nbhkdz.com冰点文库

第一册上册第二章第4节反函数






高一 反函数 刘震





数学





人教版

内容标题 编稿老师

【本讲教育信息】
一. 教学内容: 反函数 二. 本周重难点: 1. 重点

: 反函数的概念,互为反函数的函数图象间的关系。 2. 难点: 求反函数的方法,解决有关反函数的问题。

【典型例题】
[例 1] 求下列函数的反函数。 (1) y ? (2) y ?

2x ? 5 ( x ? 2) x?2

x 2 ? x ( x ? 1)

(3) y ? 1 ? 36 ? x 2 ( ? 6 ? x ? 0 )
2 (4) y ? x ? 4 x ? 1 ( ? 5 ? x ? ?2 )

解:

2x ? 5 2y ? 5 得 ( y ? 2) x ? 2 y ? 5 ∴ x? x?2 y?2 2 x ? 5 2( x ? 2) ? 9 9 ? ? 2? ?2 又 x ? 2 时, y ? x?2 x?2 x?2 即原函数的值域 { y | y ? 2}
(1)由 y ? (2) y ? 由y?

x 2 ? x ( x ? 1)
∴ (x ? ) ? y ?
2 2

x 2 ? x 得 x2 ? x ? y2 ? 0
∴ x?

1 2

1 4

∵ x ?1 又y?

1 ?0 2

∴ x?

1 ? 2

y2 ?

1 4

∴ x?

y2 ?

1 1 ? 4 2

1 1 在? x2 ? x ? (x ? )2 ? 1 , ? ?? 上是增函数 2 4 1 1 2 ∴ 所求反函数 y ? x ? ? ( x ? 2 ) 4 2
(3)由 y ? 1 ? 36 ? x 2 得 ( y ? 1) ? x ? 36
2 2 2

∴ 值域为

? 2 , ? ??

∴ x ? 36 ? ( y ? 1)

2

∵ ?6? x ? 0

2 ∴ x ? ? 36 ? ( y ? 1)

又 x ? [?6 , 0] 时, y ? 1 ? 36 ? x 2 为减函数

∴ 值域为 y ? [?5 , ? 1]

第 1 页 版权所有

不得复制

2 ∴ 所求反函数为 y ? ? 36 ? ( x ? 1) ( ? 5 ? x ? 1 )

(4)由 y ? x 2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,有 ( x ? 2) 2 ? y ? 3 ∵ ? 5 ? x ? ?2 ∴ x ? ?2 ? ∴ ?3? x?2 ? 0 ∴ x?2 ? ? y ?3 又 x ? [?5 , ? 2] 时, y ? ( x ? 2) 2 ? 3 为减函数 y ?3 ∴ 值域为 [ ?3 , 6] 1 1 [例 2] 已知 y ? x ? m 和 y ? nx ? 互为反函数,求 m,n 的值。 2 3 解:

1 x ? m 得 x ? 2 y ? 2m 2 1 ∴ y ? x ? m 的反函数是 y ? 2 x ? 2m ( x ? R ) 2
由y?

1 ∵ y ? 2 x ? 2m 与 y ? nx ? 表示同一函数 3

?2 ? n ? ∴ ? 1 ? 2m ? ? ? 3 ?

1 ? ?m ? ∴ ? 6 ? ?n ? 2 [例 3] 已知: f ( x) ? 3x ? 2 ,求 f ?1[ f ( x)] 的表达式。
解:

f ?1[ f ( x)] ? x ( x ? R ) x ?1 1 [例 4] f ( x) ? ,求 f ( ) 的值。 x?2 3
解: 方法一:由 f ( x) ? 方法二:

x 得f x?2

?1

( x) ?

2x 1? x

∴ f

?1

1 ( ) ?1 3

x 1 ? x?2 3

∴ x ?1

[例 5] 若点(1,2)既在 y ? 解:

ax ? b 的图象上,又在其反函数的图象上,求 a 、 b 的值。 ax ? b 的图象上

∵ 点(1,2) (2,1)都在 y ? ∴ ?

