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高三上学期数学单元测试(1)(文科)集合与简易逻辑(必修1第一章)

时间:2010-05-18


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高中学生学科素质训练系列试题

高三上学期数学单元测试(1) (文科)
[新课标人教版] 集合与简易逻辑(必修 1 第一章)
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名.考号.考试科目涂写在答题卡上.考试结束,试题 和答题卡一并收回. 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义 P※ Q={(a,b)|a∈ P,b∈ Q},则 P※ 中 Q 元素的个数为 A.3 B.4 C.7 D.12 ( )

2. A、 是两个集合, 设 B 定义 A-B={x|x∈ 且 x ? B}, M={x||x+1|≤2}, A, 若 N={x|x=|sinα|, α∈ R},则 M-N= A.[-3,1] B.[-3,0] C.[0,1] D.[-3,0] ( )

3. (08 年北京文)若集合 A ? {x | ?2 ≤ x ≤ 3} , B ? {x | x ? ?1或x ? 4} ,则集合 A ? B 等 于 A. x | x ≤ 3或x ? 4 C. x | 3 ≤ x ? 4 ( )

?

?

B. x | ?1 ? x ≤ 3

?

? ?

?

?

D. x | ?2 ≤ x ? ?1

?

3. (08 年北京)已知全集 U ? R ,集合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,

?

?

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那么集合 A ? ? B 等于 U A. x | ?2 ≤ x ? 4

?

?

( B. x | x ≤ 3或x ≥ 4 D. x | ?1 ≤ x ≤ 3



?

? ?

?

?

C. x | ?2 ≤ x ? ?1

?

?

?


4.(08 年福建) 设集合 A={x| A.充分而不必要条件 C.充要条件

x <0 },B={x|0<x<3=,那么“m ? A”是“m ? B”的( x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.若任取 x1、x2∈ [a,b],且 x1≠x2,都有 f(

x1+x2
2

)>

f(x1)+f(x2) 成立,则称 f(x) 是[a,b]上的 2 ( y )

凸函数.试问:在下列图像中,是凸函数图像的为 y a A b x a B y b x a C y b x a D

b x

6. (08 年湖北文) 若集合 P ? {1,2,3,4}, Q ? {x 0 ? x ? 5, x ? R}, 则 A. x ? R ”是“ x ? Q ”的充分条件但不是必要条件 “ B. x ? R ”是“ x ? Q ”的必要条件但不是充分条件 “ C. x ? R ”是“ x ? Q ”的充要条件 “ D. x ? R ”既不是“ x ? Q ”的充分条件也不是“ x ? Q ”的必要条件 “ 7.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ① c=0 时,f(x)是奇函数 ③ f(x)的图象关于(0,c)对称 其中正确的命题是 A.① ④ B.① ③ C.① ③ ② D.① ④ ②





② b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根 ④ 方程 f(x)=0 至多两个实根 ( )

ex+1 8.函数 y= x ,x∈ (0,+∞)的反函数是 e -1





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x-1 A.y=ln ,x∈ (-∞,1) x+1 x-1 C.y=ln ,x∈ (1,+∞) x+1 x+1 B.y=ln ,x∈ (-∞,1) x-1 x+1 D.y=ln ,x∈ (1,+∞) x-1

9.(08 年广东文) 命题“若函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数,则

loga 2 ? 0 ”的逆否命题是





A.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 B.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 C.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 10.函数 y=x2-2x 在区间[a,b]上的值域是[-1,3],则点(a,b)的轨迹是图中的( ) 2 A.线段 AB 和线段 AD B.线段 AB 和线段 CD 0 0 C.线段 AD 和线段 BC D.线段 AC 和线段 BD 8 0 8 0 第Ⅱ卷 5 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 0 11.已知函数 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的 0 8 图象如图所示,则不等式 f(x)cosx<0 的解集是 . y 0 . 。 8 O 1 2 3 x 0 。 5 12.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4000 元 的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出 版一本书,共纳税 420 元时,这个人应得稿费(扣税前)为 元.

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13.(08 年重庆文) 已知集合 ?=?1,2,3,4,5?,A= ?2,3,4?,B= ?4 5? , , 则 A? (C U B )= .

14. (08 年福建文)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、 a-b、ab、

a ∈P(除数 b≠0)则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命 b

题: ①数域必含有 0,1 两个数; ②整数集是数域; ③若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上) 15.如果函数 f(x)的定义域为 R,对于 m,n∈ R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-6,且 f(-1)是不 大于 5 的正整数,当 x>-1 时,f(x)>0. 那么具有这种性质的函数 f(x)= .(注:填上你认为正确的一个函数即可) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (08 年江苏) 若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?
x ? p1

, f 2 ? x ? ? 2? 3

x ? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ?

求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) 。

17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x | ⑴ a=2 时,求 A ? B; 当 ⑵ 求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

x ? 2a ? 0} . x ? (a 2 ? 1)

18. (本小题满分 14 分)

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2 2 已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足

不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
2

19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2 ? a ? 2
x ?x

?1 (a 为实数).

⑴ a<0,用函数单调性定义证明: y ? f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数; 若 ⑵ a=0, y ? g ( x) 的图象与 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称,求函数 y ? g ( x) 若 的解析式.

