nbhkdz.com冰点文库

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-8函数与方程、函数模型及其应用试题


函数与方程、函数模型及其应用
1 x 1.(2011·北京东城一模)已知函数 f(x)=( ) -x ,在下列区间中,含有函数 f(x)零 2 点的是( ) 1 1 B.( , ) 3 2 D.(1,2) 1 3

1 A.(0, ) 3 1 C.( ,1) 2 [答案] B

1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 2 1

3 [解析] f(0)=1>0,f( )=( ) -( ) >0,f( )=( ) -( ) <0, 3 2 3 2 2 2 1 1 ∵f( )·f( )<0,且函数 f(x)的图象为连续曲线, 3 2 1 1 ∴函数 f(x)在( , )内有零点. 3 2 [点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、 指数函数的单调性与零点存在性 定理,难度不大,但有一定的综合性,要多加强这种小题训练,做题不一定多,但却能将应 掌握的知识都训练到. 2.(文)(2011·杭州模拟)函数 f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( A.0 [答案] C [解析] 在同一坐标系内作出函数 y=|x-2|与 y=lnx 的图象,∵lne=1,e<3,∴由 图象可见两函数图象有两个交点,∴函数 f(x)有两个零点. B.1 C.2 D.3 )

(理)(2011·陕西)函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 [答案] B

)

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数 y= x和 y=cosx 的图象,如图,由于 x>1 时,y= x>1,y=cosx≤1,所以两图象只有一个交点,即方程 x-cosx=0 在[0,+∞) 内只有一个根,所以 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内只有一个零点,所以选 B.

?1?x 3.(文)函数 f(x)=? ? -sinx 在区间[0,2π ]上的零点个数为( ?2?
A.1 [答案] B [解析] B.2 C.3 D.4

)

?1? x 在同一坐标系中作出函数 y=? ? 与 y=sinx 的图象,易知两函数图象在 ?2?
x

[0,2π ]内有两个交点. (理)(2011·深圳一检)已知函数 f(x)=x+2 ,g(x)=x+lnx,h(x)=x- x-1 的零

点分别为 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是( A.x1<x2<x3 C.x1<x3<x2 [答案] A

) B.x2<x1<x3 D.x3<x2<x1

[解析] 令 f(x)=x+2 =0,因为 2 恒大于零,所以要使得 x+2 =0,x 必须小于零, 即 x1 小于零;令 g(x)=x+lnx=0,要使得 lnx 有意义,则 x 必须大于零,又 x+lnx=0, 所以 lnx<0,解得 0<x<1,即 0<x2<1;令 h(x)=x- x-1=0,得 x= x+1>1,即 x3>1, 从而可知 x1<x2<x3. 4.(2012·河南六市模拟)若定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且当 x
?log3? x-1? ? 2 ∈[-1,1]时, (x)=x , f 函数 g(x)=? x ?2 ? x≤1? ?

x

x

x

? x>1?

, 则函数 h(x)=f(x)-g(x)

在区间[-5,5]内的零点的个数为( A.9 [答案] B B.8 C.7

) D.6

[解析] ∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x),又 x∈[-1,1]时, (x)=x , f(x) f ∴ 的图象如图所示,在同一坐标系中作出函数 g(x)的图象,可见 y=f(x)(-5≤x≤5)与 y= 2 (x≤1)有 5 个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与 y=log3(x-1)(x>1)的图象有 3 个交点,∴共 有 8 个交点.
x

2

5. (2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中, 函数 f(x)=x -4x -x+4 不存在零 点的区间是( A.[0,1] ) B.[1,2]

3

2

C.[2,3] [答案] C

D.[3,4]

[解析] ∵f(0)=4, (1)=0,f(3)=-8<0,f(4)=0,f(2)=-6,由于在区间[0,1], f [1,2],[3,4]内都存在零点,故选 C. [点评] 注意,不能由 f(2)=-6<0,f(3)=-8<0,做出判断 f(x)在区间[2,3]内无零 点. 6.

