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福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第29讲 复数的概念与运算


1.理解复数的有关概念,以及复数相等的充要 条件. 2.会进行复数的代数形式的四则运算. 3.了解复数代数形式的几何意义及复数的加、 减法的几何意义.

1 . 复 数 的 代 数 形 式 : z = a + b i ( a, b ? R ), 其 中 i ? ? 1 , a 为 实 部 , b为 虚 部 .
2

2.

复 数 的 分 类 : ?实 数 复 数 a + bi ? ?虚 数 ?b ? 0 ? ?b ? 0 ? ; ?a ? 0? ?a ? 0?

?纯 虚 数 虚 数 a + b i (b ? 0 ) ? ?非 纯 虚 数

.

3. 复 数 相 等 的 充 要 条 件 : a + bi = c + di ? ① ____________________________ . 4. 复 数 的 模 : + bi ? ② __________ . a 5 . 复 数 的 代 数 形 式 的 几 何 意 义 复 数 z = a + b i ( a, b ? R ) 可 用 复 平 面 内 的 点 Z ( a, b )以 及 ③ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 表示,且三者之间为一一对应关系. 规定:相等的向量表示同一个复数.

6. 复 数 的 代 数 形 式 的 四 则 运 算 : 若 a、 b、 c、 d ? R , 则 :a + b i ? ? ? c + d i ? ? ④ _ _ _ _ _ _ _ _ ; ?

? a + bi ? ? c + di ? ? ⑤
a ? bi c ? di ? c ?d
2 2

________________ ; ? ⑥ ________________ ;

? a ? b i ?? c ? d i ?

其 中 c、 d 不 同 时 为 0 .

7 . 复 平 面 内 两 点 间 的 距 离 : 复 平 面 内 两 点 Z 1、 Z 2 对 应 ????? 的 复 数 分 别 为 z 1、 z 2, 则 Z 1 Z 2 ? ⑦ _ _ _ _ _ _ _ _ ? ⑧ _ _ _ _ _ _ _ _ , 其 中 O为 原 点 . 8. 复 数 的 加 、 减 法 的 几 何 意 义 : 复 数 的 加 、 减 运 算 满 足 向 量 加 、 减 法 的 平 行 四 边 形 法 则 ( 或 三 角 形 法 则 ).

【要点指南】 ?a ? c ① ? ;② ?b ? d a ? b ;③以原点为起点,
2 2

点 Z ( a, b ) 为 终 点 的 向 量 ; ④ ( a ? c ) ? ( b ? d ) i; ⑤ ? a c ? b d ? ? ? a d ? b c ? i; ⑥ ???? ???? ? ? ⑦ | O Z 2 ? O Z 1 | ; ⑧ z 2 ? z1 ac ? bd c ?d
2 2

?

bc ? ad c ?d
2 2

i;

1.如果用 C、R 和 I 分别表示复数集、实数集和纯 虚数集,其中 C 为全集,则下列关系正确的是( A.C=R∪I C.?CR=C∩I B.R∩I={0} D.R∩I=? )

【解析】由复数的分类可知应选 D.

→ → 2.已知向量OA对应的复数为 3-2i,OB对应的复数为 → -4-i,则AB对应的复数为( A.-1-i C.-7+i B.7-3i D.1+i )

【解析】由复数运算的几何意义, → → → AB=OB-OA=(-4-i)-(3-2i)=-7+i, 故选 C. 易错点:向量的运算出错.

3.已知 i 是虚数单位,m 和 n 都是实数,且 m+ni 2013 m(1+i)=1+ni,则( ) =( m-ni A.0 C.0 或 3 B.2 D.3 )

【解析】由 m(1+i)=1+ni 得 m=n=1, m+ni 2013 1+i 2013 2013 所以( ) =( ) =i =i,故选 A. m-ni 1-i

4.(2011· 江西卷)若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi 为( ) B.2+i D.1+2i

A.-2+i C.1-2i

【解析】由题意 xi-i2=y+2i?1+xi=y+2i,由复 数相等得,x=2,y=1,故 x+yi=2+i,故选 B.

1+ai 5.(2011· 安徽卷)设 i 是虚数单位, 复数 为纯 2-i 虚数,则实数 a 为( A.2 1 C.-2 )

B.-2 1 D.2

1+ai ?1+ai??2+i? 2+i+2ai+ai2 【解析】 因为 = = = 5 2-i ?2-i??2+i? ?2-a?+?1+2a?i 2-a 1+2a = 5 + 5 i 为纯虚数, 5 2-a 1+2a 所以 5 =0 且 5 ≠0,所以 a=2. 易错点:纯虚数中一定要注意 b≠0.



复数的概念及运算

【例 1】 已知复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i, 当实数 m 为何值时, (1)z 为纯虚数; (2)z 为实数; (3)z 对应的点在复平面的第二象限.

【分析】依据复数分类的条件和代数形式的几何意 义求解.

【解析】 (1)当 m=3 时,z 为纯虚数. z
?lg?m2-2m-2?=0 为 纯 虚 数 ? ? 2 ?m +3m+2≠0

?

?m=3或m=-1 ? ?m≠-2且m≠-1

?m=3.

