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对一道高考试题的商榷和另解


中学数 学研 究

2007 年 第 10 期




















汪正文







江苏省 丹阳市六中
2007 年江苏卷最后一道( 第 2 1) 题 :

(2 12300 )

命题者 给出的解答 如下:

已 知a , b , c, d 是不全为零的实数, 函数

f ( - ) = bx2十 二+ d ,9 (x) = a_ 23+ bx2+ c x+
d, 方程 f (x ) = 0 的实根都是 g l f (x )I = 。 的 根;反之, g [f (x )l = 。的实根都是 f ( 动 = 。
的根. ( 1) 求 d 的值; (2) 若 a = 0 , 求 。的取值

( 1) 设 r 为方程的一个根, 即f (r ) = 0 , 则 由 题设得 g [ f (r ) I =0 , 于 是 g (o) = g [f ( 二 )] = 0, 即g (0) = d = 0 , 所以d = 0.

(2) 由A 意 A ( 1) 知 f ( x ) = bx2+ 二, g(x ) = ax3+ bx2十 cx , 若。 =。 得b, 。 是 不 全
为。 的实 数, 且 g (x ) = bx 2+ cx = 二 (b x + c) ,

范围;(3) 若 a = 1 ,.f (1) = 0, 求。 的取 值范围
诬 矢 洲扮 到 睡 1召 吮 1若 论洲沁 公 白 : 创法 s e 创 睡 洲 泛 睡

任 s e 洲泛 创泛 洲论 创 泛 3 挂 曰泛 洲七 ,盆 当胜 飞 自, 创犯 洲卜 创匕 州釜 洲涟 侧泛 洲任 倒沁 盛 盔 创备 洲 任 洲长 洲比 创泛 侧轰 创睡 绝 全 洲 泛

再 令 ax b o 一 〔 号

]+b(0<a'<b ).则

(a-1 )(b-1 2 )个、的 倍 数 不 能 表 示 为 d(二、
的形 式 而 已知 从 ‘ 到 共有 斑一〔 分灼 个数不是 d 的倍数 , 它们均使方程① 没有整数 解. 故 问 题 ( 2 ) 所 求 的 数 n 共 有

卜_ a xo b卜一 卜 :x,],} a(b-xo )卜「

b y)

7 n .

(

a xo b o一
几司

毗, ra b }Js m -1: \-0 a L Jb
(a一 1)( b 一 1)
2

,axa, IL . 二 」 )(b- 1 + ,一} l i4 }} a(b0 xo,]一(“一 L 」 , ’ 2 , - `d 一 ‘ )(a一‘ )一票 , 综上所述 , 可得如下结论 :
a

‘ 一 〔 x ab 0 J l , 从 而 其〔 b

-

x tI o一 L r }l -I〔 a b x o 卜

有一楼梯共 m 级, 规定每步只能跨上 ao 级 或 bo 级. 当二 元一次方程aox 十 boy = n ( n
( m, 下同) 有 非负整数解 时, 能登上第 二级楼

引理2 表明, 在d 的 所有倍数中, 不能表 示为 d ( az + 勿) 形式 的正整 数 n 共 有 左 虹 卫( b - 1) 个 , . ,‘一 _, 二 _, 一 因为由min , {a b‘ f 、,‘ > 1, (a
2 ‘’ 曰一

梯 , 且 共 有‘ 为 L且欲 U ;6 ++} } ,bdt -} 种 不 同 走
-bru }`}, ov n
法. 否则, 无法登上第 二级楼梯, 且当 m) ao.

“ ““ , 朴 “ , 、 ‘,

“ , =‘ , 知 告+去< 告+ 告一 1 ,所以a(。 一 1 )

> b. 故根 据引理 1, 在表( , ) 里, 数 a( b - 1) 在 各列的能表示为二 + by 形式的最小数中 是最 大者 于是, 与上述那些数 n 中的最大数相对
应的

(鲁 一1) 一b 。时 , 这样的数 n 共有
。 ( “一1)( b 一1 .

