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Schur不等式及其变式


54

数学通报

2009 年

第 48 卷

第 10 期

Schur 不等式及其变式
朱华伟
( 广州大学教育软件研究所 510006)

若 x , y , z 为非负实数, 则对任意 r > 0 都有 x ( x- y)(

x- z) + y ( y - z) ( y- x ) + z ( z - x) (z- y) 0. ( 1) 等号成立当且仅当 x = y = z 或者 x , y , z 中有两 个相等, 第三个为 0. 不等式( 1) 是 I. Schur 大约在 1934 年或更早 些时候得到的. 因为不等式关于三个变元是对称的 , 不失一 般性 , 我们可以假设 x 重新写成 (x- y) [ x (x - z )- y (y - z)] + z (x - z ) (y- z) 0. 从而不等式( 1) 成立 . 由( 1 ) 可以推出 Schur 不等式的几种变式 : 1) 当 r = 1 时 , x(x- y)(x- z )+ y ( y- z ) (y - x) + z ( z x)(z - y)
3 r r r r r r

近年的国内外数 学奥林匹 克中频频 出现以 Schur 不等式及其变式为背景的问题 . 首先 , 让我们看看 2008 年女子数学奥林匹克 第 2 题的命题思路 : 由 Schur 不等式的变式 ( 5 ) 中 的对称式 x + y + z , x y + y z + z x 和 x y z , 联想到 一元三次多项式的根与系数的关系 ( 韦达定理 ) . 我们用四个字母 a, b, c, d 来表示一个一元三次多 项式的系数, 只要这个多项式有三个正根且 a > 0 即可用 a, b, c, d 表示 ( 5) 式: 4 b a c a b a
3

y

z . 则不等式 ( 1 ) 可以

+ 9 -

d . a

化简可得 b3 + 9a2 d - 4 abc 0 . 根据命题要求和整 套试题结构的安排 , 需要一个更为简单的问题 , 经 过推演发现较弱的不等式 2b + 9a d - 7abc 很容易证明. 多项式 ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 有三个正 根, 且 ( 0) < 0, 可保证 a > 0. 于是得到 2008 年女 子数学奥林匹克第 2 题 : 已知实系数多项式 ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 有三个正根, 且 ( 0) < 0. 求证: 2b 3 + 9 a2 d - 7abc 子. 试题 1 设 x , y , z 是非负实数, 求证: 3x y z + x + y + z (z x) 2 ). 证明 利 用 Schur 不 等式 变式 ( 3 ) 和 AM3 cyclic 2 2
3

3

2

0

0
3 3 2 2 2 2

( 2) x y+ xy + y z+ yz xyz ( 4)
3 2

2) x + y + z + 3 x y z + z x+ z x
2

( 3)

3) ( y + z - x ) ( x + z - y ) ( x + y - z ) 4) 4( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) + 9x y z
2 2

0.

( x+ y+ z )
2

请看更多以 Schur 不等式的变式为背景的例

( 5)

5) 2 ( x y + y z + z x ) - ( x + y + z ) 9x y z x + y+ z 9x y z 又 x + y+ z - (x + y + z )
2 2 2 2 2

3

3

3

2( ( x y ) 2 + ( y z ) 2 +

3

3

( 6) 3 3
2 3

x y z
2 2

2

2

2

2( x y + y z + z x )

GM 不等式, 我们有 3xy z +
cyc lic

3

x y z ,即
3

2 2

x

( x y + xy )
cyclic

2( xy ) 2 .

3

6) x + y + z + 3 zx)

x y z

2

2

2( x y + y z + ( 7)

试题 2 3, 求证:

设 a, b, c 是正实数, 且 ab + bc+ ca=

2009 年

第 48 卷

第 10 期 9.

