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江苏省赣榆县海头高级中学2014-2015学年高二下学期周末训练数学(理)试题(10)

时间:2016-07-23


江苏省海头高级中学 2014-2015 学年第二学期周末训练(8)

高二数学试题(选修物理)
(考试时间 120 分钟,总分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 命题“ ?x ? 0 ,有 x ? x ? 0 ”的否定是
2
<

br />▲

.

1 ? mi ? 1 ? ni ( m, n ? R, i 为虚数单位) ,则 mn 的值为 ▲ . i 1 3 1 1 5 1 1 1 7 3. 观察下列式子:1 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,根据以上式 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 ? 子可以猜想 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ▲ . 2 3 20152
2. 若 4. 若 z ? cos ? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则 ? ?

?

2

+2k? ? k ? Z ? 是 z 2 ? ?1 的



条件. (填“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分也不必要” )

A 2 ? ? 3 5.设 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数为 A ,二项式系数为 B ,则 ? B x? ?

6





6. 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 R 上 的 增 函 数 , a, b ? R , 命 题 “ 若 a ? b ? 0 , 则

f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ”与它的逆命题,否命题,逆否命题四个命题中真命题的个
数为 ▲ .
1 2 n 7. 已知 an ? 1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2n?1 n ? N ? , An ? Cn a1 ? Cn a2 ? ...? Cn an ,则 An 可化简为

?

?



. (用含有 n 的式子表示)

8. 已知条件 p : 的取值范是

5? x ? ? ? 0 和条件 q : m ? 1 ? x ? 2m ? 1, 若 p 是 q 的充分条件, 则实数 m x ?1
▲ .

9. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中 一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为

a2 . 类比到 4

空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两 个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ .

10. 若 ?x ? 2 ? m? ? a0 ? a1 ?x ?1? ? a2 ?x ?1? ? ...? a9 ?x ?1? ,且
9 2 9

?a0 ? a2 ? ...? a8 ?2 ? ?a1 ? a3 ? ...? a9 ?2 ? 39 ,则实数 m 的值为



.

11. 下列四个命题中,真命题的序号是 ① ?m ? R ,使 f ( x) ? (m ?1) ? x m
2
2



.

?4 m?3

是幂函数,且在 ?0,??? 上递减;

② ?a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?ln x? ? ln x ? a 有零点; ③ ?? , ? ? R ,使 cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ; ④ ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数. 12.已知 ?1 ? x ?
2n

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? a2 n x 2 n (其中 n 为给定的正整数) ,则对任意整数

k ( 0 ? k ? 2n ) ,

ak a 恒为定值是 ? kk k ?1 C2 n1? 2C 1 n?



.

13. 已知二次函数 f (u) ? u 2 ? 2( x ? y)u ? 1 的值域为 [0, ??) ,且当 x ? 0 , y ? 0 时,不等式

x2 y2 ? ? t 恒成立,则实数 t 的最大值为 x ? 2 y ?1





14. 设集合 I ? ? 1,2,3,4,5?,选择 I 的两个非空子集 A 和 B ,要使 B 中最小的数大于 A 中最 大的数,则不同的选择方法共有 ▲ 种.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)已知 z 是虚数, z ?

1 是实数. z

(1)求 z 为何值时, z ? 2 ? i 有最小值,并求出| z ? 2 ? i 的最小值; (2)设 u ?

1? z ,求证: u 为纯虚数. 1? z

16. (本小题满分 14 分)已知命题 p :函数 y ? log a (1 ? ax) 在定义域上单调递增;命题 q :
2 不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立,若 p ? q 是真命题,求实数 a 的

取值范围.

