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【优化方案】2016高考总复习课件(人教A版)高中数学 第六章 不等式、推理与证明 第4讲 合情推理与演绎推理


第六章 不等式、推理与证明

1.推理

判断 (1)定义:是根据一个或几个已知的__________ 来确定一个 判断 新的__________ 的思维过程. 合情推理 ?__________ (2)分类:推理? 演绎推理 ?____________

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第六章 不等式、推理与证明

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2.合情推理
归纳推理 由某类事物的部分对象具 有某些特征,推出该类事 全部对象都具有 物的__________________ 定义 这些特征 的推理,或 _____________ 者由个别事实概括出 一般结论 的推理 __________ 类比推理 由两类对象具有某些类似 特征和其中一类对象的 某些已知特征 ____________________, 推 出另一类对象也具有这些 特征的推理

部分 到_______ 整体 、由 由_______ 特殊 到_______ 特殊 的 由_______ 一般 个别 到__________ 特点 __________ 推理 的推理
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第六章 不等式、推理与证明

3.演绎推理 一般性的原理 出发,推出某个特殊情况下 (1)定义:从________________ 的结论,我们把这种推理称为演绎推理. 一般 特殊 (2)特点:演绎推理是由__________ 到__________ 的推理. (3)模式:

? ?②小前提:所研究的特殊情况; 三段论? 特殊情况 做 ③结论:根据一般原理,对__________ ? ? 出的判断.
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一般原理 ; ①大前提:已知的__________

第六章 不等式、推理与证明

[做一做] 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( B ) A.28 B.32 C.33 D.27
解析:由 5-2=3,11-5=6,20-11=9,则 x-20=12, 因此 x=32.
2. 推理“①矩形是平行四边形; ②三角形不是平行四边形; ③三角形不是矩形”中的小前提是( B ) A.① B.② C.③ D.①和②

解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提; ③是结论.
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第六章 不等式、推理与证明

1.归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤: 试验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤: 观察、比较 → 联想、类比 → 猜想新结论

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第六章 不等式、推理与证明

2.把握合情推理与演绎推理的三点 (1)合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不 一定正确,其结论的正确性是需要证明的. (2)在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表 面现象所迷惑;否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类 比,就会犯机械类比的错误. (3)应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什 么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定 是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所 得结论也是错误的.
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第六章 不等式、推理与证明

[做一做] 3.下列表述正确的是( D ) ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ C.②④⑤ B.②③④ D.①③⑤
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第六章 不等式、推理与证明

4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们 的面积比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱

1∶8 . 长的比为 1∶2,则它们的体积比为________
1 Sh V1 3 1 1 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =?S ?· = × = . V2 1 h2 4 2 8 2 Sh 3 2 2

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第六章 不等式、推理与证明

考点一 考点二 考点三

归纳推理(高频考点) 类比推理 演绎推理

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第六章 不等式、推理与证明

考点一 归纳推理(高频考点)
归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空 题,难度稍大,属中高档题. 高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度: (1)数值的归纳; (2)代数式的归纳; (3)图形的归纳.

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第六章 不等式、推理与证明

(1)(2013· 高考陕西卷)观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?, 照此规律,第 n 个等式可为+ 2 2 2 2 n 1 2 n+1n(n+1) 1 -2 +3 -4 +?+(-1) n =(-1) ______________________________________________; 2 x (2)(2014· 高考陕西卷)已知 f(x)= , x≥0, 若 f1(x)=f(x), 1+x fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则 f2 014(x)的表达式为
x f2 014(x)= 1+2 014x ____________________________________________ .
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第六章 不等式、推理与证明

(3)(2015· 青岛模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图 是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为 120°; 二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两 1 条长度为原来 的线段, 且这两条线段与原线段两两夹角为 3 120°,?,依此规律得到 n 级分形图.