数学通报 证法 2 式: a - ( abc) 1/ 3 + ( abc) b b - ( abc) 9. abc.
1/ 3 2/ 3

55 原 不等式等 价于下面 的齐次 不等

a 3 + b3 + c3 + 6abc 证明
3 3

由变式( 3) 可得
3

a + b + c + 6abc 我们知道 ( a + b + c) a+ b + c 试题 3
2

( a + b + c) ( ab+ bc + ca) 3 ( ab + bc+ ca) = 9

+

3, 所以 a 3 + b3 + c3 + 6abc

( abc) 2/ 3 c

c- ( abc)

1/ 3

+

( abc) 2/ 3 a

原不等式等号成立当且仅当 a= b = c= 1. ( IMO1984) 已知 x , y , z 是满足 x + 7 27 y + z = 1 的非负实数 , 试证: 0 x y + y z + z x - 2x y z 证明 先证前面一部分 x y + y z + z x - 2x y z = ( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) - 2x y z = x y+ xy + y z+ yz + z x + zx + xyz 接下来证后面一部分 x y + y z + z x - 2x y z 7 27 7 27 ( x
2 2 2 2 2 2

通过作代换 a= x 3 , b= y 3 , c= z 3 , 其中 x , y , z > 0 , 它变成 x 3 - x y z + ( x y 3z ) y z3 - xyz+ 化简可得 ( x 2 y - y 2 z + z 2 x ) ( y 2z - z 2 x + x 2 y ) ( z 2x 2

y 3 - x y z + ( x y 3z ) z x 3y 3z 3,

2

( xyz)2 x3

0

x y+ y z) 或 3x 3 y 3 z 3 +

2

2

x y z . x 6y 3
cyclic cyclic

3

3

3

x 4y 4 z +
cyclic

x 5y 2z 2



3( x 2 y ) ( y 2 z ) ( z 2 x ) +
c y clic

( x 2y ) 3

( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) - 2x y z + y+ z)3 7( x 3 + y 3 + z 3 ) + 15x y z y z+ yz + z x+ z x ) 由变式( 3) 可得 6( x + y + z + 3x y z ) + yz + z x + zx ) 结合 x 3 + y 3 + z 3
2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2

z ( x 2 y ) 2( y 2z )
cyclic

6( x 2 y + x y 2 + ( 8)

这是 Schur 不等式变式( 3) . 试题 5 求出所有的正整数 k, 使得对任意正 数 a, b, c 满足 abc = 1, 都有下面不等式成立 : 1 1 1 2+ 2 + 2 + 3k a b c 解 令 a = b= ( k + 1) ( a+ b+ c) . ( 11) N ),
*

6( x y + x y + y z

2

3 x y z , 由此可知 ( 8 ) 成立 . 且 1 . 3

1 2 , c= ( n+ 1) ( n n+ 1

( 8) 式的等号成立当且仅当 x = y = z = 试题 4 = 1, 求证 : a - 1+ 证法 1 a= 1 b b - 1+ 1 c c- 1+

由( 11) 可得 n + 2n+ 1+ k
2

( IMO 2000) 设正数 a, b, c 满足 abc 1 a

1 2 4( n + 1) n+ 1 . 2 n2 + 2n + - 1 n+ 1

1 ( 9) 而 故k 1 ( 10) 令 x=
n

n + 2 n+ 1+ lim +

2

令 x = a, y = 1, z = 1 = ac, 则 b

1 2 ( n+ 1) 4 n+ 1 = 1, n2 + 2n + 2 - 1 n+ 1

x y z , b = , c= . y z x ( 9) (x - y+ z)(y- z+ x )(z- x+ y) yzx

1, 因为 k 是正整数 , 所以只能有 k = 1, 这时 1 1 1 + + + 3 a2 b 2 c2

不等式( 11) 变成 2( a+ b+ c) ( 12)

由变式( 4) , 也就是( 10) , 可得 ( 9) 式成立 . ( 9 ) 式的等号成立当且仅当 a= b = c= 1.

1 1 1 , y = , z = , 这样 x , y , z 也满足 a b c

x y z = 1. 不等式 ( 12 ) 等价于

56 x 2+ y 2 + z 2+ 3
2

数学通报 2( x y + y z + z x )
2 2

2009 年 9 ( ab + bc+ ca) .

