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高一年级数学选修课精英班讲义---函数与数列(答案)


高一年级数学选修课精英班讲义(函数与数列)
1.f (n)是定义在正整数集上: (i)对任意正整数 n,f(f (n))=4n+9; (ii)对任一非负整数 k, k k+1 f (2 )=2 +3,求 f (1789)。 2 3 4 2 解:f (4n+9)=fff (n)=4f (n)+9,又以 789=9+4×9+4 ×9+4 ×9+4 ×2 2 3 2 2 2

f (1789)=9×4f (9+4×9+4 ×9+4 ×2 )=9+4×[9+4f (9+4×9+4 ×2 )] 2 2 2 2 2 2 3 2 =9+4×9+4 f (9+4×9+4 ×2 )=9+4×9+4 [9+4f (9+4×2 )]=9+4×9+4 ×9+4 [9+4f (2 )] 2 3 4 2 =9+4×9+4 ×9+4 ×9+4 (2 +3)=1789+1792=3581 2.定义在正整数上的 f,满足:f(n)= ? 解:记 f (n)= f
(131) m

(n ? 1000 ) 时 ?n ? 3 ,求 f(90)。 f ( f (n ? 7)) (n ? 1000 ) 时 ?

f ? f (n) ,因为 90+7×130=1000,所以 f (90)=f 1 (90)=f 2 (97)=f 3 (104) ?? ??? ? ?
m个f

=??=f (1000). ① 又 f (1000)=997; ② f (997)=ff (1004)= f(1001)=998; ③ f (998)=ff (1005)= f(1002)=999; ④ f (999)=ff (1006)= f(1003)=1000。 m ∴f (1000)的值在 997→998→999→1000→??之间循环出现,以 4 为周期。又 131=4×32+3, 131 3 ∴f (90)=f (1000)=f (1000)=999。 3.f 定义在整数集上,并且 f (n)= ?

当n ? 1000 ?n ? 3 ,求 f (84)。 f ( f (n ? 5)) 当n ? 1000 ?
? ? ?
185 个

解:因为 84+5×184=1004>1000。f (84)= f ? f (1004)= f ? f (1001)

? ? ?
184 个

= f ? f (998)= f ? f (1003)= f ? f (1002)= f ? f (997)= f ? f (1002)= f ? f (999)

? ? ?
183 个

? ? ?
184 个

? ? ?
183 个

? ? ?
182 个

? ? ?
183 个

? ? ?
182 个

= f ? f (1002)= f ? f (999)= f ? f (1004)=??=fff(1004)=f(1000)=997。

? ? ?
183 个

? ? ?
182 个

? ? ?
183 个

规律:每退 2 个“ff”自变量值为 1004 不变 185 184 183 184 183 上式缩写为:f (84)=f (1004)=f (1001)=f (998)=f (1003)= f (1000) 182 183 182 183 3 =f (997)=f (1002)=f (999)=f (1004)=??=f (1004)=f (1000)=997 为所求。 4.f (x)是定义在 R 上的函数,f (1)=1 对任意 x∈R 都有 f (x+5)≥ f (x)+5,f (x+1)≤ f (x)+1。 又 g (x)=f (x)+1-x,求 g (2002)。 解:分析:先由条件求 f(2002),然后求 g(2002)。f (x)+5≤ f (x+5)≤ f (x+4)+1 ≤f (x+3)+2≤f (x+2)+3≤f (x+1)+4≤f (x)+5,∴f (x+5)=f (x+4)+1, f (x+4)=f (x+3)+1??即对任意 x∈R,有 f (x+1)=f (x)+1 且 f (1)=1,∴f (1)=1,f (2)= 2,f (3)=3??f (2002)=2002;g (2002)=f (2002)+1-2002=1。 x x 5.若关于 x 的方程 4 +(a+3)2 +5=0,在区间[1,2]内至少有一个实根,求 a 的范围。 解:由 4 +(a+3)2 +5=0 得 a+3=-
x x

