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2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)(定稿)


2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准
加 试
一、 (本题满分 40 分) 如图,E、F 分别是△ABC,△ACD 的内心,AC 平分∠BAD,AC2=AB·AD,延长 EC 交 △CDF 的外接圆于点 K,延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R.若 RK∥EF,求证:点 A 是△BCD 的外心.
B

E A F C

R

K

证明:如图,连接 ER,FK. 因为∠BAC=∠CAD,AC2=AB·AD, 所以△ABC∽△ADC,∠ABC=∠ACD. 1 1 又∠EBC= ∠ABC,∠ACF= ∠ACD, 2 2 所以∠EBC=∠ACF. 由∠EBC=∠ERC 得,∠ERC=∠ACF, 所以 ER∥AC. 同理 FK∥AC, 于是 ER∥FK. 又因为 RK∥EF, 所以四边形 EFKR 为平行四边形,从而 ER=FK. 因为 ER∥AC,所以∠REC=∠ECA=∠ECB. 又因为∠EBC=∠ERC,EC=EC, 所以△BEC≌△ECR,从而 BC=ER. 同理,CD=FK,所以 BC=CD. 由 AC AD CD = = =1,得△ABC≌△ADC,于是 AB=AC=AD, AB AC BC ………………………… 40 分 ………………………… 20 分
D A F E C R B D

K

即 A 为△BCD 外接圆的外心.

1 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 1 页 共 4 页

二、 (本题满分 40 分) 求所有的正整数 n,使得对于任意正实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,有 1 abc(an+bn+cn)≤ n+2. 3 2 1 解: (1)当 n≥3 时,取 a= ,b=c= , 3 6 1 1 1 1 - 则 abc(an+bn+cn)= n+3(2n 1+ n+ n)> n+2.所以 n≥3 不满足题意. 2 2 3 3 ………………………… 10 分 (2)当 n=1 时, a+b+c 3 1 abc(a+b+c)=abc≤( ) ≤ 3,所以 n=1 时,满足题意. 3 3 ………………………… 20 分 (3)当 n=2 时,原不等式也成立. 令 x=ab+bc+ca,则 a2+b2+c2=1-2x, 由(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c),得 3abc≤x2. 1 于是,abc(a2+b2+c2)≤ x2(1-2x). 3 x+x+1-2x 3 1 1 1 1 因此 0<x< ,从而 x2(1-2x)≤ ×( ) = 4. 2 3 3 3 3 1 1 即 abc(a2+b2+c2)≤ x2(1-2x)≤ 4. 3 3 ………………………… 40 分

2 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 2 页 共 4 页

三、 (本题满分 50 分) 设 n 为正整数, 求满足以下条件的三元正整数组 〈a, b, c〉 的个数: (1) ab=n; (2) 1≤c≤b; (3)a、b、c 的最大公约数为 1. 解:用(a,b,c)表示 a、b、c 的最大公约数. 令 Sn={〈a,b,c〉| a、b、c 为正整数,ab=n,1≤c≤b,(a,b,c)=1}, 记 Sn 中元素的个数为 f(n) (n∈N*).显然 f(1)=1. ①如果 n=pα,其中 p 为素数,α≥1.设〈a,b,c〉∈Sn, 若 b=1,则 a=pα,c=1; 若 b=pt,1≤t≤α-1,则 a=pα t,(c,p)=1,1≤c≤b;若 b=pα,则 a=1,1≤c≤b. 因此,f(pα)=1+ ? φ(pt)+ pα=pα 1+pα.(这里 φ(x)为 Euler 函数).
- -

α-1 t=1

……………………………… 20 分 ②下证:如果 m,n 为互素的正整数,那么 f(mn)=f(m)·f(n). 首先,对每个〈a,b,c〉∈Smn.由于 ab=mn. 令 b1=(b,n),b2=(b,m),那么(b1,b2)=1, 再令 a1=(a,n),a2=(a,m), 那么(a1,a2)=1,而且 a1b1=n,a2b2=m. 因为 1=(a,b,c)=(a1a2,b1b2,c)=((a1a2,b1b2),c)=((a1,a2)·(b1,b2),c). 那么 (a1,b1,c)=1,(a2,b2,c)=1,令 ci≡c(modbi),1≤ci≤bi,i=1,2. 那么(a1,b1,c1)=1,(a2,b2,c2)=1,因此, 〈a1,b1,c1〉∈Sn, 〈a2,b2,c2〉∈Sm. ……………………………… 30 分 其次,若〈a1,b1,c1〉∈Sn, 〈a2,b2,c2〉∈Sm. 令 a=a1a2,b=b1b2.由于(m,n)=1,从而(b1,b2)=1.
?c≡c1 (modb1) 由中国剩余定理,存在唯一的整数 c,1≤c≤b,满足? . ?c≡c2 (modb2)

……………………………… 40 分 显然(a1,b1,c)=(a1,b1,c1)=1,(a2,b2,c)=(a2,b2,c2)=1, 从而(a,b,c)=((a,b),c)=((a1,b1)(a2,b2),c)=(a1,b1,c) (a2,b2,c)=1. 因此, 〈a,b,c〉∈Smn. 所以,f(mn)=f(m)·f(n). 1 利用①②可知,f(n)=nΠ(1+ ). p p|n ……………………………… 50 分

3 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 3 页 共 4 页

四、 (本题满分 50 分) 设 a、b、c、d、e 为正实数,且 a2+b2+c2+d2+e2=2.若 5 个正三角形的面积分别为 a2, b2,c2,d2,e2.求证:这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC. 证明:不妨设 a≥b≥c≥d≥e>0. 若 a≥1,则面积为 a2 的三角形可覆盖△ABC. ……………………… 10 分

1 1 若 a<1,则必有 b+c>1,这是因为当 c> 时,由于 b≥c,则 b+c>1;当 c≤ 时, 2 2 又 a<1,则 b2=2-a2-c2-d2-e2>1-3c2≥(1-c)2, 所以 b+c>1,从而 a+c>1,a+b>1. ……………………………… 20 分 用面积为 a2, b2, c2 的三个三角形覆盖的△ABC, 使得每个三角形都分别有一个顶点与△ABC 的一个顶点重合,且有两条边在△ABC 的两条边上.于是,这三个三角形两两相交. 若这三个三角形能覆盖△ABC,则结论成立.否则有 (a+b-1)+(b+c-1)+(c+a-1)<1,得 2-a-b-c>0. ……………………………… 30 分 令中间不能被 a2,b2,c2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2, 则 f 2=1-(a2+b2+c2)+(a+b-1)2+(b+c-1)2+(c+a-1)2 =(2-a-b-c)2, 得 f=2-a-b-c. 下证:d ≥f . 1 1 1 若 d> ,由 a≥b≥c≥d≥ ,则 f=2-a-b-c< ,从而 d>f. 2 2 2 1 若 d≤ ,由 a、b、c<1,有 d≥2d2≥d2+e2=2-a2-b2-c2>2-a-b-c=f. 2 所以,面积为 d2 的正三角形可以覆盖△ABC 不能被面积 a2,b2,c2 覆盖的部分. ……………………………… 50 分 ……………………………… 40 分

4 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案 第 4 页 共 4 页


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