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计数专题 排列组合 竞赛篇


排列组合(竞赛篇)

本讲学习任务
一、深刻理解组合和排列的区别 二、学会排列组合问题涉及到的各种富有特色的方法, 如:捆绑法、插空法、隔板法、排除法等。

上讲知识回顾
排列:从 n 个不同元素中任意取出 m 个(m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列,叫做一个排列,所有
m 排列的个数叫做排列数。记作 An



组合:指从 n 个不同元素中任意取出 m 个(m≤n)元素,不计较各元素的顺序,叫做从 n 个不同元素中
m 取出 m 个元素的一个组合,所有组合的个数,叫做组合数,记为 Cn 。

区别:只选不排,是组合;既选又排,是排列。 【例 1】小豌豆和他 6 个兄弟要去照相,分别求出下列条件下各有多少种排法? ⑴7 个人排成一排; ⑵7 个人排成一排,某两个人必须有一个人坐在中间; ⑶7 个人排成一排,某两个人不能站在两头。

【例 2】联欢会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问:如果 4 个舞蹈节目要排在一起,有多少种不 同的安排顺序?

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【例 3】以下面 9 个点为顶点的三角形有多少个?

【例 4】联欢会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问:如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个 演唱节目,一共有多少种不同的安排顺序?

【例 5】把 10 个相同的球放入 3 个不同的盒子里,若要求: ⑴每个盒子里至少有一个球,有多少种放法? ⑵某些盒子允许空着,有多少种放法? ⑶每个盒子里至少有 2 个球,有多少种放法?

本讲知识总结
排列与组合的区别:只选不排,是组合; 既选又排,是排列。 注意:特殊位置,特殊元素,优先考虑。 方法:捆绑法、排除法、插空法、隔板法。

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