前 n 项和与通项公式的关系可以等到数列的通项公式,再由通项公式判定结果.

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分)
【题文】二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置, )
2 【题文】11.命题”存在 x0>一 1, x0 +x0 -2014>0”的否定是

【知识点】命题 A2
2 【 答案 】 【解 析】 ?x ? ?1, x ? x ? 2014? 0 解 析:命 题 ” 存 在 x0> 一 1 , x0 +x0 - 2014>0” 的否定 是

2

?x ? ?1, x 2 ? x ? 2014? 0 所以填 ?x ? ?1, x 2 ? x ? 2014? 0
【思路点拨】根据命题间的关系可直接写出结果.

? 3? 【题文】 12. 如图, 在第一象限内, 矩形 ABCD 的三个顶点 A, B, C 分别在函数 y=lo g 2 x, y ? x , y ? ? ? 2 ? ? , ? ? 2
1 2

x

的图像上, 且矩形的边分别平行两坐标轴, 若 A 点的纵坐标是 2, 则 D 点的坐标是



【知识点】向量的坐标运算 F2 【答案】 【解析】 ( , )解析:由题意可得,A、B、C 点坐标分别为( ,2) , (4,2) , (4, = , . ) ,设 D

(m,n) ,再由矩形的性质可得 故 (m﹣ ,n﹣2)=(0, 解得 m= ,n= 故答案为: ( ,

﹣2) ,∴m﹣ =0,n﹣2=﹣ ) ,

,故点 D 的坐标为( , ) .

【思路点拨】先求出 A、B、C 的坐标,设出点 D 的坐标,再根据矩形 ABCD 得出 = 算求出点 D 的坐标. 【题文】13.已知正项等比数列{an}满足 a2015=2a2013+a2014,若存在两项 am、an 使得

,利用向量坐标运

am an ? 4a1 则

n ? 4m 的最小值为 nm



【知识点】不等式 E6 【答案】 【解析】 解析:设正项等比数列{an}的公比为 q,则 q>0,
2

因为 a2015=2a2013+a2014,所以 q =2+q, 解得 q=2 或 q=﹣1(舍去) , 因为存在两项 am、an 使得 =4a1, 所以 即2 则
m+n﹣2

,化简得 q =16=2 ,所以 m+n=6, )= (5+
4

m+n﹣2

=16,

= (m+n) (

)≥ 的最小值是 ,

= ,

当且仅当

时取等号,所以

故答案为: . 【思路点拨】设正项等比数列 {an} 的公比为 q 且 q > 0 ,根据题意和等比数列的通项公式求出 q ,代入 =4a1 利用指数的运算化简得:m+n=6,利用 1 的代换化简 ,利用基本不等式求出最小值. 。

【题文】 14. 若正实数 a 使得不等式|2x - a|+|3x- 2a|≥a2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的范围是 【知识点】绝对值不等式 A1 【答案】 【解析】 [﹣ ﹣1|+ |a||k﹣ |≥|a|
2

]

解析: 取 k∈R, 令

, 则原不等式为|ka﹣a|+| ka﹣2a|≥|a| , 即|a||k

2

由此易知原不等式等价于

,对任意的 k∈R 成立.

由于|k﹣1|+ |k﹣ |=

∵y= y=3﹣

,在 k

时,y

,y=1﹣ k,在 1≤k< 时,

,k<1 时,y> ,所以|k﹣1|+ |k﹣ |的最小值等于 , .

从而上述不等式等价于 故答案为:[﹣ ]

【思路点拨】根据所给的含有绝对值的不等式,设出所给的两个变量之间的关系,对所给的绝对值不等式 进行整理,得到最简形式,根据函数的思想 f(x)>m 恒成立,只要 m<f(x)的最小值. 【题文】15.已知集合 M= ?( x, y) | y ? f ( x)? ,对于任意实数对 ( x1 , y1 ) ? M ,存在实数对(x1,y2)? M 使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集命 M 是: “孪生对点集”-给出下列五个集合-; ① M ? ?( x, y ) y ?

?

? ③ M ? {( x, y) | y ? sin x} ⑤ M ? {( x, y) | y ? 1nx}
其中不是“孪生对点集”的序号是 【知识点】函数的图象 B8 。

1? ? x?