如图,A、B、C、D 是四个采矿点,图中的直线和线段均表示公路,四边形 ABQP、BCRQ、

CDSR 近似于正方形,A、B、C、D 四个采矿点的采矿量之比为 6?2?3?4,且运矿费用与路
程和采矿量的乘积成正比. 现从 P、、、 中选一个中转站, Q R S 要使中转费用最少, 则应选( A.P 点 [答案] B [解析] 设图中每个小正方形的边长均为 1,A、B、C、D 四个采矿点的采矿量分别为 6a,2a,3a,4a(a>0), si(i=1,2,3,4)表示运矿费用的总和, 设 则只需比较中转站在不同位置 时 si(i=1,2,3,4)的大小.如果选在 P 点,s1=6a+2a×2+3a×3+4a×4=35a,如果选在 B.Q 点 C.R 点 D.S 点 )

Q 点,s2=6a×2+2a+3a×2+4a×3=32a,如果选在 R 处,s3=6a×3+2a×2+3a+4a×2
=33a,如果选在 S 处,s4=6a×4+2a×3+3a×2+4a=40a,显然,中转站选在 Q 点时, 中转费用最少. 7.(2012·江苏)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. [答案] 9 [解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识. ∵f(x)=x +ax+b=(x+ ) +b- 的最小值为 b- ,∴b- =0,即 b= ,∴f(x) 2 4 4 4 4 =(x+ ) . 2 ∴f(x)<c,即 x +ax+b<c,则(x+ ) <c, 2 ∴c>0 且- - c<x<- + c, 2 2
2 2 2

a

2

a2

a2

a2

a2

a

2

a

2

a

a

∴(- + c)-(- - c)=6,∴2 c=6,∴c=9. 2 2 8. 有一批材料可以建成 200m 长的围墙, 如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩 形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为 ________(围墙的厚度不计).

a

a

[答案] 2500m

2

200-x 200-x [解析] 设所围场地的长为 x, 则宽为 , 其中 0<x<200, 场地的面积为 x× 4 4 1?x+200-x?2 ≤ ? ? =2500m2,等号当且仅当 x=100 时成立. 2 4? ? 9.某农场,可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且产品全部供应距农场

d(km)(d<200km)的中心城市,其产销资料如表:当距离 d 达到 n(km)以上时,四种农作物中
以全部种植稻米的经济效益最高.(经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本),则 n 的值为________.

作物 项目 市场价格(元/kg) 生产成本(元/kg) 运输成本(元/kg·km) 单位面积相对产量(kg) [答案] 50

水果 8 3 0.06 10

蔬菜 3 2 0.02 15

稻米 2 1 0.01 40

甘蔗 1 0.4 0.01 30

[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为 y1、y2、y3、

y4,则 y1=50-0.6d,y2=15-0.3d,y3=40-0.4d,y4=18-0.3d,

?y ≥y , ?y ≥y , 由? y ≥y , ?d<200. ?
3 1 3 3 2 4

? 50≤d<200,故 n=50.

10.当前环境问题已成为问题关注的焦点,2009 年哥本哈根世界气候大会召开后,为 减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程, 原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说非常 小.请根据以下数据:①当前汽油价格为 2.8 元/升,市内出租车耗油情况是一升汽油大约 能跑 12km;②当前液化气价格为 3 元/千克,一千克液化气平均可跑 15~16km;③一辆出租 车日平均行程为 200km. (1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱); (2)假设出租车改装液化气设备需花费 5000 元, 请问多长时间省出的钱等于改装设备花 费的钱. [解析] (1)设出租车行驶的时间为 t 天,所耗费的汽油费为 W 元,耗费的液化气费为

P 元,
200t 140t 由题意可知,W= ×2.8= (t≥0 且 t∈N), 12 3 200t 200t ×3≤P≤ ×3 16 15 (t≥0 且 t∈N),