3×2n-3(n∈N*) 条线段. n 级分形图中共有________________
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第六章 不等式、推理与证明

[解析] (1)观察等式可知,第 n 个式子为 12-22+32-42 + + + + ? + ( - 1)n 1n2 = ( - 1)n 1(1 + 2 + ? + n) = ( - 1)n 1n(n+1) . 2 x x 1+x 1 + 2x x x (2)f1(x)= ,f (x)= = ,f (x)= = x x 1+x 2 1+2x 3 1+ 1+ 1+x 1+2x x x ,?,由归纳推理得 f2 014(x)= . 1+3x 1+2 014x

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第六章 不等式、推理与证明

(3)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图 知,一级分形图有 3=(3×2-3)条线段,二级分形图有 9 =(3×22-3)条线段,三级分形图中有 21=(3×23-3)条线 段,按此规律 n 级分形图中的线段条数 an = (3×2n - 3)(n∈N*).

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第六章 不等式、推理与证明

[规律方法]

(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因

而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围; (2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经 验或试验的基础之上的; (3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数 学结论和科学的发现很有用.

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第六章 不等式、推理与证明

1.(1)(2014· 高考陕西卷)观察分析下表中的数据:
棱数(E) 9 10 12 F+V-E=2 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是______________. (2)(2015· 佛山质检)观察下列不等式: 1 1 1 1 1 1 ① <1;② + < 2;③ + + < 3? 2 2 6 2 6 12 1 1 1 1 1 + + + + < 5 2 6 12 20 30 则第 5 个不等式为______________________________ . 1 1 - (3)数列{an}满足 an+1= ,a2=3,则 a2 016=_________ . 2 1-an 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体
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面数(F) 5 6 6

顶点数(V) 6 6 8

第六章 不等式、推理与证明

解析:(1)观察 F,V,E 的变化得 F+V-E=2. 1 (3)∵an+1= ,a2=3. 1-an 1 1 1 ∴a3= = =- , 2 1-a2 1-3 1 1 2 a4= = = . 1 3 1-a3 1+ 2 1 1 a5= = =3=a2. 2 1-a4 1- 3 由归纳推理得{an}是周期 T=3 的周期数列. 1 ∴a2 016=a671×3×3=a3=- 2
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第六章 不等式、推理与证明

考点二 类比推理
在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,则 cos2 A+cos2 B =1.试在立体几何中,给出四面体性质的猜想. 2 2 b a ? +? ? [解] 如图(1),在 Rt△ABC 中,cos2A+cos2B=? ?c ? ?c ?
a2+b2 = 2 =1. c 于是把结论类比到如图(2)所示的四面体 P 中,我们猜想,三棱锥 P A′B′C′

A′B′C′中,若三个侧面

PA′B′,PB′C′,PC′A′两两互相垂直且分别与底面所 成的角为 α,β ,γ ,则 cos2α +cos2β +cos2γ =1.
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第六章 不等式、推理与证明

[规律方法] 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比, 还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象 的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对 应体积等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线) 垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.

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第六章 不等式、推理与证明

2.(2015· 浙江杭州模拟)已知命题:“若数列{an} 是等比数列,且 an>0,则数列 bn= a1a2?an(n∈N*)也是 等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一 个什么性质?并证明你的结论. n

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第六章 不等式、推理与证明

解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质 是:若数列{an}是等差数列, a1+a2+?+an 则数列 bn= (n∈N*)也是等差数列. n 证明如下:设等差数列{an}的公差为 d, n(n-1)d na1+ 2 a1+a2+?+an 则 bn= = n n d =a1+ (n-1), 2 d 所以数列{bn}是以 a1 为首项, 为公差的等差数列. 2
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第六章 不等式、推理与证明

考点三 演绎推理
数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n+2 Sn(n∈N*).证明: n Sn (1)数列{ }是等比数列; n (2)Sn+1=4an.

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第六章 不等式、推理与证明

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演绎推理错误的原因

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第六章 不等式、推理与证明

n+2 [证明] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 Sn 故 =2· ,(小前提) n n+ 1 Sn 故{ }是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.(结论) n (大前提是等比数列的定义)

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第六章 不等式、推理与证明

Sn+1 Sn-1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· ·Sn-1 n- 1 n-1 =4an(n≥2).(小前提) 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论)

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第六章 不等式、推理与证明

[规律方法] 演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理, 其一般形式是三段论, 应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小 前提,如果前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数 列的定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略 不写; (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由 几个三段论才能完成.