4x ? 5 x ,令 t=2 ,则由 x∈[1,2],故 t∈[2,4] x 2

且 a+3=-(t+

5 5 ),而 t+ ≥ 2 5 (此时 t= 5 ) 。 t t 5 9 ∵函数 f (t)=t+ 在[2, 5 ]上为减函数, 而在[ 5 , 4]上为增函数, (2)= , ( 5 )=2 5 , f f t 2

1

21 21 21 ,故 f (t)在[2,4]上值域为[2 5 , ],于是- ≤a+3≤-2 5 , 4 4 4 23 {a|- ≤a≤-3-2 5 }为所求 4
f(4)=
3 2 3 2

6.已知实数 ? 、β 分别满足 ? -3 ? +5 ? -17=0,β -3β +5β +11=0,求 ? +β 的值。 3 2 解:由条件: ? -3 ? +3 ? -1+2 ? -2-14=0 - ? ? +3 ? -3 ? +1-2 ? +2-14=0,即:( ? -1) +2( ? -1)-14=0,
3 2 3

[(- ? )+1] +2(- ? +1)-14=0,由于 f (x)=x +2x-14 为单调增函数(x ↗且 2x↗故 x +2x↗) ,
3 3 3 3

由 f ( ? -1)=f (1- ? )则 ? -1=-β +1,∴ ? + ? =2。 7.设 a,b,c 为实数,且存在 ? 、 ? 、 ? ∈{-1,1},使得 ? a+ ? b+ ? c=0,求 ( 小值。 解:由于 ? 、 ? 、 ? ∈{-1,1},分两种情况进行讨论,要么这三个数全相等,要么有两个相同,且 与另一个不同。 (Ⅰ)若 ? = ? = ? ,则 a+b+c=0,

a3 ? b3 ? c3 2 ) 的最 abc

(

a 3 ? b3 ? c3 ? (b ? c) 3 ? b 3 ? c 3 2 3bc(b ? c) 2 ) ?[ ] ?[ ] ? 32 ? 9 。 abc ? (b ? c)bc bc(b ? c)
(Ⅱ)不失一般性假设 ? = ? , ? ≠ ? ,则 a=b+c。

c b a 3 ? b 3 ? c 3 (b ? c) 3 ? b 3 ? c 3 (b ? c) 2 ? b 2 ? bc ? c 2 =2 ( ? ) +1。 ? ? b c abc (b ? c)bc bc
若 b,c 同号,则 2 ( ? ) +1≥2×2+1=5,从而[2 ( ? ) +1] ≥25。
2

c b

b c

c b

b c

若 b,c 异号,则

c d c b c b c b ? ≤-2,2 ( ? ) +1≤-3,|2 ( ? ) +1|≥3,从而[2 ( ? ) +1]2≥9, d c b c b c b c

综上, [

a3 ? b3 ? c3 2 ] 最小值为 9。 abc
x

8.设 t= ( ) ? ( ) ? ( ) ,求关于 x 的方程(t-1) t-2) t-3)=0 的所有实数解之和。 ( (
x x

1 2

2 3

5 6

2 x 3 3 4 5 1 8 125 ? ? 故 f(x)为减函数。 f(0)=1+1+1=3, (1)= ? ? ? 2 , (3)= ? 又 f f 6 6 6 8 27 216
x x x
x x x

解:令 t=f(x)= ( ) + ( ) + ( ) = ( ) ? ( ) ? ( ) ,由于 ( ) , ( ) , ( ) 均为减函数
x

1 2

2 3

5 6

3 6

4 6

5 6

1 2

5 x 6 27 64 125 ? ? ? 1, 216 216 216

∴f(3)-1=0,f(1)-2=0,f(0)-3=0,有[f(3)-1][f(1)-2][f(0)-3]=0,(t-1)(t-2)(t-3)=0 ∴根为 x1=0,x2=1,x3=3,所有根之和 0+1+3=4 为所求。 9.数列{an}的前 10 项依次为