140t 即 37.5t≤P≤40t.又 >40t,即 W>P, 3 所以使用液化气比使用汽油省钱. 140t (2)①设 37.5t+5000= ,解得 t≈545.5, 3 又 t≥0,t∈N,∴t=546. 140t ②设 40t+5000= ,解得 t=750. 3 所以,若改装液化气设备,则当行驶天数 t∈[546,750]时,省出的钱等于改装设备的 钱. 能力拓展提升 11.(文)(2012·天津理)函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 [答案] B [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性, 考查分析问题、 解决问题 B.1 C.2 D.3
x
3

)

的能力. ∵f(x)=2 +x -2,0<x<1, f ′(x)=2 ln2+3x >0 在(0,1)上恒成立, f(x)在(0,1) ∴ ∴ 上单调递增. 又 f(0)=2 +0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至 少有一个零点, 又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点. [点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数.
?lnx+2x-6 ? x>0? ? (理)(2011·舟山月考)函数 f(x)=? ? ? x≤0? ?-x? x+1?
0

x

3

x

2

的零点个数是(

)

A.0 [答案] D

B. 1

C.2

D.3

[解析] 令-x(x+1)=0 得 x=0 或-1,满足 x≤0; 当 x>0 时,∵lnx 与 2x-6 都是增函数, ∴f(x)=lnx+2x-6(x>0)为增函数, ∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0, ∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点, 故 f(x)共有 3 个零点. 12.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销 售 400 台, 第四个月销售 790 台, 则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数

x 之间关系的是(
A.y=100x C.y=50×2 [答案] C
x

) B.y=50x -50x+100 D.y=100log2x+100
2

[解析] 观察前四个月的数据规律, (1,100), (2,200), (3,400), (4,790), 接近(4,800), 可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律,故选 C. [点评] 也可以将 x=1,2,3,4,依次代入四个选项中,通过对比差异大小来作判断, 但计算量比较大. 13.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )

| x| A.f(x)=

x

1 1 B.f(x)= x + 2 -1 2 D.f(x)=lgsinx

ex-e-x C.f(x)= x e +e-x
[答案] C [解析]

根据程序框图知输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点.经验证: f(x)
x
-x

|x| 1 1 e -e = 不存在零点; (x)= x + 不存在零点; (x)= x -x的定义域为全体实数, f(- f f 且 x 2 -1 2 e +e

e-x-ex ex-e-x x)= -x x=-f(x),故此函数为奇函数,且令 f(x)= x -x=0,得 x=0,函数 f(x)存 e +e e +e
在零点;f(x)=lgsinx 不具有奇偶性. 1 x 14.(文)(2011·山东济宁一模)已知 a 是函数 f(x)=2 -log x 的零点,若 0<x0<a,则 2

f(x0)的值满足(
A.f(x0)=0 C.f(x0)>0 [答案] B [解析]

) B.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定

1 x 分别作出 y=2 与 y=log x 的图象如图, 2 1 x 当 0<x0<a 时,y=2 的图象在 y=log x 图象的下方, 2 所以,f(x0)<0.
?2 -1 ? (理)已知函数 f(x)=? ? ?f? x-1?
x

?

x≤0?

+1 ? x>0?

,把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从 )

小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( A.an=

n? n-1?
2

(n∈N )
*

*

B.an=n(n-1)(n∈N ) C.an=n-1(n∈N ) D.an=2 -2(n∈N ) [答案] C [解析] 当 x≤0 时,f(x)=2 -1;当 0<x≤1 时,f(x)=f(x-1)+1=2
-1 *

n

*

x

x-1

-1+1=2

x

; 当 1<x≤2 时,f(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=2
x-2

-1+2=2

x-2

+1;?