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第六章 不等式、推理与证明

a 3.已知函数 f(x)= +bx, 其中 a>0, b>0, x∈(0, x +∞),试确定 f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上 的增减性. 解:法一:设 0<x1<x2, a a a ? ? ? ? ? -b?. 则 f(x1)-f(x2)=?x +bx1?-?x +bx2?=(x2-x1)· ?x1x2 ? 1 2 a 当 0<x1<x2≤ 时,∵a>0,b>0, b a a ∴x2-x1>0,0<x1x2< , >b, b x1x2

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第六章 不等式、推理与证明

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在?0, ? a? 上是减函数; b?

a a a 当 x2>x1≥ >0 时,x2-x1>0,x1x2> , <b, b b x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a ? ? ∴f(x)在 ,+∞ 上是增函数. ? b ? 法二:∵a>0,b>0,x∈(0,+∞). a a ∴令 f′(x)=- 2+b=0,得 x= , b x 当 0<x≤ a a a 时,- 2≤-b,∴- 2+b≤0, b x x
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第六章 不等式、推理与证明

a ? ? 即 f′(x)≤0 仅在x= 时,f′(x)=0 , b ? ? a? ? ∴f(x)在 0, 上是减函数; b ? ? 当 x≥ a b 时 , - a x2 + b≥0 , 即

? f′(x)≥0 仅在x= ?
∴f(x)在? ?

a ? 时,f′(x)=0 , b ?

a ? ,+∞ 上是增函数. b ?

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第六章 不等式、推理与证明

交汇创新——例析归纳推理中创新问题
(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)设△AnBnCn 的三边长分 别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,?. cn+an bn+an 若 b1>c1, b1+c1=2a1, an+1=an, bn+1= , cn+1= , 2 2 则( B ) A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

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第六章 不等式、推理与证明

[解析] 在△A1B1C1 中,b1>c1,b1+c1=2a1, ∴b1>a1>c1. c1+a1 b1+a1 在△A2B2C2 中,a2=a1,b2= ,c2= ,b2+c2= 2 2 2a1,∴c1<b2<a1<c2<b1. 在△A3B3C3 中,a3=a2=a1, c2+a2 c2+a1 b3= = , 2 2 b2+a2 b2+a1 c3= = ,b3+c3=2a1, 2 2 ∴a1<b3<c2,b2<c3<a1, ∴c1<b2<c3<a1<b3<c2<b1. 由归纳知,n 越大,两边 cn,bn 越靠近 a1 且 cn+bn=2a1, 此时面积 Sn 越来越大,当且仅当 cn=bn=a1 时△AnBnCn 面积最大.
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第六章 不等式、推理与证明

[名师点评 ] 1.解决此类问题首先要通过观察特例发现某 些相似性(特例的共性或一般规律); 然后把这种相似性推广 到一个明确表述的一般命题(猜想); 最后对所得的一般性命 题进行检验. 2.本题把归纳推理问题与数列及数列的性质巧妙地结合, 体现了新课标下的交汇创新思想. 解决本题的关键有以下几点: (1)由条件 an+1=an,确定三角形的一边为固定值; (2)由条件可推出 b1+ c1=b2+ c2=b3+c3=2a1,进而得出 △AnBnCn 的周长为定值;

(3)利用“若三角形的一边不变及周长不变,则另外两边越 接近,面积越大”推得结论.
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第六章 不等式、推理与证明

(2015· 广东东莞模拟 )请阅读下列材料:若两个
2 正实数 a1,a2 满足 a2 + a 1 2=1,那么 a1+a2≤ 2.

证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x +1,因为对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以Δ ≤0,从而 得 4(a1+a2)2-8≤0,所以 a1+a2≤ 2.
2 2 根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 a2 + a +?+ a 1 2 n=1

a1+a2+?+an≤ n 不必证明). 时,你能得到的结论为____________________(

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第六章 不等式、推理与证明

解析:构造 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+?+(x-an)2=nx2- 2(a1+a2+?+an)x+1. 因为?x∈R,f(x)≥0 恒成立,∴Δ ≤0,即 4(a1+a2+?+ an)2-4n≤0,∴(a1+a2+?+an)2≤n,即 a1+a2+?+an ≤ n.

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