20. (本小题满分 14 分)

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函数 f ( x ) ? 2 x ?

a 的定义域为(0,1]( a 为实数) . x

⑴ a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; 当 ⑵ 若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; ⑶ 求函数 y ? f ( x ) 在 x∈ (0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

21. (本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0) ,若存在实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称 x0 为 f (x) 的不动点. ⑴ a=2,b=-2 时,求 f (x) 的不动点; 当 ⑵ 若对于任何实数 b,函数 f (x) 恒有两相异的不动点,求实数 a 的取值范围; ⑶ 在⑵ 的条件下,若 y ? f (x) 的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且直 线 y ? kx ?

1 2a ? 1
2

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

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参考答案
一、选择题 题次 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 D 6 A 7 C 8 D 9 A 10 A

二、填空题 π π 11.? ,-1?∪(0,1)∪? ,3?; ?2 ? ?2 ? 12.3800; 13. {2 , 3}; 14. ①④; 15.x+6 或 2x+6 或 3x+6 或 4x+6 或 5x+6 三、解答题 2 0 0 8 0 8 0 5

16.本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用. 解: f ? x ? ? f1 ? x ? 恒成立 ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 3
x ? p1

? 2? 3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

? 3log3 2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2 (*)
因为 x ? p1 ? x ? p2 ? ? x ? p1 ? ? ? x ? p2 ? ? p1 ? p2 所以,故只需 p1 ? p2 ? log3 2 (*)恒成立 综上所述, f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件是: p1 ? p2 17. 解: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A ? B=(4,5) . (2)∵ B=(2a,a2+1) , 当 a<

1 时,A=(3a+1,2) 3

要使 B ? A,必须 ?

? 2a ? 3a ? 1
2 ?a ? 1 ? 2

,此时 a=-1;

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1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在; 3 1 当 a> 时,A=(2,3a+1) 3
当 a= 要使 B ? A,必须 ?

? 2a ? 2
2 ? a ? 1 ? 3a ? 1

,此时 1≤a≤3.

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1} 18. 解 :由a x ? ax ? 2 ? 0, 得(ax ? 2)(ax ? 1) ? 0,
2 2

2 1 显然 a ? 0 ? x ? ? 或x ? a a 2 1 ? x ? [?1,1], 故 | |? 1或 | |? 1,?| a |? 1 a a

“只有一个实数满足 2 ? 2ax ? 2a ? 0”即抛物线y ? x 2 ? 2ax ? 2a与x轴只有 x 一个交点? ? ? 4a 2 ? 8a ? 0,? a ? 0或2, ,
? 命题“ p或q为真命题 时搢a |? 1或a ? 0” " ? 命题“ p或Q”为假命题 ? a的取值范围为 a | ?1 ? a ? 0或0 ? a ? 1} {
19.解: (1)设任意实数 x1<x2,则 f(x1)- f(x2)= (2 1 ? a ? 2
x ? x1

?1) ? (2x2 ? a ? 2? x2 ?1)

= (2 ? 2 ) ? a(2
x1 x2

? x1

?2

? x2

2 x1 ? x2 ? a ) = (2 ? 2 ) ? x1 ? x2 2
x1 x2

2 ? x1 ? x2 ,?2x1 ? 2x 2,?2x 1? 2x ? 0; ? a ? 0,? 2x1 ? x2 ? a ? 0 .

又2 1

x ? x2

? 0 ,∴f(x1)- f(x2)<0,所以 f(x)是增函数.

(2)当 a=0 时,y=f(x)=2x-1,∴2x=y+1, ∴x=log2(y+1), y=g(x)= log2(x+1).

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20.解: (1)显然函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , ? ? ) ; (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,则任取 x1 , x 2

? ( 0.1] 且 x1 ? x2 都有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 即 ( x1 ? x2 )(2 ? x a ) ? 0 x
1 2

只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, 由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 , 故 a 的取值范围是 ( ?? ,?2] ; (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值, 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; 由(2)得当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值, 当 x=1 时取得最小值 2-a; 当 ?2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0. 当x?
?2a 2

?2a 2

] 上单调减,在 [

?2a 2

, 1 ] 上单调增,无最大值,

时取得最小值 2 ? 2a .
2

21.解? f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0), (1)当 a=2,b=-2 时,
2

f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 4.

设 x 为其不动点,即 2 x ? x ? 4 ? x. 则 2 x ? 2 x ? 4 ? 0.
2

? x1 ? ?1, x2 ? 2.即f ( x) 的不动点是-1,2.
2

(2)由 f ( x) ? x 得: ax ? bx ? b ? 2 ? 0 .

由已知,此方程有相异二实根,

? x ? 0 恒成立,即 b 2 ? 4a(b ? 2) ? 0. 即 b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 对任意 b ? R 恒成立.

? ? b ? 0.

?16a 2 ? 32a ? 0

? 0 ? a ? 2.

(3)设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) , 直线 y ? kx ?

1 2a ? 1
2

是线段 AB 的垂直平分线,

? k ? ?1

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b , 2a 1 b b 1 ? M在y ? kx ? 2 上,? ? ? ? 2 . 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1
记 AB 的中点 M ( x0 , x0 ). 由(2)知 x0 ? ? 化简得: b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

1 2 2a ? 1 a

??

2 2 时,等号成立) . (当a ? 4 2

即b ? ?

2 . 4

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