∴当 x≤0 时,g(x)的零点为 x=0;当 0<x≤1 时,g(x)的零点为 x=1; 当 1<x≤2 时,g(x)的零点为 x=2;?当 n-1<x≤n(n∈N )时,g(x)的零点为 n, 故 a1=0,a2=1,a3=2,?,an=n-1. 15.(文)某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为 1.5 元,每次购买原 材料需支付运费 600 元.每公斤原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需消耗原材料 400kg,每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400kg 不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用
*

y1(元)关于 x 的函数关系式;

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y(元)最少,并求出这 个最小值. [解析] (1)每次购买原材料后,当天用掉的 400kg 原材料不需要保管,第二天用掉的 400kg 原材料需保管 1 天,第三天用掉的 400kg 原材料需保管 2 天,第四天用掉的 400kg 原 材料需保管 3 天, ?, x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400kg 原材料需 第 保管 x-1 天. ∴每次购买的原材料在 x 天内的保管费用为

y1=400×0.03[1+2+3+?+(x-1)]=6x2-6x.
(2)由(1)可知, 购买一次原材料的总的费用为 6x -6x+600+1.5×400x=6x +594x+ 600(元), ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
2 2

y=

600 +6x+594≥2

600

x

x

·6x+594=714.

600 当且仅当 =6x,即 x=10 时,取得等号.

x

∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少,最少费用为 714 元. (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂, 由于工厂生产须占用 农场的部分资源, 因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入. 工厂在不 赔付农场的情况下, 工厂的年利润 x(元)与年产量 t(t)满足函数关系 x=2000 t, 若工厂每 生产一吨产品必须赔付农场 s 元(以下称 s 为赔付价格). (1)将工厂的年利润 w(元)表示为年产量 t(t)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产 量; (2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额 y=0.002t (元),在工厂按照获得最大 利润的产量进行生产的前提下, 农场要在索赔中获得最大净收入, 应向张林的工厂要求赔付 价格 s 是多少? [解析] (1)工厂的实际年利润为:
2

w=2000 t-st(t≥0). w=2000 t-st=-s( t-
1000 2 1000 )+ ,
2

s

s

1000 2 当 t=( ) 时,w 取得最大值.

s

1000 2 所以工厂取得最大年利润的年产量 t=( ) (t).

s

(2)设农场净收入为 v 元, 则 v=st-0.002t .
2

1000 2 将 t=( ) 代入上式,

s

1000 2×1000 得 v= - . 4

2

3

s

s

1000 8×1000 又 v′=- 2 + 5

2

3

s

s



1000 ?

2

8000-s ?

3

s

5



令 v′=0,得 s=20. 当 0<s<20 时,v′>0; 当 s>20 时,v′<0. 所以当 s=20 时,v 取得最大值. 因此李明向张林要求赔付价格 s 为 20 元/吨时,获得最大净收入. *16.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 f(-1)=0,试判断函数 f(x)的零点个数; 1 (2)若对 x1、x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),证明方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]必有一个 2 实数根属于(x1,x2); (3)是否存在 a、b、c∈R,使 f(x)同时满足以下条件:①当 x=-1 时,函数 f(x)有最 1 2 小值 0;②对任意实数 x,都有 0≤f(x)-x≤ (x-1) .若存在,求出 a、b、c 的值;若不存 2 在,请说明理由. [解析] (1)因为 f(-1)=0, 所以 a-b+c=0,故 b=a+c. 因为 Δ =b -4ac=(a+c) -4ac=(a-c) . 当 a=c 时,Δ =0,函数 f(x)有一个零点; 当 a≠c 时,Δ >0,函数 f(x)有两个零点. 1 (2)令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)], 2 1 f? 则 g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]= 2 2
2 2 2 2

x1? -f? x2?
2 2



1 f? x2? -f? x1? g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2)]= , 1 2 因为 g(x1)·g(x2)=- [f(x1)-f(x2)] <0(f(x1)≠f(x2)),所以 g(x)=0 在(x1,x2)内 4 必有一个实根.

1 即方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]必有一个实数根属于(x1,x2). 2

b 4ac-b 2 2 (3)假设 a、b、c 存在,由①得- =-1, =0,即 b=2a,b =4ac,所以 4a 2a 4a
=4ac,故 a=c. 1 2 由②知对任意实数 x,都有 0≤f(x)-x≤ (x-1) .令 x=1,得 0≤f(1)-1≤0,所以 2

2

f(1)-1=0,即 a+b+c=1.