第 48 卷

第 10 期

( x + y + z ) ( x + y + z + 3) + zx )(x+ y+ z) x + y + z + 3( x + y + z ) y z+ yz + z x+ z x + 6 由变式( 3) 和 x + y + z ( 13) 成立 . 试题 6 题) 设 x , y , z 3
3 2 2 2 2 3 3 3 2

2( x y + y z x y+ xy + ( 13)
2

因此 ( 14 ) 式得证, 等号成立当且仅当 a = b = c. 试题 8 式成立 a + b + c + 2abc+ 1 证明
2 2 2

对任意正数 a, b, c, 求证: 下面不等 2( ab+ bc + ca) ( 15) 9abc a + b+ c
3 2 2 2

x y z = 3. , 可知

解答用到 Schur 不等式的变式( 6) ( 16)

2( ab + bc+ ca) - ( a2 + b 2 + c2 ) ( 2008 IMO 中国国 家集 训队测 试 R , 求证:
3 +

和 AM - GM 不等式 2abc + 1= abc+ abc+ 1
3

xy yz zx + + > 2 x y z 证明 记

x + y + z .

3

3

3

3

ab c

( 17)

由( 16) 和 ( 17 ) , 不等式 ( 15) 转化成 3 a2 b 2 c2 3
3

xy 2 yz 2 zx 2 = a , = b , = c , 则 y = ab, z x y
2 3 3 3 3 3 3 3

9 abc , a + b+ c abc, 再次利用到 AM - GM

z = bc, x = ca. 原不等式等价于 ( a + b + c ) > 8( a b + b c + c a ) . 左边 = 4
4 2 2

这等价于 a + b + c 不等式.
2 2 2 2 2 4

a + 3
2 2 4

6

( a b + a b ) + 6a b c
2 2 2

4

试题 9 ( 2001 IM O 罗马 尼亚 国家 队选 拔考 试) 设 a, b, c 为正实数, 证明: ( b + c- a) ( c+ a- b)
cyclic

( a b + a b ) + 3a b c ( Schur 不等式 ( a4 b 2 + a 2 b 4 ) 右边, 所以原

变式 ( 3) ) , 而 4 不等式成立.

abc ( a+ b+ ( 18 )

c) 证明
cyclic

下面这 个 问题 相 当 难. 这 道 题 是 由 H ojoo Lee 为 2004 年亚太地区数学奥林匹克而命制的. 试题 7 ( 2004 年亚太 地区数学 奥林匹克 ) 设 a, b, c 是正实数 , 求证: ( a2 + 2) ( b2 + 2) ( c2 + 2) 证明
2 2 2 2

通过简单的计算就可以验证

( b + c- a) ( c + a- b) = 2 ( ab + bc + ca) - ( a2 + b2 + c 2 ) . 由( 7) , 我们只要证明 3
3 3 2 2 2

9( ab+ bc+ ca) ( 14)

a b c
6

abc( a + b + c) a + b +

( 19 ) c

( 14 ) 式等价于
2 2 2 2 2 2 2 2

这由 AM - GM 不 等 式 可 得 : 3 abc = 3 abc.

a b c + 2( a b + b c + c a ) + 4( a + b + c ) + 8 9 ( ab + bc+ ca) . 我们知道
2 2

试题 10 ( 2004 罗马尼亚国家数学奥林匹克
2

a+ b+ c
2 2

2

2

ab + bc+ ca;
2 2

预选题) 设 a, b, c 为正实数 , 证明 : 2 ( ab + 4 4 ( ab abc( a + 证明 + b2 + c2 ) 现在 , 我们只需证明 3abc ( a + b + c) b+ c) + ( a + b + c)
2

( a b + 1) + ( b c + 1) + ( c a + 1) bc + ca) ; a b c + 1+ 1
2 2 2 3

3
2

ab c

2

2 2

9 abc a + b+ c

3abc( a+ b + c) 由试题 9 有 abc( a + b + c)

( 20) 2( ab + bc + ca) - ( a2 ( 21) ( 22)

+ bc+ ca) - ( a + b + c) a2 b2 c2 + 2 所以
2 2 2

( 变式 ( 6) )

2( ab + bc+ ca) - ( a 2 + b 2 + c2 ) .
2 2 2 2 2 2

( a b c + 2) + 2( a b + b c + c a + 3) + 4( a + b + c ) 2( ab + bc + ca) + 4 ( ab + bc + ca) + 3 ( a + b+ c)
2 2 2 2 2 2

ab + bc + ca 这显然成立.

