nbhkdz.com冰点文库

四川成都七中高2014届高三(上)入学考试 数学理


四川成都七中高 2014 届高三(上)入学考试

数学(理)试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的。 1、设集合 A ? {x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? 1 ? 0} ,则 A ?

B ? ( (A) {1} (B) {?1} )

(C) {?1,1,5} (D) ? 2、设复数 z 满足 (1-i)z=2 i,则 z =( ) (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i 3、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1)(1,1,0) , , (0,1,1)(0,0,0) , ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可 以为( )

(B) (C) (D) 4、设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 5、函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0, ? 为( ) B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点 ( )

(A)

?
2

?? ?

?
2

)的部分图象如图所示,则此函数的解析式可

(A) y ? 2sin(2 x ? (B) y ? 2sin(2 x ? (C) y ? 2sin(4 x ? (D) y ? 2sin(4 x ?

? ? ?
6 6

) ) )
π 3

2

y

3

O -2

5π 12

x

?
3

)


6、阅读如图所示的程序框图,若输入的 k ? 10 ,则该算法的功能是( (A)计算数列 2n?1 的前 10 项和 (B)计算数列 2n?1 的前 9 项和

? ?

? ?

·1·

(C)计算数列 2n ? 1 的前 10 项和 (D)计算数列 2n ? 1 的前 9 项和

?

?

?

?

7、 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf'(x)的图象可 能是( )

8、方程 ay=b2x2+c 中的 a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 ( ) (A)60 条 (B)62 条 (C)71 条 (D)80 条 9、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,A=30° ,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛 掷两次,所得的点数分别为 a、b,则满足三角形有两个解的概率是( ) (A)错误!未指定书签。 指定书签。 (B)错误!未指定书签。 (C)

1 错误 !未 2

(D)错误!未指定书签。 )

?? x 2 ? 2 x, x ? 0 10、已知函数 f ( x) = ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0
(A) ( ??, 0]

(B) (??,1] (C) [-2,1] (D) [-2,0] 第二部分 (非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、 ( x ?

2 n ) 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是__________. x2
(用数字作答)

? x ?1 ? 12、已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=_____________. ? y ? a ? x ? 3? ? ?? 1 ? 13、设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? =_________. 4? 2 ? 2 14、已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4x 。那么,不等式 f ( x ? 2) ? 5 的
解集是__________________. 15、如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S. 则下列命题正确的是________________(写出所有正确 命题的编号) 。

·2·

①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

1 时,S 为四边形 2

1 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时,S 与 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R ? 4 3 3 ④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形 4
⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为

D1 A1 B1

C1

.Q

6 . 2

D A B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。

.P C

在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c 。已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 。

17、(本小题满分 12 分) 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结 束.除第五局甲队获胜的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独 2 3

立. (1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3: 2, 则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

18、 (本小题满分 12 分) 如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是 AC, AB 上 的点, CD ? BE ? 2 , O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A? ? BCDE ,其 中 A?O ? 3 . C D O . E C ·3· A 图1 D 图2 B

A?

O E

B

(Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ;(Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的余弦值.

2 19、(本小题满分 12 分) 正项数列{an}的前项和{an}满足: Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N * ,都有 Tn ? . 2 2 64 (n ? 2) an

20、 (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的 距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;
(Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有 2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

·4·

参考答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) BAADB ACBAD 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 180 12.

1 2

13. ?

10 5

14. (-7, 3)

15. ①②③⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 解: (I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1 …… 2 分

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,…… 4 分
解得 cos A ? (II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

…… 6 分

1 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,…… 8 分 2
2

由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ?

a2 ? 28 sin 2 A

…… 10 分

? sin B sin C ?

bc 5 ? . 2 4R 7

…… 12 分

17、(本小题满分 12 分)
3 3 解: (1) p1 ? C3 ( ) ?

2 3

8 8 4 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 , p2 ? C3 ( ) ? ? , p3 ? C4 ( ) ( ) ? ? 27 3 3 3 27 3 3 2 27

…… 6 分 (2)由题意可知 X 的可能取值为:0, 1, 2, 3. …… 7 分 乙队得分 X 的分布列为:

…… 10 分 乙队得分 X 的数学期望: EX ? 0 ?

16 4 4 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 27 27 27 9 9

…… 12 分

X
18、(本小题满分 12 分)

0

1

2
4 27

3
1 9
A?

4 16 解:(Ⅰ) 在图 1 中,易得 OC ? 3, AC ? 3 2, AD ? 2 227 27

P

·5·

C D

O E

B

连结 OD, OE ,在 ?OCD 中,由余弦定理可得

OD ? OC 2 ? CD2 ? 2OC ? CD cos 45? ? 5
由翻折不变性可知 A?D ? 2 2 , 所以 A?O2 ? OD2 ? A?D2 ,所以 A?O ? OD , …… 4 分

理可证 A?O ? OE , 又 OD ? OE ? O ,所以 A?O ? 平面 BCDE . …… 6 分 (Ⅱ) 方法 1:过 O 作 OH ? CD 交 CD 的延长线于 H ,连结 A?H , 因为 A?O ? 平面 BCDE ,所以 A?H ? CD , 所以 ?A?HO 为二面角 A? ? CD ? B 的平面角. …… 8 分 结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故 OH ? 从而 A?H ? OH 2 ? OA?2 ? 所以 cos ?A?HO ?