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , , , , , : 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5

2

① 求这个数列中的第 2006 项;

② 求这个数列的第 1 项至第 2006 项的和。

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 解:对该数列进行分组: ( ), ( , ), ( , , ), ( , , , ) ,?知每组分别有 1 项,2 项,3 项,4 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5
项,?? 设第 2006 项的分母为 n,则有 1+2+?+(n-1)≥2006>1+2+?+(n-2) ? ? 又因 n 为正整数, n=64。 ∴ 于是, 2006 项位于第 63 组, 62 组共有 第 前 所以,第 2006 项为

?n(n ? 1) ? 4 ?(n ? 2)(n ? 2)

62 ? 63 =1953 项。 因为 2006-1953=53, 2

53 。 64

1 1 1 2 1 2 3 6 3 1 2 3 4 10 ? 2。 ? ; ? ?1; ? ? ? ? ; ? ? ? ? 4 4 4 4 2 5 5 5 5 5 2 2 3 3 1 2k 1 2k ? 1 k ? 1 1 3 5 61 1 ? 2 ? ? ? 53 ??? ?k, ??? ? 规律: , ,1, ,2, ,3, ?, ,31, 2k ? 1 2k ? 1 2k 2k 2 2 2 2 2 64 1 3 5 61 1 ? 2 ? ? ? 53 ? 31 ? 则前 2006 项总和为 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 2 2 2 2 64 1 3 61 1 ? 2 ? ? ? 53 1 1431 55 ? 998 =(1+2+?+31)+ ( ? ? ? ? ) ? =496+480 + 。 2 2 2 64 2 64 64
对每一组求和得新数列: 10.在 2×n 方格表的每个方格中都写有一个正数,使得每一列中的两个正数和都等于 1,证明:可以自每 一列中删去一个数,使得每一行中剩下的数的和都不超过

n ?1 。 4

解:不失一般性,对表中的列进进行交换,不影响其结论的成立,因此不妨设表第一行,从小到大排 列。由于 ai+bi=1 且 ai,bi>0,从而第二行必是从大到小排列 第一行:a1≤a2≤?≤at≤at+1≤?≤an; 第二行:b1≥b2≥?≥bt≥bt+1≥?≥bn

n ?1 n ?1 且 a1+a2+?at+at+1> , (1≤t≤n) ① 4 4 n ?1 现考查第二行,如果有 bt+1+br+2+?+bn≤ ② 则本命题已得证。 (即在第一行中删 4 n ?1 去 at+1,?,an 项,而在第二行中删去相应余项,b1,b2,?bt 即可) ,反之,若 bt+1+?+bn≥ 。 ③ 4
现取第一行中前 t 项,使 a1+a2+?+at≤ 现证明如下: 由 bt+1≥bt+2?≥bn,则 bt+1+bt+2+?+bn≤(n-t)bn+1, ④ ⑤ 由③及④ 再由①

n ?1 n ?1 ≤(n-t)bt+1=(n-t)(1-at+1),∴at+1≤1, 4 4(n ? t )
且 a1+a2+?+at+1≤(t+1)at+1,有

n ?1 <a1+a2+?+at+1 4
由⑤⑥

n ?1 n ?1 <(t+1)at+1,即 at+1> , ⑥ 4 4(t ? 1)
但由均值不等式

n ?1 n ?1 ? 1? 4(t ? 1) 4(n ? t )

即[

1 1 ? ](n ? 1) ? 1 , ⑦ 4(t ? 1) 4(n ? t )

(n+1) [

1 1 1 1 1 ? ] ? [(t ? 1) ? (n ? t )][ ? ] 4(t ? 1) 4(n ? t ) 4 (t ? 1) (n ? t )

3



1 1 1 ? 2 (t ? 1)(n ? t ) ? 2 ? ?1 4 t ?1 n ? t



⑦与⑧显然矛盾,命题得证。

4


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