? ?a ? ?3 ? a?b ? 2 ∴ ? ? ?b ? 7 ? 2a ? b ? 1 x?5 [例 6] 已知函数 y ? 的图象关于直线 y ? x 对称,求实数 m 的值。 2x ? m
解:

x?5 的图象关于直线 y ? x 对称 ∴ 它的反函数是它本身 2x ? m x?5 在y? 中,令 x ? 5 得 y ? 0 ,于是点(5,0)在函数的图象上,所以点(5,0) 2x ? m
∵ 函数 y ?

第 2 页 版权所有

不得复制

关于直线 y ? x 的对称点(0,5)也在函数的图象上。 将 x ? 0 , y ? 5 代入 y ? [例 7] 设 y ? f ( x) ? 称,求 g (3) 的值。 解: ∵ y? f
?1

2x ? 3 , y ? g ( x) 的图象与 y ? f x ?1

x?5 得 m ? ?1 2x ? m

?1

( x ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对

( x ? 1) ? x ? 1 ? f ( y) ? x ? f ( y) ? 1
∴ g (3) ? f (3) ? 1 ?

将 x 、 y 互换应该就是 g ( x) 即 y ? f ( x) ? 1 [例 8] 已知 f ( x ) ? 解:
?1

a?x 的反函数 f x ? a ?1

7 2

?1

,求 a 的值。 ( x) 的图象的对称中心是( ? 1 ,3)

( x) 的对称中心为( ? 1 ,3) ∴ f ( x) 图象的对称中心为(3, ? 1 ) a?x ? [ x ? (a ? 1)] ? 1 ?1 ? ? ?1 又 f ( x) ? x ? a ?1 x ? (a ? 1) x ? (a ? 1) ∴ a ?1 ? 3即 a ? 2
∵ f

【模拟试题】 (答题时间:30 分钟)
一. 选择题: 1. 函数 y ? x 2 ? 2x( x ? ?1) 的反函数是( A. y ? ) B. y ?

x ? 1 ? 1( x ? ?1)

x ? 1 ? 1( x ? ?1)
?1

C. y ? ? x ? 1 ? 1( x ? ?1) 2. 已知函数 f ( x ) ?

D. y ? ? x ? 1 ? 1( x ? ?1)

y ? x 对称,则 g (2) 等于( ) 5 1 A. ? B. ? 2 C. ? 1 D. ? 4 4 ax ? b 2x ? 5 ?1 3. 已知 f ( x ) ? (a、b、c 是常数)的反函数 f ( x ) ? ,那么( x?c x?3 A. a ? 3 , b ? 5 , c ? ?2 B. a ? 3 , b ? ?2 , c ? 5 C. a ? 2 , b ? 3 , c ? 5 D. a ? 2 , b ? ?5 , c ? 3 4. 函数 y ? f ( x) 的反函数为 g ( x) ,则 y ? f (? x) 的反函数是( ) A. y ? g ( x) B. y ? g (? x) C. y ? ? g ( x) D. y ? ? g (? x)
二. 填空题: 1. 已知函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f
?1

1 ? 2x ,函数 g ( x) 的图象与函数 y ? f 1? x

( x ? 1) 的图象关于直线



( x) ,则 f ?1[ f (m)] ?

2. 点 P 在 f ( x) ? 1 ? 2x ? 3 的图象上,又在其反函数的图象上,则 P 点的坐标为 3. 直线 y ? ax ? 2 与直线 y ? 3x ? b 关于直线 y ? x 对称,则 a ? 4. 若 f ( x) ? ,b ?

1 ( x ? ?1) ,则 f ?1 (?1) ? 2 1? x

第 3 页 版权所有

不得复制

三. 解答题: 1. 求下列函数的反函数。 (1) y ? ? 2x ? 3(?1 ? x ? 1) 2. 已知函数 f ( x ) ? (2) y ? ? x 2 ? 2 x ? 5( x ? 1)

mx ? 5 x?2 (1)求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域 (2)若(2,3)是反函数图象上的一点,求函数 y ? f ( x) 的值域
?1

3. 若函数 f ( x) 在其定义域上是单调递增函数,求证它的反函数 f

( x) 也是增函数。

第 4 页 版权所有

不得复制

【试题答案】
一. 1. D 二. 1. m 2.(2,2) 3. 2. B 3. A 4. C

1 ;6 3

4. ?

