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幂运算与幂函数

时间:2013-08-01


幂函数 y ? x? (? ? R)

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数
奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
偶函数

第一象限 性质

减函数

增函数

( 1) 过定点 0,

1、 已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与 x,y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称,求 m 的值.

2、已知幂函数 f(x)=xm2-4m(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在区间(0,+∞)为减函数(1)求 m 的值和函数 f(x)的解析式 (2)解关于 x 的不等式 f(x+2)<f(1-2x) .

3、已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2,

1 ),(1)试求函数解析式;(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间;(3)试 2

解关于 x 的不等式 f(3x+2)+f(2x-4)>0.

4、已知幂函数 f(x)= x 设函数 g(x)=2

? m 2 ? 2 m ?3

(m∈Z)在区间(0,+∞)上是单调增函数,且为偶函数.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)

f (x) -8x+q-1,若 g(x)>0 对任意 x∈[-1,1]恒成立,求实数 q 的取值范围.

5、已知幂函数 f(x)=x

(2-k)(1+k)

,k∈N+,且满足 f(2)<f(3).

(1)求实数 k 的值,并写出相应的函数 f(x)解析式; (2) (1) 对于 中的函数 f (x) 试判断是否存在正数 q, , 使函数 g (x) =1-qf (x)(2q-1) 在区间[-1, + x 2]上值域为[-4, 存在,求出此 q 值;若不存在,请说明理由.

17 ]. 若 8

幂运算
n 次方根:一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根(throot) ,其中 n >1,且 n∈N ,当 n 为偶数时,
n


a 的 n 次方根中,正数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示, n a 叫做根式.n 为奇数时,a 的 n 次方根用符 号 n a 表示,其中 n 称为根指数,a 为被开方数. 类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇数时呢?

?n为奇数, a的n次方根有一个,为n a ? a为正数:? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ? n a ?
?n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a ? a为负数:? ?n为偶数, a的n次方根不存在. ?
零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清 n 为奇数和 偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得:

( n a )n ? a ( n a )n ? a 肯定成立, n an 表示 an 的 n 次方根,等式 n an ? a 一定成立吗?如果不一定成立,那么 n an
等于什么? n 为奇数, an ? a
n

n 为偶数,

n

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0
n

小结:当 n 为偶数时, an 化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避免出现错误: 例题:求下列各式的值

(1) (1)

3

( ?8)3

(2)

( ?10) 2

(3)

4

(? ? 3

4

)

(4)

a ?b 2 ) (

课堂练习:1. 求出下列各式的值

(1) 7 (?2) 7

(2) 3 (3a ? 3) 3 ( a ? 1)

(3) (3a ? 3)
4

4

2.若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围 .

3.计算 3 (?8) ? 4 (3 ? 2) ? 3 (2 ? 3)
3 4

3

规定正数的分数指数幂的意义为:

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * )
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: a
? m n

m

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而 不是 a m ? a m ? a m ??? a m (a ? 0) 有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质, 即:
n 1 1 1

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r ? R, s ? R) (ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R) (a ? b)r ? ar br (a ? 0, r ? R)
补充练习:

1 (2n?1 )2 ? ( )2 n?1 2 1. 计算: 的结果 4n8?2

2. 若 a3 ? 3,

a10 ? 384, 求a3 ? [(

a10 1 n?3 ) 7 ] 的值 a3

3.计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(2) (m n )

1 4

?

3 8 8

4.计算下列各式 (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 (2)

a2 a. 3 a2

(a >0)

5、化简: (1) ( 9) 3 ( 10 ) 2 ? 100
3 2
5

?

2

9

2

(2) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2

(3)

a a

a a

1 ? b 3? 3 ? ?1 ? 2( ) ? ? a ⑷ 2 2 a ? ? 3 3 3 a ? 2 ? ab ? 4b

a ? 8a b

4 3

1 3

6、已知 a

1 2

? a =3,求下列各式的值:
3

?

1 2

(1)a+a-1;

(2)a2+a-2;

(3)

a2 ? a a ?a
1 2

? ?

3 2 1 2


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