nbhkdz.com冰点文库

证明(二)经典讲义


一对一“TSEP 教学”教学案 证明(二)
1.你能证明它们吗
一、主要知识点 1、 证明三角形全等的判定方法 (SSS,SAS,ASA,AAS, 证直角三角形全等除上述外还有 HL)及全等三角形的性质是对应边相等,对应角相等。 2、 等腰三角形的有关知识点。 等边对等角;等角对等边;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。 (三线合一)

3、 等边三角形的有关知识点。 判定:有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形; 三条边都相等的三角形是等边三角形; 三个角都是 60°的三角形是等边三角形; 有两个叫是 60°的三角形是等边三角形。 性质:等边三角形的三边相等,三个角都是 60°。 4、反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条 件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 二、重点例题分析 例 1: 如下图,在△ABC 中,∠B=90°,M 是 AC 上任意一点(M 与 A 不重合)MD⊥BC, 交∠ABC 的平分线于点 D,求证:MD=MA.

例2

如右图,已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形,求证:AE=CD.

例 3: 如图:已知 AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F 为垂足, 求证: ① AC=AD; ②CF=DF。

1

一对一“TSEP 教学”教学案
例 4 如图 1、图 2,△AOB,△COD 均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90? , (1)在图 1 中,AC 与 BD 相等吗?请说明理由(4 分) (2)若△COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后,到达力 2 的位置,请问 AC 与 BD 还相 等吗?为什么?(8 分) B B
C D A C
图 1

D O A

O
图 2 

例 5 如图,在△ABC 中,AB=AC、D 是 AB 上一点,E 是 AC 延长线上一点,且 CE=BD,连结 DE 交 BC 于 F。 (1)猜想 DF 与 EF 的大小关系; (2)请证明你的猜想。

例 6 证明:在一个三角形中至少有两个角是锐角.

2.直角三角形 一、主要知识点
1、直角三角形的有关知识。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形; 2

一对一“TSEP 教学”教学案
在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中, 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么这两 个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理称为互逆 定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析 例 1 :说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形; (2)两直线平行,同旁内角互补; (3)如果 ab=0,那么 a=0,b=0; (4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等 例 2:如图, ?ABC 中, ?C ? 90?, ?1 ? ?2, CD ?

3 5 , BD ? ,求 AC 的长。 2 2

例 3 :如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的 面积。

C D B

A

例 4:如图,一架 2.5 米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AC 上,这时梯足 B 到墙底端 C 的 距离为 0.7 米,如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米,那么梯足将向外移多少米?

3

一对一“TSEP 教学”教学案
A A1

B1

B

C

例 5 :如图 2-5 所示.在等边三角形 ABC 中,AE=CD,AD,BE 交于 P 点,BQ⊥AD 于 Q.求证: BP=2PQ.

3.线段的垂直平分线 4.角平分线 一、主要知识点
1、 线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 3、 逆命题、互逆命题的概念,及反证法 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为 互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 4

一对一“TSEP 教学”教学案
二、重点例题分析 例 1: (1)在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于 N,交 BC 的延长线于 M, ∠A= 40 ,求∠NMB 的大小 (2)如果将(1)中∠A 的度数改为 70 ,其余条件不变,再求∠NMB 的大小 (3)你发现有什么样的规律性?试证明之. (4)将(1)中的∠A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 A N B C M M C B A A N M C N B
0 0

例 2:在△ABC 中,AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F,垂足为 D,若 AC=6,BC=4,求△BCF 的周长。
E C F

A

D

B

例 3:如图所示,AC=AD,BC=BD,AB 与 CD 相交于点 E。求证:直线 AB 是线段 CD 的 垂直平分线。
A C E D

B

例 4:如图所示,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120 ,D、F 分别为 AB、AC 的中点,
5

0

一对一“TSEP 教学”教学案
DE?AB,FG?AC ,E、G 在 BC 上,BC=15cm,求 EG 的长度。
A D B E G F C

例 5::如图所示,Rt△ABC 中,,D 是 AB 上一点,BD=BC,过 D 作 AB 的垂线交 AC 于 点 E,CD 交 BE 于点 F。求证:BE 垂直平分 CD。
C E F A D B

例 6::在⊿ABC 中,点 O 是 AC 边上一动点,过点 O 作直线 MN∥BC,与 ∠ACB 的角平分线交于点 E,与∠ACB 的外角平分线交于点 F,求证:OE=OF A

M

E

O

F 1 2

N

B

C

例 7、如图所示,AB>AC,? A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D,自 D 作 DE? AB 于 E, DF?AC于F ,求证:BE=CF。
A

E B M C F

D

6

一对一“TSEP 教学”教学案
相应练习 1、 如图,在△ABC 中,AB=AC=BC,AE= CD,AD、BE 相交于点 P,BQ⊥AD 于 Q。求证: BP=2PQ A P E Q B D 2、 如图,△ABC 中,AB= AC,P、Q、R 分别在 AB、BC、AC 上,且 BP=CQ,BQ=CR。 求证:点 Q 在 PR 的垂直平分线上。 A C