3 2 , 2

30 …… 10 分 2

OH 15 , ? A?H 5
15 .…… 12 分 5

所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为

方法 2:以 O 点为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示, 则 A? 0, 0, 3 , C ? 0, ?3,0 ? , D ?1, ?2,0 ? 所以 CA? ? 0,3, 3 , DA? ? ?1, 2, 3

????

?

?

z …… 8 分 C

A?

设 n ? ? x, y, z ? 为平面 A?CD 的法向量,则

?

?

?

???? ?

?

?

B O y

? ???? D E ?3 y ? 3z ? 0 ?n ? CA? ? 0 ? y ? ?x ? ? ? ,即 ? ,解得 ? , ? ? ? ???? x 向量法图 ? z ? 3x ?n ? DA? ? 0 ?? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ? ? ? 令 x ? 1 ,得 n ? 1, ?1, 3 …… 10 分 ???? 由(Ⅰ) 知, OA? ? 0, 0, 3 为平面 CDB 的一个法向量, ? ???? ? ???? n ? OA? 3 15 , ? 所 以 c o s n OA? ? ? ???? ? , 即 二 面 角 A? ? C D? B的 平 面 角 的 余 弦 值 为 5 3? 5 n OA?

?

?

?

?

15 .…… 12 分 5
19、(本小题满分 12 分)
2 (1)解:由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 [Sn ? (n2 ? n)](Sn ?1) ? 0.

·6·

由于{an}是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n. 综上,数列{an}的通项 an ? 2n. (2)证明:由于 an ? 2n, bn ? 则 bn ?

…… 2 分

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n. …… 6 分

n ?1 , 2 (n ? 2)2 an
…… 8 分

n ?1 1 1 1 ? [ 2? ]. 2 4n (n ? 2) 16 n (n ? 2) 2
2

Tn ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2? ] 2 2 16 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2
…… 12 分

1 1 1 1 1 1 5 [1 ? 2 ? ? ] ? (1 ? 2 ) ? . 2 2 16 2 64 16 2 (n ? 1) (n ? 2)

20、(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y . …… 4 分
2 (Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,求导得 y ? ? x 4 2

x12 x2 , y2 ? 2 ), 4 4 1 1 则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 2 2
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ?

x1 x12 x1 x? ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? ? x ? x1 ? ,即 y ? 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . …… 8 分

(Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02
·7·

所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 , 所以 y0 2 ? x0 2 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 2 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? 所以当 y0 ? ?

? ?

1? 9 ? ? 2? 2

2

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . …… 13 分 2 2

21、(本小题满分 14 分)

...... 4分

...... 8分

·8·

...... 14分

·9·


成都七中2016届高三上学期入学考试数学(理)

成都七中2016届高三上学期入学考试数学(理)_数学_高中教育_教育专区。成都七中高三数学入学测试(理) I 卷一.选择题.(本大题共12 小题,每题5 分,共60 分,...

四川省成都七中高2014届高三上学期入学考试 数学理 Word版含答案

四川成都七中高 2014 届高三(上)入学考试 数学()试题第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给...

四川省成都七中2014届高三上学期入学考试数学(理)试题

四川省成都七中2014届高三上学期入学考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本 大题共 10 小题,每小题 5 分...

四川省成都七中2016届高三上学期入学考试数学(理)试卷

四川省成都七中2016届高三上学期入学考试数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。成都七中高三数学入学测试(理) 命题人:黄太平 满分150分 祁祖海 考试时间120分钟 ...

四川省成都七中2016届高三上学期入学考试数学(理)试卷 Word版含答案

四川省成都七中2016届高三上学期入学考试数学(理)试卷 Word版含答案_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载四川省成都七中2016届高三上学期入学考试数学(理...

四川省成都七中2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案

四川省成都七中2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案_数学_高中教育...四川省成都七中高2014届... 暂无评价 8页 免费 四川省成都外国语学校20......

[套卷]四川省成都七中2014届高三上学期入学考试数学理试题

四川省成都七中 2014 届高三上学期入学考试数学理试题第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 2 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给...

四川成都七中高2014届高三(上)入学考试 数学文

四川成都七中高2014届高三(上)入学考试 数学文_数学_高中教育_教育专区。四川成都七中高 2014 届高三(上)入学考试 数学(文)试题第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) ...

四川省成都七中2014届高三下学期热身考试数学理科含答案

四川省成都七中 2014 届高三下学期热身考试数学(理)试题一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是...