下面 一 道 题 是 来 自 罗 马 尼 亚 杂 志 Gazet a Matematic , nr. 9/ 2005. 这道题由 Mircea Lascu 命制.

2009 年

第 48 卷

第 10 期

数学通报 式由下列两个不等式相加得到 ( 23) 和
sym

57

试题 11
3

设 x , y , z 为正实数, 证明:
3 3 3

x + y + z + 3 xy z 3xy z x+ y+ z 证明 z , 得到 x+ y+ z + 3 或3
3 3

2.

[ a- 2a [a
2/ 3

2/ 3 1/ 3

b + ( abc)
1/ 3 2/ 3

1/ 3

1/ 3

]
1/ 2

0 b ]
1/ 2

在 ( 7) 中, 我们用 x , y , z 换 x , y , 2(

sym

b + a

b - 2a

0.

第一个不等式是 Schur 不等式 , 只要令 x = a1/ 3 , y = b1/ 3 , z = c1/ 3 , 而第二个不等式由 AM - GM 不 等式可得 点评 们有 m 2 ( n- 1) M , 2 其中 m =
1 1

xy z

xy +

yz +

zx ) , ( 24)

一般地, 对非负实数 a1 , a2 , a1 + a 2 + n + an
n

, an , 我

xy z

2(
3

xy +

yz +

zx ) - ( x + y + z ).

我们有 2(

3 xy z x + y+ z xy + yz + zx ) - ( x + y + z ) , x+ y+ z
3

-

a 1 a2

an ( 27)

x3 + y3 + z3 3 xy z 和 + 3xy z x + y+ z 2( xy + yz + x+ y+ z zx ) - 1 .

x3 + y3 + z3 + 3xy z

min {( i< j n aj ) 2 } .

ai -

aj ) 2 } 和 M =

max {( i< j n

ai -

利用上面的证法 2 可以证明右边的不等式. 我们把证明的详细过程留给读者 . 当我们用( 因为 m 2 c= 2
1 i< j n

由 AM - GM 不等式 , 我们有 x 3 + y 3 + z 3 3xy z 和 x + y + z xy + yz + zx . 下面的问题是由 T itu Andreescu 为 2000 年 IM O 美国国家队选拔赛( U SA, T ST ) 而命制的 . 试题 12 等式成立 a + b+ c 3 c) , ( c 证法 1
2 2 3

ai -

aj ) 2 ( 1

i< j

n) 的平

均值 c 来代替 m 时, 左边的不等式就分解开来了. ( ai 2 aj )
2

证明: 对任意正实数 a, b, c, 下面不

aj ) 2

n 2

abc

m ax { ( a -

b) , ( b ( 25) =
1 i< j n

2

(

ai -

a) } 显然
2 2

2

n( n- 1 ) ( n- 1)(a1 + a2 + + an ) - 2
1 i< j n

( ai -

aj ) 2

( a - b) + ( b - c) + ( c 3 max { ( a b) , ( b - c) , ( c 3 2 2

a)

=
2

n(n- 1) n( n - 1)
n

不等式现在变成 a ia j
1 i< j n

a) }
2 2

我们证明一个更强的不等式 a + b+ c- 3 + ( ca)
2

a 1 a2

an

2

.

abc

( a - b) + ( b - c)

这由 AM - GM 不等式可得. 我们也可以把 m 替换成 m = 1min {( k n
2

( 26)
3

ak -

剩下我们只要证明 a+ b+ c + 3 证法 2 abc 2( ab + bc + ca ) , 这是 ( 24) 式 , 问题到此得到解决 . 我们同样证明更强的不等式 ( 26 ) ,
1/ 2

ak + 1 ) } , 在某种程度 上, 可以得 到 ( 27 ) 的一个 更强的下界, 证明 方法类似. 我 们留给读 者去练 习. 更一般的情况是 , 我们可以比较 n 个非负实 数的算术平均值和几何平均值的大小 , 也可以求 + ( abc)
1/ 3

这可以重新写成
sy m

[ a - 2( ab)

]

0,

k 元子集的算术平均值与几何平均值的差的最大 值. 这是一个富有挑战性的问题.

这里的求和来自 a, b, c 的所有 6 个排列 . 这个不等


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