R

P

B

Q

C

3、 如图,△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F,连 接 AF。 A 求证:∠B=∠CAF E B D C F

4、 已知:如图,AB∥CD,∠BAC 的角平分线与∠DCA 的角平分线交于点 M,经过 M 的直 线 EF 与 AB 垂直,垂足为 F,且 EF 与 CD 交于 E 求证:点 M 为 EF 的中点 C E D

M

A
7

F

B

一对一“TSEP 教学”教学案 单元训练题
一、精心选一选,慧眼识金(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图 1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形 状的玻璃.那么最省事的办法是带( )去配. A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 2.下列说法中,正确的是( ). A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D.面积相等的两个三角形全等 3.如图 2,AB⊥CD,△ABD、△BCE 都是等腰三角形,如果 CD=8cm,BE=3cm,那么 AC 长为( ). A.4cm B.5cm C.8cm D. 34 cm

4.如图 3,在等边 ?ABC 中, D, E 分别是 BC , AC 上的点,且 BD ? CE ,AD 与 BE 相交 于点 P,则 ?1 ? ? 2 的度数是( A. 45
0

). C. 60
0 0

B. 55

0

D. 75

0

5.如图 4,在 ?ABC 中,AB=AC, ?A ? 36 ,BD 和 CE 分别是 ?ABC 和 ?ACB 的平分 线,且相交于点 P. 在图 4 中,等腰三角形(不再添加线段和字母)的个数为( A.9 个 B.8 个 C.7 个 D.6 个 ).

6.如图 5, l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的 距离相等,则可供选择的地址有( ). A.1 处 B.2 处 C .3 处 D.4 处

7.如图 6,A、C、E 三点在同一条直线上,△DAC 和△EBC 都是 等边三角形,AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N,有如下结 论:① △ACE≌△DCB;② CM=CN;③ AC=DN. 其中, 正确结论的个数是( ).

8

一对一“TSEP 教学”教学案
A.3 个 B.2 个 C. 1 个 D.0 个

8. 要测量河两岸相对的两点 A、 B 的距离, 先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C, D, 使 CD=BC, 再作出 BF 的垂线 DE,使 A,C,E 在同一条直线上(如图 7) , 可以证明 ?ABC ≌ ?EDC ,得 ED=AB. 因此,测得 DE 的长就 是 AB 的长,在这里判定 ?ABC ≌ ?EDC 的条件是( ).

A.ASA B.SAS C.SSS D.HL 9.如图 8,将长方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,点 C 落在点 E 的 位置,BE 交 AD 于点 F. 求证:重叠部分(即 ?BDF )是等腰三角形. 证明:∵四边形 ABCD 是长方形,∴AD∥BC

又∵ ?BDE 与 ?BDC 关于 BD 对称, ∴ ?2 ? ?3 . ∴ ?BDF 是等腰三角形. 请思考: 以上证明过程中, 涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项? ( ① ?1 ? ? 2 ;② ?1 ? ?3 ;③ ?3 ? ? 4 ;④ ?BDC ? ?BDE A.①③ B.②③ C.②① D.③④ 图8 ) .

10.如图 9,已知线段 a,h 作等腰△ABC,使 AB=AC,且 BC=a,BC 边上的高 AD=h. 张红的作法是: (1)作线段 BC=a; (2)作线段 BC 的垂直平分线 MN,MN 与 BC 相 交于点 D; (3)在直线 MN 上截取线段 h; (4)连结 AB, AC,则△ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中, 有错误的一步你认为是 ( ) . A. (1) B. (2) C. (3) D. (4) 二、细心填一填,一锤定音(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图 10,已知,在△ABC 和△DCB 中,AC=DB,若不增加任何字母与辅助线,要使 △ABC≌△DCB,则还需增加一个条件是____________. 2.如图 11,在 Rt ?ABC 中, ?BAC ? 900 , AB ? AC ,分别过点 B, C 作经过点 A 的直线 的垂线段 BD,CE,若 BD=3 厘米,CE=4 厘米,则 DE 的长为_______.

3.如图 12,P,Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠ABC 等 于_________度.
9

一对一“TSEP 教学”教学案
4.如图 13,在等腰 ?ABC 中,AB=27,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E, 若 ?BCE 的周长为 50,则底边 BC 的长为_________. 5.在 ?ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 50 ,则
0

底角 B 的大小为________. 6.在《证明二》一章中,我们学习了很多定理,例如:①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方;②全等三角形的对应角相等;③等腰三角形的两个底角相等;④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中,存在逆定理的是________.(填序号) 7.如图 14,有一张直角三角形纸片,两直角边 AC=5cm,BC=10cm,将△ABC 折叠,点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 CD 的长为________. 8.如图 15,在 ?ABC 中,AB=AC, ?A ? 120 ,D 是 BC 上任意一点,分别做 DE⊥AB
0

于 E,DF⊥AC 于 F,如果 BC=20cm,那么 DE+DF= _______cm.

