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第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用

时间:2015-12-18


人教 A 版数学 2016 届复习资料



名:

沈金鹏 数学学院 数学与应用数学

院 、 系: 专 业:

2015 年 12 月 10 日

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2010~2014 年高考真题备选题库 第 3 章 三角函数、解三角形 第8节

正弦定理和余弦定理的应用

1.(2014· 四川,13,5 分)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的 两岸 B,C 的俯角分别为 67° ,30° ,此时气球的高是 46 m,则河流 的宽度 BC 约等于________m. (用四舍五入法将结果精确到个位. 参 考数据: sin 67° ≈0.92, cos 67° ≈0.39, sin 37° ≈0.60, cos 37° ≈0.80, 3≈1.73) 解析:过 A 作 BC 边上的高 AD,D 为垂足.在 Rt△ACD 中,AC=92,在△ABC 中, 由正弦定理,得 BC= 答案:60 2.(2013 江苏,16 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山 至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿 索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 12 3 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内? 解:本题考查正弦、余弦定理,二次函数的最值,两角和的正弦公式,不等式的解法, 意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力. 12 3 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,所以 13 5 5 4 sin A= ,sin C= . 13 5 5 3 12 4 63 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC AC 1 260 4 由正弦定理 = ,得 AB= ×sin C= × =1 040(m). sin C sin B sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m.
2

AC 92 92 ×sin∠BAC= ×sin 37° ≈ ×0.60=60(m). sin 67° 0.92 sin∠ABC

(2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50), 13 1 040 35 因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 130 37 BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理 = ,得 BC= ×sin A= × =500(m). sin A sin B sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - ≤3,解得 ≤v≤ ,所以 50 43 14 1 250 625 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在 , (单 43 14 位:m/min)范围内. 3.(2010 福建,12 分)(本小题满分 13 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘 正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海 里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解:法一:(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos?90° -30° ?= 900t2-600t+400= 1 900?t- ?2+300. 3

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,此时 v= =30 3. 3 1 3 即,小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇.则 v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ),故 v2=900- 400 . t2 600 400 ∵0<v≤30,∴900- + 2 ≤900, t t 2 3 2 即 2- ≤0,解得 t≥ . t t 3
3

600 + t

2 又 t= 时,v=30. 3 2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 法二: (1)若相遇时小艇的航行距离最小, 又轮船沿正东方向匀速行驶, 则小艇航行方向为正北方向. 设小艇与轮船在 C 处相遇.在 Rt△OAC 中,OC=20cos 30° =10 3, AC=20sin 30° =10. 又 AC=30t,OC=vt. 10 1 10 3 此时,轮船航行时间 t= = ,v= =30 3. 30 3 1 3 即,小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)猜想 v=30 时,小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇,此时 AD=DO=30t. 2 又∠OAD=60° ,所以 AD=DO=OA=20,解得 t= . 3 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度的大小为 30 海里/小时,这样,小艇能以最短时间与 轮船相遇. 证明如下: 如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10;故 OC>AC,且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,故小艇与轮船不可能在 A,C 之间(包含 C)的任意位 置相遇. 10 3 设∠COD=θ(0° <θ<90° ),则在 Rt△COD 中,CD=10 3tan θ,OD= . cos θ 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t= 10+10 3tanθ 10 3 和 t= , 30 vcosθ

10+10 3tanθ 10 3 所以, = . 30 vcosθ 15 3 由此可得,v= . sin?θ+30° ? 又 v≤30,故 sin(θ+30° )≥ 3 . 2

4

从而,30° ≤θ<90° . 由于 θ=30° 时,tanθ 取得最小值,且最小值为 3 . 3

10+10 3tanθ 2 于是,当 θ=30° 时,t= 取得最小值,且最小值为 . 30 3 法三:(1)同法一或法二. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇.依据题意得: v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ), (v2-900)t2+600t-400=0. (ⅰ)若 0<v<30,则由 Δ=360 000+1 600(v2-900)=1 600(v2-675)≥0, 得 v≥15 3. -300± 20 v2-675 从而,t= ,v∈[15 3,30). 2 v -900 -300-20 v2-675 ①当 t= 时, v2-900 -300-20x -20 4 令 x= v2-675,则 x∈[0,15),t= 2 = ≥ , x -225 x-15 3 当且仅当 x=0 即 v=15 3时等号成立. -300+20 v2-675 2 4 ②当 t= 时,同理可得 <t≤ . 3 3 v2-900 2 由①、②得,当 v∈[15 3,30)时,t> . 3 2 (ⅱ)若 v=30,则 t= ; 3 2 综合(ⅰ)、(ⅱ)可知,当 v=30 时,t 取最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

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