1- 一 2生一 进 “ + m一 [d }个其中“ 一 d' 。 一 鲁, 、 一 (ao ,b o ), 而x一。 , , 一 y 。 是 二 元
一次方程a o x十 boy = n 的 一个整数 解.
参考文献 [1]李世信 一道排列组合题的解法探讨仁 J]
报, 1997 ,7 .

。 m。 , .

。i.

ao

_ d, n 必是 与 。 (“一‘ )位于表( ‘) 中同一列

的数. (b 一1) 一b . 从而 该最大数 n = d 3a (b

一 , )一 。 } 一 。 (鲁 一 1 )一 b o .因 此 , 若 ii ,i ao
( 裂 在1 到 m 、 d - 1) 一广一b ’ V, ’户 一“’ ‘ 的所有整 一 “‘ 产 ‘’ “升 刀、中, ” 共有 / ’“
bn

学通

20 07 年第 10 期 则g [f (= )l = x (bx + c) [ bx (bx + : ) + 。 」 = x (bx + c)( b' x' + bcx + c) , 方程 f ( x ) = 0 就 是二 (战 十 。 ) = 00 ; 方程 g [f 〔 二 )〕 二 0 就是 x (bx + , )(b2x2 + bcr + 。 ) = 00 (劝 当‘ =0 , b:} 4 ` 0 时, 方程① ②的根都为二
= 0, 符合题 意;

中学数 学研 究
作 为最后一道压轴题是 以同学们熟知的二

次函数 和三次多 项式函 数为载体进行探索和推
理, 主要考查 函数、 方程、 不等式的基本知识 , 考

(ii) 当c= ,4 0 , b 二 0 时, 方程①②的根都为
x = 0, 符合题 意;

( iii) 当: 笋0, b半0 时, 方程①的根为 x ; 二
。 , 二 一 含, 它们也都 是方 程② 的根 , 但 它们

:

不是方程 少 ‘ 尸十bcz 、 : 二 0 的实数根 由题 意, 方程护尸 + b二 十 。 = 0 无实根, 此时方 程的 判别式 △= ( bc)2- 4b' c< 0}>0< c< 4 . 综
上所述 , 所求 ‘的取值范 围为〔 0, 4) .

查综 合运用分类讨 论、 等价转化等思想 方法, 分 析问题及探索 推理论证的能 力; 笔者认为这是 一 道难得的 好题, 它改变了 以 往的 命题风格( 新 颖到 使学生无从下手, 失去了试题的 功能) , 入 口 宽、 难度逐问 递增; 其特点是:对知识方面的 要求不高, 但对能力要求较强, 有利于对人 才的 选拔; 试题虽然传统, 但又比较陌 生, 可从不同 的角度进行有效求解. 求解 该题的主要障碍是
对题 意的理解难度 较大, 有的可能即使看懂题

意, 但又难以寻找到解 题目 标 但笔者还 认为 试
题及解答仍有值得 商榷 的地方. 商榷一: “ 方 程 f ( 二) = 0 的 实根 都 是

( 3) 由a = 1, f (1) = 0 得 b = 一 。 ,f ( 二 )= bx 2斗 二二 二( 一 二+1) , g [f (x ) I = f (x ) [尸(x ) 一 cf ( 二 ) +‘ 〕 ③ 由f (x ) = O - g [f (x )[ = 0 , 知方程f ( x ) = 0 的实 根一 定是方程 g [f (x ) I= 0 的根、
① 当 c = 0 时, b = c = 0 符合题 意;

g l.f (=) 卜 。 的根; 反之, g [f ( 二 )7= 0 的实根 都是 f (x ) = 0 的 根” 其 表述上欠妥, 容易让人 费解, 其实质 就是方程 了0 一 ) = 0 与方程 g [f (=) 卜 0有相同的实根, 若将“ 反之” , 改为
“ 且” 则更准确 ;

②当。 = ,/-0 , b} 0 时, 方程f (x ) = 0 的根不 是方程.f z( 二 )一 cf ( S) + 。 二 0④的根.
因此, 根据题 意方 程④应无实根 , 则