② M ? {( x, y) | y ? ex ? 2} ④ M ? {( x, y) | y ? x2 ?1}

【答案】 【解析】 ①⑤ 解析:对于①,注意到 x1?x2+

∈(﹣∞, ﹣2]∪[2, +∞) ,故 x1?x2+

=0,

即 x1x2+y1y2=0 无实数解,因此①不是“孪生对点集”; 2 对于②,如下图,注意到过原点任意作一条直线与曲线 y=x ﹣1 相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线 2 y=x ﹣1 相交,因此②是“孪生对点集”;

对于③由图像可知是“孪生对点集” x 对于④,如下图,注意到过原点任意作一条直线与曲线 y=e ﹣2 相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线 x y=e ﹣2 相交,因此是“孪生对点集”;

对于⑤,注意到对于点(1,0) ,不存在(x2,y2)∈M,使得 1×x2+0×lnx2=0,因为 x2=0 与真数的限制条 件 x2>0 矛盾,因此不是“孪生对点集”. 所以不是“孪生对点集”的有①⑤ 【思路点拨】分别作出函数的图像可知结果. 【题文】三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 【题文】16. (本小题满分 12 分) 设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0,S5=5 ; (1)求通项 an 及 Sn; (2)设 ?bn ? 2an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列.求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn。 【知识点】数列的通式公式及前 n 项和公式 D1 D2

3 2 17 3n ? 1 n ? n (2) bn ? 3n?1 ? 20 ? 6n Tn ? ? 3n 2 ? 17n 2 2 2 解析: (1)由 S5 S6 ? 15 ? 0 及 S5 ? 5 ,有 S6 ? ?3 ????????1 分
【答案】 【解析】(1) an ? ?3n ? 10 S n ? ?

?5a1 ? 10d ? 5 ?a1 ? 7 解得 ? ?????????4 分 ?d ? ?3 ?6a1 ? 15d ? ?3 ? an ? 7 ? (n ?1)(?3) ? ?3n ? 10 7 ? (?3n ? 10) 3 17 n ? ? n2 ? n ??????????6 分 ? Sn ? 2 2 2 (2)由题意有 bn ? 2an ? 3n?1 ,又由(1)有 bn ? 3n?1 ? 20 ? 6n ???8 分
有?

? Tn ? b1 ? b2 ?

? bn ? (1 ? 2a1 ) ? (3 ? 2a2 ) ?

? (3n?1 ? 2an )

? 1? 3 ?

? 3n?1 ? 2(a1 ? a2 ?

? an ) ?

1 ? 3n 3n ? 1 ? 2Sn ? ? 3n 2 ? 17n 1? 3 2

【思路点拨】由已知条件可直接求出数列的通式公式及前 n 项和公式,第二步可按分组求和法进行求解. 【题文】17. (本小题满分 l2 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, m ? (sin( x ? A),sin A), n ? (2cos x,1) (x∈R) :’ 函数 f ( x) ? m.n 在 x ? (1)当 x ? (0,

?
2

5? 处取得最大值. 12

) 时,求函数 f ( x) 的值域;

(2)若 a=7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求△ABC 的面积, 14

【知识点】向量的坐标运算 F2 【答案】 【解析】(1) ? ? ?

? ?

1 3 ? ,1? (2) S?ABC ? bc sin A ? 10 3 解析: 2 2 ?
????????1 分

(1) f ( x) ? 2cos x(sin x cos A ? cos x sin A) ? sin A

? sin 2 x cos A ? cos 2 x sin A ? sin(2 x ? A) 5? 处取得最大值。 f ( x) 在 x ? 12 5? ? ?2? ? A ? 2k? , k ? Z ,即 A ? ? 2k? , k ? Z 12 3

A ? (0, ? ) ,? A ?

?

3

??????????4 分

? 3 ? 3 ? 。??????????6 分 ? sin(2 x ? A) ? 1 ,即 f ( x) 的值域为 ? ? 2 ,1? 2 ? ? a b c b?c ? ? sin A (2)由正弦定理 得 sin B ? sin C ? sin A sin B sin C a ? b ? c ? 13 ??????????9 分 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 bc ? 40 ??????????11 分 1 S?ABC ? bc sin A ? 10 3 2

??

【思路点拨】由已知条件进行运算,化简求出值域,再由正弦定理和余弦定理求出三角形的面积. 【题文】18. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1,设 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)求 a、b 的值; (2)若不等式 f (2x ) ? k.2x ? 0 在 x ?[?1,1] 上有解,求实数 k 的取值范围 【知识点】函数的性质 B3 【答案】 【解析】 (1) ?

?a ? 1 2 (2) (?? , 1] 解析: (1)g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a , 因为 a ? 0 , 所以 g ( x) b ? 0 ?

在区间 [2 , 3] 上是增函数,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ...........................4 分 ?b ? 0 ? g (3) ? 4 1 1 x x x x (2)由已知可得 f ( x) ? x ? ? 2 ,所以 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 可化为 2 ? x ? 2 ? k ? 2 , x 2
故?

1 ? 1 ? ? 2? x ? k , x ? 2 ?2 ? 1 ?1 ? 2 令 t ? x ,则 k ? t ? 2t ? 1 ,因 x ? [?1 , 1] ,故 t ? ? , 2? , 2 ?2 ? ?1 ? 2 记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ? , 2? ,故 h(t ) max ? 1, ?2 ? 所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . ........
化为 1 ? ? 【思路点拨】由已知条件可判断函数的单调性,再确定 a,b 的值,再利用换元法求出 k 的取值范围. 【题文】19. (本小题满分 12 分) 合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域 ABCD,AB=100 米,BC=50 3 米,为了便于同学们平时休闲 散步,学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到学校整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且 OE⊥OF,如图所示. (1)设∠BOE= ? ,试将△OEF 的周长 L 表示成 ? 的函数关系式,并求出 此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 800 元,试问如何设计才能使

2

铺路的总费用最低?并求出最低总费用.