?a+b+c=1, ? 由?b=2a, ?a=c, ?

1 1 解得 a=c= ,b= . 4 2

1 1 1 2 1 1 1 2 当 a=c= ,b= 时,f(x)= x + x+ = (x+1) ,其顶点为(-1,0)满足条件①,又 4 2 4 2 4 4

f(x)-x= (x-1)2,所以对任意 x∈R,都有 0≤f(x)-x≤ (x-1)2,满足条件②.所以存在 a、b、c∈R,使 f(x)同时满足条件①②.

1 4

1 2

1.(2012·昆明一中检测)已知函数 f(x)=|lg(x-1)|,若 a≠b,且 f(a)=f(b),则 a +b 的取值范围是( A.[4,+∞) C.[2,+∞) [答案] B [解析] 解法 1:不妨设 a<b,∵f(x)=|lg(x-1)|,f(a)=f(b),∴1<a≤2,b>2,∴ ) B.(4,+∞) D.(2,+∞)

f(a)=-lg(a-1),f(b)=lg(b-1),∴-lg(a-1)=lg(b-1),
∴(a-1)(b-1)=1, ∴a+b=(a-1)+(b-1)+2>2 ?

a-1? ? b-1? +2=4.

解法 2:结合 f(x)的图象得-lg(b-1)=lg(a-1),得 lg(a-1)+lg(b-1)=0,所以 1 1 1 1 b a (a-1)(b-1)=1,化简得,a+b=ab,即 + =1,所以 a+b=( + )(a+b)=2+ + ≥2

a b

a b

a b

+2=4,当 a=b 时取“=”,而由已知 a≠b,故选 B.

2.(2011·温州十校模拟)已知函数 f(x)=2mx -2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一 实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,8) [答案] B 4-m [解析] 当 m≤0 时,显然不合题意;当 m>0 时,f(0)=1>0,①若对称轴 ≥0 即 2m 0<m≤4,结论显然成立; 4-m 2 ②若对称轴 <0, m>4, 即 只要 Δ =4(4-m) -8m=4(m-8)(m-2)<0 即可, 4<m<8. 即 2m 综上 0<m<8,选 B. 3. (2011·江南十校联考)定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件: ①常数 a, 满足 a<b, b 区间[a,b]? D,②使 f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb](k∈N ),那么我们把 f(x)叫做[a,
*

2

)

B.(0,8) D.(-∞,0)

b]上的“k 级矩形”函数.函数 f(x)=x3 是[a,b]上的“1 级矩形”函数,则满足条件的常
数对(a,b)共有( A.1 对 C.3 对 [答案] C [分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知,f(x)=x 的定义区间为[a,b]时,值域为[a,
3

) B.2 对 D.4 对

b],可考虑应用 f(x)的单调性解决.
[解析] ∵f(x)=x 在[a,b]上单调递增, ∴f(x)的值域为[a ,b ]. 又∵f(x)=x 在[a,b]上为“1 级矩形”函数, ∴?
? ?a =a ?b =b ?
3 3 3 3 3 3

,解得?

? ?a=-1 ?b=0 ?

或?

? ?a=0 ?b=1 ?

或?

? ?a=-1 ?b=1 ?



故满足条件的常数对共有 3 对. [点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型, 它能较好地考查学生对新知识的阅 读理解能力,而这恰是学生后续学习必须具备的能力,解决这类问题的关键是先仔细审题, 弄清“定义”的含义,把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识.然后加以解决. 4.(2012·龙岩质检)若偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x) 1 x 10 2 =x ,则关于 x 的方程 f(x)=( ) 在[0, ]上根的个数是( 10 3 A.1 [答案] C [解析] 由题意知 f(x)是周期为 2 的偶函数, 故当 x∈[-1,1]时, (x)=x , f 画出 f(x) 1 x 1 x 10 的图象,结合 y=( ) 的图象可知,方程 f(x)=( ) 在 x∈[0, ]时有 3 个根. 10 10 3 [点评] 要注意在 x∈(3,
x
2