商榷二: 题(2) 的解答, 在分三种情况讨论
后, 得出“ 综 上所述 , 所 求 。的取 值范 围为 仁 0, 4)0 , 出现科 学性 错误 , 应 改为 : 综上 “ 当b = 0 时, C } 0, 符合题 意; 当 b= ,4 0 时, c E [0 ,4 )" . 实 际上 , 该题 有多种比标答更简洁优美的解法. 问题( 1) :

(i) 当 △= ( 一 c)2一 4c< 0 , 即。 < c< 4 时, 产(x ) 一 C A . ) + C> 0 符合题意; (Ii) 当 △二( 一 。 )2一 4c) O, 即c( 0 或 ‘ )

4时 , 由方程④知 f ( x ) = 一C x2 十c= =

另 解 ①由g[f (x )] = af ( x) + b f (x ) +
cf (z ) 十 d, 设 a 是f ( 二 ) = 0 的根, 则 f (a ) = 0 冷9 【 f (a ) 」 =d , ’ 、 ‘ a 也是g [f (x ) l = 。的 根, g [f (a )] = o- d =0 .

C1J C.-

了 c2 一4

2 一4c c 士了C C . 即cs 2 一Cr + 。

应无实根, 所以 有 一 。

( )2-4c"c+ 三三 4C <0
丁 4c< 0- 0

另 解 ②由g[f (x )] = a f (x ) + 护 ( x ) +
,f (x ) + d , 由 题意 知: 满足f (x ) 二 0 的实数 x

c - / 丁 :} 4, , 。 且( 一‘ )2 一4c " 一2 一一 一 气U

当。 <。 时 , 只 需一 。 “ 一 2c

也 满 足 g[f (二 )」 =。 , 即f ( - ) =0 时 , g [f ( x) l
=0 , 从而可得 d = 0.

< <1 <c<3 6, 矛 盾 , 舍 去;
当。 ) 。 时 , 只 需一 ‘ 2+ 2c + / c2二 而 乙 < 0=> 0

另解 ③ 由题意知: g (x ) = .,T 二3 十f ( 二 ),

g[f (二 )〕 =。 [ f (x )l3+ f [f ( x) l , 若。是
f (x ) = 0 的 根, 则a 也 是g [f ( 二 )]二 0的 根; 从

<c<1 3 6, 这 时 4 - c<3. <

f0g [f (a ) 7=f ( a )= 0- 护 (。 ) + .f [f (a ) ] =
0 且f (a ) 一 。 , 则 I [ f (a )7 = o - f (0 ) 二 0,
.' . d = 0 .

综 上 所 述 , 所 求的 取 值 范 围 为 「 0,3 )

中学数 学研 究
问题(2 ):

2007 年 第 10 期 = 1. ‘ : 方程 f (x ) = 0 与g lf (x ) l 二 0 解集相

另 解 ① 由a = 0 , 则g ( x ) = b xz + 二=
、 户 J 万 . 、

同 , 又x =0 或x 二 1均 不 是 方 程 ①的 解 , … 方
程① , 设 ‘ 一二, , 则 , 》 一今 , 于~ 是2 方程 一 ~ 无解 一 j“ ‘’件 一 一一 ’、 寸“ 一 4 ’“ “

f(

) 1 ) 1

g If (



}i b = 0, cX :0 时, f (x ) = 二, l = c2 x, 显 然成立;
当 b 共 0, g ( x ) = 0} x = 0 或 二 =

x


①无解 娜关于 ! 的方程ctz 十 ct 十 1 = 0①无解
或有 解 , 但解不在

I 一粤 ,+w) 内 , 即 解 在 区间
L 护

} } } b[f(二)〕 一。 , 即b fz(二) +c f(x) 一。 (一。 ,一 41) 内 . ' ’ ” ‘ 若 ①无解, 则△< 0= } , 0< c< 4 ; = > f(x)一。或 f(二)一 含
一食 ( f 依题 意