9.如图 16,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,DE 是 AB 的中垂线,垂足为 D,交 BC 于点 E ,若 BE ? 4 ,则 AC ? _______ .

10.如图 17,有一块边长为 24m 的长方形绿地,在绿地旁边 B 处有健身 器材, 由于居住在 A 处的居民践踏了绿地,小颖想在 A 处立一个标 牌“少走_____步,踏之何忍?”但小颖不知在“_____”处应填什么 数字,请你帮助她填上好吗?(假设两步为 1 米)? 三、耐心做一做,马到成功(本大题共 48 分) 1. (7 分)如图 18,在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 ,CD 是 AB 边上的高,
0

?A ? 300 . 求证:AB= 4BD.

2. (7 分) 如图 19, 在 ?ABC 中,?C ? 90 , AC=BC, AD 平分 ?CAB
0

交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,若 AB=6cm. 你能否求出 ?BDE 的 10

一对一“TSEP 教学”教学案
周长?若能,请求出;若不能,请说明理由.

3. (10 分)如图 20,D、E 分别为△ABC 的边 AB、AC 上的点, BE 与 CD 相交于 O 点. 现有四个条件:①AB=AC;②OB=OC; ③∠ABE=∠ACD;④BE=CD. (1)请你选出两个条件作为题设,余下的两个作为结论,写出一个正确 的命 .. 题: 命题的条件是 和 (2)证明你写出的命题. 已知: 求证: 证明: ,命题的结论是 和 (均填序号).

4. (8 分)如图 21,在 ?ABC 中, ?A ? 90 ,AB=AC, ?ABC 的
0

平分线 BD 交 AC 于 D,CE⊥BD 的延长线于点 E. 求证: CE ?

1 BD . 2
图 21

5. (8 分)如图 22,在 ?ABC 中, ?C ? 90 .
0

(1)用圆规和直尺在 AC 上作点 P,使点 P 到 A、B 的距离相等. (保留作图痕迹,不写作法和证明) ; (2)当满足(1)的点 P 到 AB、BC 的距离相等时,求∠A 的度数.

6. (8 分)如图 23, ?AOB ? 90 ,OM 平分 ?AOB ,将直角三角板的顶
0

点 P 在射线 OM 上移动,两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C、D,问 PC 与 PD 相等吗?试说明理由. 图 23
11

一对一“TSEP 教学”教学案

四、拓广探索(本大题 12 分) 如图 24,在 ?ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 N, 交 BC 的延长线于点 M,若 ?A ? 40 .
0

(1)求 ?NMB 的度数; (2)如果将(1)中 ? A 的度数改为 70 ,其余条件不变,再求
0

?NMB 的度数;
(3)你发现有什么样的规律性,试证明之; (4)若将(1)中的 ? A 改为钝角,你对这个规律性的认识是否需要加以修改?

图 24

12


三角形的证明(二)经典讲义

三角形的证明(二)经典讲义_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角形的证明(二)经典讲义_数学_初中教育_教育专区。我努力追求:创造...

证明(二)经典讲义 2

证明(二)经典讲义 2_司法考试_资格考试/认证_教育专区。证明(二) 1.你能证明它们吗一、主要知识点 1、 证明三角形全等的判定方法 (SSS,SAS,ASA,AAS, 证直角...

证明(二)经典讲义(答案)

证明(二)经典讲义(答案)_司法考试_资格考试/认证_教育专区。证明(二) 1.你能证明它们吗一、主要知识点 1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直...

证明(二)经典讲义

2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 证明(二)经典讲义 隐藏>> 证明(二) 1.你能证明它们吗一、主...

北师大版数学八年级下:证明(二)经典讲义

北师大版数学八年级下:证明(二)经典讲义_数学_初中教育_教育专区。等腰三角形一、主要知识点 1、 证明三角形全等的判定方法 (SSS,SAS,ASA,AAS, 证直角三角形全...

证明(三)经典讲义

证明()经典讲义_初三数学_数学_初中教育_教育专区。证明(三)主要知识点:一...B D M F C 6 训练题二 1 如图 1,已知 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线...

2份证明(三)经典讲义

2份证明()经典讲义_初三数学_数学_初中教育_教育专区。北师版九上第三章证明(三)主要知识点:一、三角形 按角分 三角形三条边都不相等的三角形 直角三角形...

证明(三)经典讲义

2份证明()经典讲义 15页 1财富值 证明()经典讲义 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

证明(三)经典讲义

证明()经典讲义 - 陈中数理化九年级数学讲义 证明(三) 【1】主要知识点: ⑴四边形中基本图形 ⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形) ⑶菱形的面积公式...

九上 证明(二)讲义

证明(二)讲义 6页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能...【经典例题】 例题:如图,已知,在△ABC 中,∠ABC=90°,点 O 为△ABC 的三...