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2.1.1指数与指数幂的运算(1-2)


1)整数指数幂是如何定义的?有何规定? a n = a×a×a× ……×a n 个a a0=1 (a≠0) ( n ∈ N *)

a ?n ?

1 * ( a ? 0 , n ? N ) n a

2)整数指数幂有那些运算性质?
( 1) a m × a n = a m + n ( 2) ( a m )

n = a m × n

( m、n ∈Z )

( 3 ) ( a b ) n = a nb n a m ÷a n = a m ×b -n = a m-n
n ?a? a ? ? = ( a ×b -1 ) n = a n × b -n ? n b ?b?

n

一.根式
平方根,立方根是 怎么定义的?

平方根: 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。
即:如果x2=a,则x为a的平方根

立方根: 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。
即:如果x3=a,则x为a的立方根

1、n次方根的定义:
如果一个数的n次方等于a,那么这个数 叫做a的n次方根。即: 如果xn=a,则x为 a的n次方根(n>1,n∈N*)

如果一个数的n次方等于a,那么这个 数叫做a的n次方根。即:如果xn=a, 则x为a的n次方根(n>1,n∈N*)

因为n次方根x满足xn=a, 所以求一个数a的n次方根 就是求出哪个数的n次方等于a.

(1)求27的3次方根

(2)求-32的5次方根
3
5

(3)求a6的3次方根 解: ∵33=27 , ∴3是27的3次方根 ∵(-2)5=-32 , ∴-2是-32的5次方根 ∵(a2)3=a6 , ∴a2是a6的3次方根

27 ? 3
?32 ? ?2

3

a6 ? a2

2、n次方根的性质:P49
一般地: 正数的奇次方根是一个正数,记作: 负数的奇次方根是一个负数,记作:
n n

a a

(1)求16的4次方根 解: (1)∵24=16

(2)求-81的4次方根
4

, ∴ 2是16的4次方根

16 ? 2

又∵(-2)4=16 , ∴ -2也是16的4次方根 ? 4 16 ? ?2 ∴ 16的4次方根有两个,分别是2和-2 (2) ∵任何实数的4次方都是非负数,不会为-81, ∴-81没有4 次方根.

一般地:正数的偶次方根有两个且它们互为相反数,
正的偶次方根为 n
负数没有偶次方根

a

,负的偶次方根为? n a ;

当a=0时, n a 有意义吗?
因为05=0 ; 04=0
4

;0100=0
100

即:0 ? 0
5

0 ?0

0 ?0

无论n是奇数还是偶数,都有 0n=0 ( n ? 0)

0的n次方根为0,

n

0 ? 0(n ? 0)

一、n次方根的定义
若x ? a(n ? 1且n ? N ),则x叫a的n次方根。
n *

二、n次方根的性质
偶次方根的性质 奇次方根的性质
n 正数的偶次方根有两个, 正数的奇次方根为正数,记为 ① 它们互为相反数,记为 ? n a

a a

② 负数没有偶次方根 ③ 0的偶次方根为0

负数的奇次方根为负数,记为 n

0的奇次方根为0

3、根式的定义:P49
式子 n

a
n

叫做根式 , 其中a为被开方数,n为根指数

根据n次方根定义,有:

a

n

n n ( a) ? a ? a
5 5 ; 2 ? 2 ; (-3) ? 3

3 4

3 (-2) ? -2

2

n n ; 0 ?

0



4、根式的运算性质:P50
当n为奇数时:
n
n

34 ?

3

a ?a
n

当n为偶数时:

a ?
n

? a(a ? 0) a ?? (a<0) ??a

例1:求下列各式的值.
(1) 3 ( ?8)3 (3) 4 (3 ? ? ) 4
解: (1) 3 ( ?8) 3 ? ?8

(2) (4)

( ?10) 2 ( a ? b) 2 ( a ? b)

(2) (?10) 2 ? ?10 ? 10
(3) 4 (3 ? ? ) 4 ? 3 ? ? ? ? ? 3
(4) (a ? b) 2 ? a ? b ? a ? b

(a ? b)

二.分数指数幂
(1) a ? a
5 10
10 5

(2) a ? a
4 16
2

16 4

当根式的被开 16 方数的指数能 (2) 4 a16 ? 4 ( a 4 ) 4 ? a 4? a 4 被根指数整除 时,根式可以写 成分数指数幂 思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数 的形式 整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?

解:

(1) a ? (a ) ? a ? a
5 10 5 2 5

10 5

如果幂的运算性质(2)(am)n=amn对于分数指数 2 2 ?3 幂也适用,则 2 3 3 3 (a ) ?a 2? a
说明a 3 是a 2的3次方根, 2 3 2 而3 a2 也是a2的3次方根,于是有 a 3 ? a

1、分数指数幂的定义:P51
a
m n

m n

?
1

n

a

m

(a>0,m,n ? N 且n>1)

?

注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子. 规定:正数的负分数指数幂:
a
?

?

a

m n

(a>0,m,n ? N ?且n>1)

同时: 0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂
没有意义

2、有理指数幂的运算性质:P51

(1)a r ?a s ? a r ?s (2)(a ) =a
r r s r ?s r r

(a ? 0, r , s ? Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加 (a ? 0, r, s ? Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘 (a ? 0, r, s ? Q)
积的乘方等于乘方的积

(3)(a?b) =a b

一般地,无理数指数幂 a ( ? >0, ? 是 无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.

?

例2:求值:
(1)8
解:
2 3

(2)100
2 3

?

1 2

(1)8 =(2 )=2 =4 1 ? 1 1 1 2 (2)100 = = = 1 1 2? 10 2 2 100 (10) 1 ?3 -3 (-2) (-3) 6 (3)( ) =(2-2) =2 ? =2 4 3 3 ? 4 ? ( ) 16 4 2 2 -3 27 4 (4) ( ) =( ) =( ) = 81 3 3 8

2 3 3

1 -3 (3)( ) 4
2

16 ? 3 (4)( )4 81

例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)
(1)a 2 ? a
解:
2

(2) a 3 ?3 a 2
2 1 2 2?

(3) a a
1 2
2 3

(1)a ? a ? a ?a ? a
3 3 2 3 2 3
1 2

?a

5 2
11 3

(2)a ? a ? a ?a ? a

3?

?a

(3) a a ? a? a ? (a ) ? a

1 1 1? 2 2

3 4

1、n次方根的概念P49:
如果xn =a,则x为a的n次方根。 当n为奇数时,记: x ? n a 当n为偶数,a≥0时,记:x ? ? n 负数没有偶次方根

a

2、根式的定义与运算性质:P49
式子 n

①当n为任意正整数时,( a ) ? a.
n n

a

叫做根式 , 其中a为被开方数,n为根指数

②当n为奇数时,n a n =a;
当n为偶数时, n

a

n

?a(a ? 0) =|a|= ? ?? a(a ? 0)

3、有理数指数幂运算性质:

(1)a ?a ? a
r s r

r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) (a ? 0, r, s ? Q) (a ? 0, r, s ? Q)

同底数幂相乘,底数不变指数相加

(2)(a r )s =a r ?s (3)(a?b) =a b
r r

幂的乘方底数不变,指数相乘 积的乘方等于乘方的积

4

、分数指数幂的定义P51

a ? a (a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)
n m

m n

a

m ? n

?

1

( a ? 0 , m , n ? N *, 且 n ? 1 ) m

an


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