:)一
若 若

f (二) 一 b c 的 解 有 三种 ’ 隋况 , _ b c 的解为 “或 一含 或J(二)一 含 无
贡 的解为 “或 一责 , 则。 一 。
c 护0

了 | 0 | 1 义 1 | l l L

若① 有解, 且在 一 ,一
) 0 1 一

(

4 ) 内, 1 则

t, + tl< 一 2



f (二)一 f(二)一

;

(, , + 告)(t2 + 告)>o
o 或 c) 4

青 无解娜

2 、< 0

二 ; .O< c < 4

了 L L e c< s J Y I J L

综上所述: 当b 二 0 时, c= A0 ; 当b A0 时, 。
呀[0 ,4 ).

>0 -4 - c<3 < 告 十 告 \(一 ‘ , 十 1 1 6 ,3 综 上 所 述 , 任!0
当 当

另解②当‘ =0 , 6共0 时, 适合 题意; 当。 = 0 时, 若 bO O , 成立; 当。 = } - O, b= L ,- 。 时, 由f ( 二 )
一” 二一” , 二一 含 , 而

另解② 9 [f ( , ) ] = f ( x ) [厂 ( 二 )二 )z+ c(x 2 一 二 ) cf (x ) + : 」 =c f (x ) [c (x 2一
+ 1].

g[f(二)〕 一b f2(x)+

c f(x)‘ 一b f (二 )[f(二)+含,由 A0, 一 ‘ 二 一 ”
或 二一 含 时, 二 十含‘“ , 即 二一“ , 一含 均

c= 0 时, b= 0, 符合题意; c= A0 时, 依题意c( x2 一 x )2 + c (x2 一

f( )

x ) + 1= 0 无解, 令 t = x 2一 x, 其 中t > - 则关 于 t 的 方 程 ct2 十 。 t + 1= 0

f (二) + 含 一”的解 , 又 由 f(x) 一“与 g[f(二)〕 一“的解 集相同,丫 (二)十含 一“无
不是 问题(3 ) :

工 ’ 4 在

{一粤 ,+ 司
L 咔

解, ‘ A < 0=>0< c< 4. 综上所述: 当b 二 0 时, c笋 0 ; 当b护0 时, c 任[0, 4).

上无解 , 也即函数 、 。 一。 1 + 8 4 + 1 的图象在 t 任
)

( ) t2+ct

点.

)上“x轴无交
, 十 一 )上单调递

另 解 ①当a = 1 时 , f (x) = bx2十 。,g(x )
= x 3+ bx2 + cx , 一f (1) 二 0, , .b + 。 =O - b=
(i) 当 c = O, b 二0 时成立 ;

当 c > 0 时, h (t ) 在



1 一 4

增 , 只 需、 (- 韵 >O }cc(0
当‘ < 0 时, h ( t )在
减, 只 需 、 一粤
4

4' +一 1 )上单调递
j

1 6);

(I 1) 若 c7} -0 时, f (x ) = 一 。 ( x2一 二 ), 由g If ( 二 )]=O t} 一 。 3(x 2一 x )3一 。 3(x2 一 x )2 一 。 2(x 2一 x ) = 00 x 2一 二 = 0或。 (x 2一 ;. )2 十 c(x ' 一 z ) + 1二 00 1, 由 f (x ) 二 O } z = 0 或二

(

)<。, 得 无解
‘ J

综 上 所 述 , 。 任 [0,'6丫
另解③ 由上同另解② , 得关于 的
45



2 007 年第 t o 期

中学数 学研 究









“ 错



” 中
( 317 52 5)

“ 顿
陈振 军





浙江省温岭市大澳 中学 有专家 指出: 学习上的错误是教学的巨 大 财富. 在实际 教学中, 教师 每天要面对许多 学生 在练习、 作业、 试卷中的各种错误, 甚至会在课 堂内 讲过多遍, 结果他们还是错. 教师 应如何及 时 捕捉 各种“ 错误” 这一教学资源, 引导学生总 结、 分析和纠正提高学生的效率 及能力.
一、 欣赏错误 , 追溯“ 学习错误” 的根源 心理 学家盖耶认为 : “ 谁不考虑 尝试错误 , 不允许学 生犯错 误, 就将 错过最 富成 效的学 习 时刻. ” 学生犯错的过 程应看作是一种 尝试和创 新的过程 . 对待学 习错误 , 我们 缺乏一种“ 主动 应付” 的新的理念和 策略. 在数学知 识的“ 自主 学习” 过程 中, 学生将 出现许 多的错误, 因此我