【知识点】解三角形 C8

? ?? 50(sin ? ? cos ? ? 1) 4 时, l ? 100( 2 ? 1) ,总费用最低为 , (2) 当 【答案】 【解析】(1) l ? min sin ? cos ? 80000( 2 ? 1) 元 50 50 解析:⑴在 Rt△BOE 中, OE ? ,在 Rt△AOF 中, OF ? cos ? sin ? ? ?? 50 6 ??2 分 在 Rt△OEF 中, EF ? ,当点 F 在点 D 时,角 ? 最小, sin ? cos ? ? ?? 3 ,所以 l ? 50(sin ? ? cos ? ? 1) , ???4 分 当点 E 在点 C 时,角 ? 最大, sin ? cos ? ? ? [ , ] 定义域为 6 3 ???????????6 分

? ? 3 ?1 t ? sin ? ? cos ? , ? ? [ , ] ?t ? 2 6 3 ,所以 2 ⑵设 ????????8 分 50(t ? 1) 100 l? 2 ? ? [100( 2 ? 1),100( 3 ? 1)] ???????????10 分 t ?1 t ?1 2 ? ?? 4 时, l ? 100( 2 ? 1) ,总费用最低为 80000( 2 ? 1) 元 ??12 分 所以当
min

【思路点拨】由三角形的性质利用边与角的关系可列出函数式,再由所列函数求出最小值. 【题文】20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax ?1(a ? 0, e 为自然对数的底数) (1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; 【知识点】导数 B11 【答案】 【解析】(1) f (2) a ? 1 (3)略 ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .
l n a

? 解析:(1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a
x

? 由f 得 x?lna. () x? e?? a0 当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增
x

即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f ..........4 分 ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .
l n a

(2) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1),设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0 易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减,


g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0.

因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 ................................................8 分 【思路点拨】由函数的导数可判定函数的单调性,再根据函数的单调性求值,最后根据已知利用导数进行 证明. 【题文】21. (本小题满分 14 分) 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且有 a1=1,Sn+1=an+1(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项 an;

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn; 4an k ?2 (3)设 ck ? ,{ck } 的前 n 项和为 An,是否存在最小正整数 m,使得不等式 An<m 对任意正 Sk (Tk ? k ? 1)
(2)若 bn ? 整数 n 恒成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由。 【知识点】数列的通项公式;数列求和; D2 D4 【答案】 【解析】 (1) an ? 2n?1 (2) Tn ? 1 ?

n?2 (3)略 解析: (Ⅰ) 当 n ? 1 时, a2 ? S1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 2 ; 2n ?1 当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? an?1 , Sn?1 ? 1 ? an ,相减得 an?1 ? 2an ???????????2 分
又 a2 ? 2a1 , 所以 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,所以 ????????4 分

an ? 2n?1
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 an ? 2n?1 ,所以 bn ? 所以 Tn ?

n n n ? ? n ?1 n ?1 4a n 4 ? 2 2

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2

1? 1? 1? n ? 2 ? 1 1 1 1 1 n n 1 n?2 2 ? 2 ? 两式相减得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? n?2 ? ? n?2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 1 n ?n ? 1 所以 Tn ? 1 ? n ?1 (或写成 Tn ? 1 ? ? ? 1? ? n , Tn ? 1 ? n ? n ?1 均 2 2 2 ?2 ? 2
可 ???8 分

k?2 ? (Ⅲ) CK = Sk ? ?Tk ? k ? 1?
?

k?2 1 ? k?2 1 ? ? ? k ? 2k ? 1? ? ? ?1 ? k ?1 ? k ? 1? ? 2 ? 1? ? ?1 ? k ?1 ? 2 ? ? ? 2 ?
????11 分

2k ?1 1 ? ? 1 ? 2? k ? k ?1 ? k k ?1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以

? S ? ?T
k ?1 k n k ?1

n

n k ?2 1 ? 1 ? ? 1 ? ?? 2 ? k ? k ?1 ? ? 2 ?1 ? n?1 ? ? 2 2 ?1? ? 2 ?1? k ?1 ? 2 ? 1 k ? k ? 1?

若不等式

? S ? ?T
k

k ?2 ? m 对任意正整数 n 恒成立,则 m ? 2 , k ? k ? 1?

所以存在最小正整数 m ? 2 ,使不等式

? S ? ?T
k ?1 k

n

k ?2 ? m 对任意正整数 n 恒成立 k ? k ? 1?

【思路点拨】利用所给关系式求出前 4 项,再利用数学归纳法进行证明,第二步根据数列通项公式特点, 用裂项求和法进行证明.


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