2

三. 1.(1) y ? 2. 解:

1 2 3 x ? (? 5 ? x ? ?1) 2 2

(2) y ? 1 ? ? x ? 4 ( x ? ?4 )

mx ? 5 得 y ? f ( x) 的定义域为 {x | x ? ?2} x?2 ∴ 它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域为 { y | y ? ?2}
(1)由函数 f ( x ) ? (2)若(2,3)是反函数图象上的一点,则(3,2)在原来的函数 y ? f ( x) 的图象上, 于是 2 ?

3m ? 5 5x ? 5 ,即 m ? 5 ,所以 f ( x ) ? ,f 3? 2 x?2 ∵ 反函数 y ? f ?1 ( x) 的定义域为 {x | x ? 5} ∴ 原函数 y ? f ( x) 的值域为 { y | y ? 5}
在f
?1

?1

( x) ?

2x ? 5 5? x

3. 解:

( x) 的定义域内任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x 2 ?1 ?1 ?1 ?1 需证 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 为此令 f ( x1 ) ? y1 , f ( x2 ) ? y2 于是有 f ( y1 ) ? x1 , f ( y2 ) ? x2 ∴ f ( y1 ) ? f ( y2 ) 而 f ( x) 在其定义域上是单调函数 ∴ y1 ? y2 即 f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) ∴ f ?1 ( x) 也是增函数

第 5 页 版权所有

不得复制


第一册上册第二章第4节反函数

第一册上册第二章第4节反函数_数学_初中教育_教育专区。年 级 高一 反函数 刘震 学 科 数学 版 本 人教版 内容标题 编稿老师 【本讲教育信息】一. 教学...

第一册上册第二章第4节反函数

第一册上册第二章第4节反函数_数学_高中教育_教育专区。年 级 高一 反函数 刘震 学 科 数学 版 本 人教版 内容标题 编稿老师 【本讲教育信息】一. 教学...

第一册上册第二章第4节反函数同步练习

第一册上册第二章第4节反函数同步练习_数学_初中教育_教育专区。高一数学人教版反函数同步练习 (答题时间:30 分钟)一. 选择题: 1. 函数 y ? x 2 ? 2x(...

第一册上册第二章第4节反函数同步练习

第一册上册第二章第4节反函数同步练习 经典练习,难度适中,附上全部解答答案!经典练习,难度适中,附上全部解答答案!隐藏>> 高一数学人教版反函数同步练习 (答题时间...

第一册上册第二章第1-4节函数;函数的表示法;单调性;反函数单元复习

第一册上册第二章第1-4节函数;函数的表示法;单调性;反函数单元复习_数学_高中教育_教育专区。年 级 高一 刘震 学 科 数学 版 本 人教版 内容标题 编稿...

第一册上册第二章第1-4节函数;函数的表示法;单调性;反函数单元复习 - 副本

第一册上册第二章第1-4节函数;函数的表示法;单调性;反函数单元复习 - 副本_数学_高中教育_教育专区。年 级 高一 刘震 学 科 数学 版 本 人教版 内容标题...

第一册上册第二章第1-4节函数;函数的表示法;单调性;反函数单元复习同步练习

第一册上册第二章第1-4节函数;函数的表示法;单调性;反函数单元复习同步练习_数学_高中教育_教育专区。高一数学人教版函数、函数的表示法、单调性、反函数单元...

2.4 反函数练习试题

高一数学反函数课堂练习2 2页 1财富值 第一册上册第二章第4节反函... 暂无...高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com 解答题 填空题 x2 1.求函数 y...

第一册上册第二章第1-2节函数;函数的表示法同步练习

第一册上册第二章第1-2节函数;函数的表示法同步练习_数学_高中教育_教育专区...b 的值域为 [ ?1 , 4] ,求实数 a 、 b 的值。 x2 ?1 2. 已知...

八年级物理上册第二章第4节-6节

八年级物理上册第二章第 4 节《光的折射》达标题 A 1、一束光线从空气斜射到玻璃表面,当入射角逐渐减小时,折射角将( ) A、保持不变 B、逐渐增大 C、...