)

B.2

C.3

D.4

10 ]时方程无解. 3 )

5.已知函数 f(x)=a -x-a(a>0,a≠1),那么函数 f(x)的零点个数是( A.0 个 C.2 个 [答案] D B.1 个 D.至少 1 个

[解析] 在同一坐标系中作出函数 y=a 与 y=x+a 的图象,a>1 时,如图(1),0<a<1 时,如图(2),故选 D.

x

[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法. 6.设 a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数 f(x)=x +ax-b 在区间[1,2]上有零点 的概率为( A. 1 2 ) B. 5 8
3

C.

11 16

D.

3 4

[答案] C [解析] 因为 f(x)= x +ax - b,所以 f ′(x)=3x + a.因为 a ∈{1,2,3,4},因此
3 2

f ′(x)>0,所以函数 f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则
? ?f? ? ? ?f?

1? =1+a-b≤0, 2? =8+2a-b≥0,

解得 a+1≤b≤8+2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点

的有:a=1,2≤b≤10,故 b=2,b=4,b=8.a=2,3≤b≤12,故 b=4,b=8,b=12.a= 3,4≤b≤14,故 b=4,b=8,b=12.a=4,5≤b≤16,故 b=8,b=12.根据古典概型可得有 11 零点的概率为 . 16 7 . (2012· 河 南 新 乡 、 平 顶 山 、 许 昌 调 研 ) 设 函 数

f(x) =

? 1 ,x∈? -∞,0], ? ?1-x ?x3-3x+1,x∈? 0,+∞? , ?
取值范围是( A.-1<m≤1 C.-1<m≤0 或 m=1 [答案] C )

若方程 f(x)-m=0 有且仅有两个实数根,则实数 m 的

B.-1<m<0 或 m=1 D.-1<m≤1

? 1 ? x∈? -∞,0], [解析] ∵f(x)=?1-x ?x3-3x+1 x∈? 0,+∞? , ?
3

∴当 x≤0 时,f(x)=

1 1-x

单调递增,且 0<f(x)≤1,又 x>0 时,f(x)=x -3x+1,∴f ′(x)=3x -3=3(x+1)(x- 1),∴0<x<1 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,x≥1 时,f ′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x) 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-1, ∴当 m=1 时, 直线 y=m 与函数 f(x)的图象有两个交点, 当-1<m≤0 时,直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有两个交点,故选 C. 8.(2011·龙岩模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两 墙的距离分别是 am(0<a≤12)、4m,不考虑树的粗细,现在想用 16m 长的篱笆,借助墙角围 成一个矩形的花园 ABCD.设此矩形花园的面积为 Sm ,S 的最大值为 f(a),若将这棵树围在 花园内,则函数 u=f(a)的图象大致是( )
2

2

[答案] C [解析] 设 BC=x,则 DC=16-x,由?
?x≥a, ? ? ?16-x≥4,

得 a≤x≤12,矩形面积 S=x(16

-x) (a≤x≤12),显然当 a≤8 时,矩形面积最大值 u=64,为常数,当 a>8 时,在 x=a 时,矩形面积取最大值 u=a(16-a),在[a,12]上为减函数,故选 C. 9.(2012·湖南文)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f ′(x) π π 是 f(x)的导函数. x∈[0, ]时, f(x)<1; x∈(0, )且 x≠ 时, x- )f ′(x)>0. 当 π 0< 当 π ( 2 2 则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ]上的零点个数为( A.2 [答案] B [解析] 本题考查函数奇偶性,利用导数研究函数单调性,图象交点个数等. π π 由 x∈(0,π ),x≠ 时,(x- )f ′(x)> 0 知, 2 2 π 当 x∈(0, )时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 2 π 当 x∈( ,π )时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. 2 B.4 C.5 D.8 )

当 x∈(-π ,0)时,f(x)∈(0,1),且 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,则画出函数

y=f(x)示意图如下:

而 y=f(x)-sinx 的零点个数,即 f(x)=sinx 的根,即 y=sinx 与 y=f(x)图象交点 个数.由图象知有 4 个交点. 10.已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则 方程 f(x)=0.

