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昆明市2013届第一次市统测文科数学

时间:2012-12-02


昆明市 2013 届高三摸底调研测试

文科数学试卷
一、选择题 1.若复数 z ? m ( m ? 1) ? ( m ? 1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则
1 z ?

A. i B. ? i C. 2i D. ? 2i 2.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形, 其直角边均为 1,则该几何体的体积为 1 1 1 A. 1 B. C. D. 2 3 4 ? ? 3 ? 3.已知 cos ? x ? ? ? ,则 cos 2 x 的值为 2? 5 ? 7 7 9 16 A. ? B. C. D. 25 25 25 25

主视图

侧视图

俯视图

4.公比不为 1 等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 ? 3 a1 , ? a 2 , a 3 成等差数列,若 a1 ? 1 ,则 S 4 ? A. ? 20 B. 0 C. 7 D. 40

5.变量 U 与 V 相对应的一组样本数据为 (1,1.4) , (2, 2.2) , (3, 3) , (4, 3.8) ,由上述样本数据得到 U 与
V 的线性回归分析, R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则 R ?
2 2

A.

3 5

B.

4 5

C. 1

D. 3

6.已知 a 是实数,则函数 f ( x ) ? a cos ax 的图像可能是

A.

B.

C.

D.

-1-

7.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a 2 , ? , a 50 是 该班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩,下 面的程序用来同时统计全班成绩的平均数: A ,男生平均 分: M ,女生平均分:W ;为了便于区别性别,输入时, 男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么 在图里空白的判断框和处理框中, 应分别填入下列四个选 是 项中的 A. T ? 0 ? , A ? B. T ? 0 ? , A ? C. T ? 0 ? , A ? D. T ? 0 ? , A ?
M ?W 50 M ?W 50 M ?W 50 M ?W 50
M ? M ?T

开始 输入 a1 , a 2 , ? , a 50
k ? 1, M ? 0, W ? 0

T ? ak



k ? k ?1

W ?W ?T

k ? 50 ?




?? x2 , x ? 0 ? , 若 f ( a ? 2) ? f ( a ) ? 0 , 8. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?x , x ? 0 ?

则实数 a 的取值范围是 A. a ? 2 B. a ? 1 C. a ? 1
2

M ?

M 24 W 26

D. a ? 1
W ?

9.若曲线 f ( x ) ? cos x 与曲线 g ( x ) ? x ? bx ? 1 在交点
(0, m ) 处有公切线,则 b ?

输出 M , W , A C. 1 D. 2 结束

A. ? 1

B. 0

10.已知数列 { a n } 满足 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ( n ? 2) , a1 ? 1 ,
a 2 ? 3 ,记 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,则下列结论正确的是

A. S102 ? 0

B. S 102 ? 1
2

C. S102 ? 3

D. S102 ? 4

11.在平面直角坐标系 xO y 中,抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上一点,若
? OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9 ? ,则 p ?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8
x

1 ?1? 12.设函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ? ,又函数 g ( x ) ? | sin ? x | ,则函数 2 ?4?

-2-

? 1 ? h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 在 ? ? , 2 ? 上的零点个数为 ? 2 ?

A. 6 二、填空题

B. 5

C. 4

D. 3

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为____________. ?x ? 0 ?

14.已知双曲线 C :

x

2

3

?

y

2

2

? 1 的渐近线与圆 E : ( x ?

5 ) ? y ? r 相切,则 r ? _________________.
2 2 2

15.已知向量 a , b 的夹角为 120? ,且 | a |? 1,| b |? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a 方向上的投影是_______. 16.已知两个正四棱锥有公共底面,且底面边长为 4,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正 四棱锥的体积之比为 1 : 2 ,则该球的表面积为________. 三、解答题 17.在 ? ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a cos (Ⅰ)求证: a 、 b 、 c 成等差数列; (Ⅱ)若 ? B ? 60 ?, b ? 4 ,求 ? ABC 的面积.
2

C 2

? c cos

2

A 2

?

3 2

b.

-3-

18.气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下: 日最高气温 t(单位:℃) 天数
t ? 22 ℃

22 ℃ ? t ? 28 ℃

28 ℃ ? t ? 32 ℃
Y

t ? 32 ℃
Z

6

12

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最 高气温不高于 32 ℃的频率为 0.9 . (Ⅰ)求 Y , Z 的值; (Ⅱ)把日最高气温高于 32℃称为本地区的“高温天气” ,根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并据此你 是否有 95% 的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关?说明理由. 高温天气 旺销 不旺销 合计 附k ?
2

非高温天气

合计

1 6

n ( ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

P(K ? k )
2

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 为平行四边形, BC ? 且 平面 PAB ,PA ? AB ,M 为 PB 的中点,PA ? AD ? 2 ,AB ? 1 . (Ⅰ)求证: PD ∥平面 AM C ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MBC 的高.

P

M D A

C
-4-

B

20.已知椭圆 C1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 经过点 B (0, 3 ) ,且离心率为

1 2

,有顶点为 A ,左右焦点分别

为 F1 , F2 ; 椭圆 C 2 以坐标原点为中心, 且以 F1 , F2 为 短轴端点,上顶点为 D . (Ⅰ)求椭圆 C 1 的方程; (Ⅱ)若 C 1 与 C 2 交于 M 、 N 、 P 、 Q 四点,当
AD ∥ F2 B 时,求四边形 M NPQ 的面积.

y

D B M N

F1

O Q P

F2

A

x

21.设 f ( x ) ? ln x ? ax , ( a ? R 且 a ? 0) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? [1, 2] 时, f ( x ) ? 3 ?
1 x

成立.

-5-

选做题: 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,直径 BC ? OP ,连接 AB 交
PO 于点 D

C

A

O

D

P

(Ⅰ)求证: PA ? PD ; (Ⅱ)求证: AC ? AP ? AD ? OC .

B

23.选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? a cos ? ?x ? 3 ? t ? a 已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 为参数, ? 0 ) 直线 l 的参数方程是 ? , ( t 为参数) , ? y ? 3 sin ? ? y ? ?1 ? t ?

曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 普通方程; (Ⅱ)若点 A ( ? 1 , ? ), B ( ? 2 , ? ?
2? 3 ), C ( ? 3 , ? ? 4? 3 ) 在曲线 C 上,求

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 | OC |
2

的值.

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? a | ( a ? 0 ) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x ) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) ? 6 的解集为 { x | x ? ? 4 或 x ? 2} ,求 a 的值.

-6-


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