题目 给出后, 同 学们很快得出两 个结果, 而
且都觉得 自己的正确t 解法 1: ① + ②得 0 成2x ( 4 , 即 0 簇4x 镇

8 .0 , ( z x (一 1) 得一 1< y一 x < 1. . ① + ④得 0( 2y毛4 ⑤ 代入4x +2y , 得0( 4x + 2y 簇12 解 法 2: ' .' 4x + 2y = 3 (x + y ) + (x 一Y) , 且由已 知 条件有3< - 3( x +y )< 9, ⑥ 一 1镇x 一 , 成1, ⑦ 将 ⑥⑦二式相加, 得 2( 4x 十 2y = 3 (x + 妇十 (, 一 Y) 镇10 评析: 解法 1 忽略了x 和y 的相互制约关
系, 所得 出的取值范围比实际的范围要大. 解 法

们有必要站 在新的视角, 对其“ 价值” 进行重新 定位, 对其进行新的探索和实践, 让“ 学习 错误 ” 成为促进学生 发展的资源, 使学生得到积极主 动、 生动 活泼的 发展.
新课 程改革 以后, 对 于数学课 堂 中出现的

2 整体 上保 持 了x 和Y 的互制约关系, 因 而得
出的范围是 正确 的. 错误的产生是学生 思维的一种结果 , 作为 教师 , 不 能一概而否定之 , 欣 赏其错误产生的根

“ 错误” 有了不同的理解, 认为错误是不可避免 的, 关键是如何面对这些错误, 要以 错误为契 机, 利用这些错误来进行有效教学, 使学生以 后
不犯类似错误, 达 到教育 学生 的目的. 因此, 错 误也就成 了有效的教 学资源. 在新课标人教版 必修 5 不等式 中有题 : 已知
值范围.
: 自七创匕通匕 创盔 侧匕 倒挂 自 9-

源, 从而引 导学生思维的正确转变, 使学生思 维 得到一定程 度的 提升. 二、 呈现错误.探究“ 科学纠 错” 的策 略 学生在学习中关于 “ 错” 的 经验对学生正 确 掌握知识也是至关重要的. 事实 上, 学习 永 远与 错相伴, “ 对” 与 “ 错” 本来就是孪生兄 弟.那么怎 样利用‘ 错”科学合理的“ 纠 错” 呢 ?
1 概念教学 中师生共同“ 辫析错 ”

l( x + Y 成3①,
一 1 毛x 一v< - 10

求 4x + 2y 的取

为 使学生彻底理解数学概念的 本质特征, 以 及与 其它有关概念的联系, 常常要进行正误

妇 自 班 州还 州 匕 侧 短 J 汪 弓犯 , 国讼洲妞 油 r , 心少 宙逆 , 的全洲沁 创 任 洲趁 侧务 创匕 到 匕 创匕 』匕 到短 出匕 J 班 州 尧 自 班份 白少 ,生 泊 , , ‘ 全飞 自, , 少 七业 全 , 自少

C t2 +C t+‘ 一 0在!“ , +“十 , 一 。 在[想) , 则由。 =
1 任 一 4
r . . . . s e 』

4 1 一 4

+ ()〕

上无 解 , 若 方 程
上 有解( 补集思
t +

口 !警, +}
。在
‘ 峥

所以 关于 t 的 方程ctZ+ ct + 1=
1

+ 0 ,

I 一粤 ,、司

上 无解 , 则有 。

E [0,1 6
L J



t ` + t

- ,而 t2十,=
t ' + t

1 2

综 上 所 述 , 符 合 题 意 的E[0 ,3 6

-

1 . E( 一 } .0)


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