①有三个实根 ②当 x<-1 时,恰有一实根 ③当-1<x<0 时,恰有一实根 ④当 0<x<1 时,恰有一实根 ⑤当 x>1 时,恰有一实根 正确的有________. [答案] ①② [解析] ∵f(-2)=-5.99<0,f(-1)=0.01>0, 即 f(-2)·f(-1)<0, ∴在(-2,-1)内有一个实根,结合图象知,方程在(-∞,-1)上恰有一个实根.所 以②正确.

又∵f(0)=0.01>0,结合图象知 f(x)=0 在(-1,0)上没有实数根,所以③不正确. 又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0, (1)>0.所以 f(x)=0 在(0.5,1) f 上必有一实根,在(0,0.5)上也有一个实根.∴f(x)=0 在(0,1)上有两个实根.所以④不 正确. 由 f(1)>0 结合图象知,f(x)=0 在(1,+∞)上没有实根,∴⑤不正确,由此可知①正 确. 11.学校请了 30 名木工,要制作 200 把椅子和 100 张课桌.已知制作一张课桌与制作 一把椅子的工时数之比为 10?7,问 30 名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子), 能最快完成全部任务? [分析] 弄清题意, 建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系, 转化 为求函数的最值问题. [解析] 设 x 名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制 100 7 张课桌或 10 把椅子,所以制作 100 张课桌所需时间为 P(x)= , 7x 制作 200 把椅子所需时间为

Q(x)=

200 20 = , 10? 30-x? 30-x

完成全部任务所需的时间为

P(x)与 Q(x)的最大值 F(x).
为求得 F(x)的最小值,需满足

P(x)=Q(x),即

100 20 = ,解得 x=12.5, 7x 30-x
*

考虑到 x 表示人数,所以 x∈N . ∵P(12)>P(13),Q(12)<Q(13),故考查 P(12)与 Q(13).

P(12)=

100 20 ≈1.19,Q(13)= ≈1.18. 84 17

即 F(12)>F(13). 所以用 13 名工人制作课桌,17 名工人制作椅子完成任务最快.


河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-8函数与方程、函数模型及其应用试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-8函数与方程函数模型及其应用试题 隐藏>> 函数与方程、函数模型及其应用 1 x 1.(2011·北京东城...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-1函数及其表示试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-1函数及其表示试题...·广州市综合测试)函数 y= 1-2x的定义域为集合 A,函数 y=ln(2x+ 1)的...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训8-2圆的方程试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训8-2圆的方程试题 ...?5 ? 5 (r 为圆的半径). 5.(2012?福州八县联考)已知函数 f(x)= 1-?...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-3函数的奇偶性与周期性试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-3函数的奇偶性与周期性试题_数学_高中教育_教育专区。2-3 函数的奇偶性与周期性 1.(2012·洛阳示...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训3-1导数的概念及运算试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训...{an}中, 1=2, 8=4, a a 函数 f(x)=x(x...9 9 (理)设 a∈R,函数 f(x)=x +ax ...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训8-4椭圆试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训8-4椭圆试题 隐藏>...9 a 3 2 2 2 2 2 2 8. (文)已知实数 k 使函数 y=coskx 的周期不...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-6幂函数与函数的图象变换试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-6幂函数与函数的...10.如图所示,函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式. [解析...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-7一次函数二次函数及复合函数试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-7一次函数二函数及复合函数试题_数学_高中教育_教育专区。一次函数二函数及复合函数 闯关密练 1...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《2-3函数的奇偶性与周期性》试题 新人教A版

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训2-3函数的奇偶性与周期性》试题 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。河南省洛阳市第二外国语学校 201...

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-5对数与对数函数试题

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-5对数与对数函数试题 隐藏>> 2-5 对数与对数函数 1.(2011·广东高州市大井中学模拟)函数 y= A...

相关文档