(2)当 m=-2 或 m=-1 时,为实数. z 为 实 数 ?
?m2+3m+2=0 ? 2 ?m -2m-2>0

?

?m=-2或m=-1 ? ?m<1- 3或m>1+ 3

?m=-2 或 m=-1.

(3)当 m∈(-1,3)时, 对应的点在复平面的第二象限. z
?lg?m2-2m-2?<0 ?m2-2m-3<0 由? 2 ,得? 2 , ?m +3m+2>0 ?m +3m+2>0 ?-1<m<3 解得? ,即-1<m<3. ?m<-2或m>-1

【点评】 复数为何属性的数的问题通常可转化为其实 部、虚部应满足的条件,复数对应的点位于复平面的什么 位置也取决于实部和虚部的取值. 复数的加减法的几何意 义也可按向量加减法理解求解.

素材1

计算: ?1+i??1-i?2 (1) ; 1-i -2 3+i 2 2 (2) +( ). 1+i 1+2 3i

【解析】(1)原式=i· (-2i)=-2i2=2. i?1+2 3i? 2 2 1 (2)原式= +( ) =i+ i 1+i 1+2 3i =i+(-i)=0.



复数的代数运算及复数相等的充要条件

5i 【例 2】(1)(2011· 新课标卷)复数 =( 1-2i A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i

)

(2)(2011· 上海卷)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,z1·2 是实数,求 z2. z

5i?1+2i? 5i+10i2 5i-10 5i 【解析】 (1) = = 2 = 5 = 1-2i ?1-2i??1+2i? 1-4i -2+i,故选 C.

(2)因为(z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i 设 z2=a+2i,a∈R,则 z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+ (4-a)i, 因为 z1z2∈R,所以 z2=4+2i.

【点评】 (1)复数代数形式的运算类似于多项式的四 则运算,令有虚数 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作另 一类同类项,在代数运算时,记住以下结论:(ⅰ)(1± 2 i) 1+i 1-i =± 2i;(ⅱ) =i;(ⅲ) =-i;(ⅳ)-b+ai=i(a+bi) 1-i 1+i 等简化运算.

?a=c (2)两复数 a+bi=c+di(a、b、c、d∈R)?? . ?b=d

(3)复数运算常采用待定系数法和分母实数化方法, 应灵活应用.

素材2

- -,若 z+-=4,z· =8,求 z 的值. - z 的共轭复数为 z z z z

【解析】设 z=x+yi(x、y∈R),则-=x-yi, z 所以 z+-=2x=4,所以 x=2, z - 又 z· =x2+y2=8,所以 y=± z 2,所以 z=2± 2i, - ?-?2 ?2+2i?2 ?2-2i?2 - z z z 所以 z = = 8 或 8 ,即 z =i 或-i. - z· z

三 复数加法运算的几何意义及应用
【例 3】 若复数 z 满足|z+2|+|z-2|=8, 求|z+2|的最 大值和最小值.

【解析】 在复平面内满足|z+2|+|z-2|=8 的复数 z 对 应的点的轨迹是以点(-2,0)和(2,0)为焦点,8 为长轴长的椭 圆. |z+2|表示椭圆上的点到焦点(-2,0)的距离.

椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和 最小值. 因此,当 z=4 时,|z+2|有最大值 6; 当 z=-4 时 ,|z+2|有最小值 2.

【点评】 此题若令 z=x+yi,问题的条件和结论都是 较复杂的式子,不好处理.从复数的加、减法的几何意义去 理解,则是一道简单的几何问题.

素材3

若复数 z 满足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.

【解析】方法 1:一般地,满足|z-z0|=r 的复数 z 对应的点的轨迹是以 z0 对应的点为圆心, 为半径的圆. r 因为圆|z+2-2i|=1 的圆心为 C(-2,2), 半径 r=1, 而|z-2-2i|表示圆上的点到定点 A(2,2)的距离, 故其最 小值为|CA|-r=4-1=3.

方法 2:因为|z-2-2i|=|z+2-2i-4| ≥||z+2-2i|-4|=3, 故|z-2-2i|min=3.

方法 3:设 z=x+yi(x,y∈R),因此有|x+2+(y-2)i| =1,即(x+2)2+(y-2)2=1. 又|z-2-2i|= ?x-2?2+?y-2?2 = ?x-2?2+1-?x+2?2 = 1-8x, 而|x+2|= 1-?y-2?2≤1,即-3≤x≤-1, 所以当 x=-1 时,|z-2-2i|取得最小值 3.

备选例题

在复数集 C 内解一元二次方程 x2-4x+5=0.

【解析】由于 Δ=b2-4ac=16-20=-4<0, 4± 4i 所以 x= 2 =2± i.

【点评】 实数集扩充为复数集后,解决了实系数一 元二次方程在实数集中无解的问题,即在复数集中,实 系数的一元二次方程总有解.当 Δ<0 时,实系数的一元 二次方程有成对共轭虚数根.

1.设 z=a+bi(a , b∈R),利用复数相等的充要条 件转化为实数问题是求解复数常用的方法. 2.实数的共轭复数是它本身,两个纯虚数的积是 实数. 3.复数问题几何化,利用复数、复数的模、复数 运算的几何意义,转化条件和结论,有效利用数 和形的结合,取得事半功倍的效果.


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