17. (本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 的两条对角线 AC , BD 相交于 O ,现用五种 颜色(其中一种为红色)对图中四个三角形 ?ABO, ?BCO, ?CDO, ?ADO 进行染色,且每 个三角形用一种颜色图染. (1)若必须使用红色,求四个三角形 ?ABO, ?BCO, ?CDO, ?ADO 中有且只有一组相邻 三 角形同色的染色方法的种数; (2)若不使用红色,求四个三角形 ?ABO, ?BCO, ?CDO, ?ADO 中所有相邻三角形都不 同色的染色方法的种数.

x 18. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,函数 S ( x) 、 C ( x) 分别是

R 上的奇函数和偶函数,并且 S ( x) ? C ( x) ? f ( x) .
(1)求 S ( x) 和 C ( x) 的解析式;

A

D

O

(2)计算 S (2), C (2), S (3), C (3), S (5) ,探索它们之间的关系并推广到一

B

般情形,并给予证明; (3)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式,结合(2)的结论,试写出与(2)结果不 相同的三个关于 S ( x) 、 C ( x) 的关系式,并给予证明.

C

19. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ?满足 an?1 ? an ? nan ?1 ,且 a1 ? 2 .
2

(1)计算 a2 , a3 , a4 的值,由此猜想数列 ?an ?的通项公式,并用数学归纳法证明;

(2)求证: 2n

n

? an ? 3nn .

n

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ?| x ? m | 和函数 g ( x) ? x | x ? m | ?m2 ? 7m . (1)若方程 f ( x) ?| m | 在 [?4, ??) 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围; (2)若对 ?x1 ? (??, 4] ,均 ?x2 ? [3, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范 围.

评分标准
1. ?x ? 0 ,有 x ? x ? 0
2

2. ? 1

3.

4029 2015

4.充分不必要

5.4

6.4

7.3 ? 2
n

n

8.?? ?,3? 9.

a3 8

10.1 或-3 11.① ② ③12.

2n ? 2 2n ? 1

13.

1 4

14. 49

15.解:设 z ? a ? bi(b ? 0) ,则

z?

1 1 a ? bi ? a ? ? b ? ? a ? bi ? ? a ? bi ? 2 ? ?a ? 2 ? b? 2 ?i 2 2 ? ? z a ? bi a ?b ? a ?b ? ? a ? b2 ?
b ? 0 ,又 b ? 0 可得 a 2 ? b 2 ? 1 a ? b2
2

所以,b ?

?????????????4 分

(1) z ? 2 ? i ? (a ? 2) ? (b ? 1)i ?

(a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2
???7 分

表示点 P?a, b ? 到点 A?? 2,1? 的距离,所以 z ? 2 ? i 最小值为 AO ?1 ? 5 ?1

1 ? 2 5 5 ?y ? ? x 解方程组 ? ? i 2 并结合图形得 z ? ? 5 5 2 2 ?x ? y ? 1 ?
(2) u ?

?????????????9 分

1 ? z ?1 ? a ? ? bi ??1 ? a ? ? bi?? ??1 ? a ? ? bi? ? bi ? ? ? 1 ? z ?1 ? a ? ? bi 1? a ?1 ? a ?2 ? b2

又 b ? 0 ,所以 u 为纯虚数 ??????????????????????????14 分

16.解: p : 0 ? a ? 1 ??????????????????????????5 分 当 a ? 2 时 ? 4 ? 0 恒成立; ?????????????????????????7 分 当 a ? 2 时, ? ? 4?a ? 2? ? 16?a ? 2? ? 0 ,解得: ? 2 ? a ? 2
2

? q : ?2 ? a ? 2 ?????????????????????????????11 分 所以, a ? ?? 2,2? ?????????????????????????????14


17.解:(1)同色的相邻三角形共有 4 种,不妨假设为 ?ABO, ?BCO , ①若 ?ABO, ?BCO 同时染红色,则另外两个三角形共有 A4 种染色方法,因此这种情况共
2

2 有 A4 ? 12 种染色方法;

②若 ?ABO, ?BCO 同时染的不是红色,则它们的染色有 4 种,另外两个三角形一个必须染 红色,所以这两个三角形共有 3 ? 2 ? 6 ,因此这种情况共有 4 ? 6 ? 24 种染色方法. 综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为 4 ? ?12 ? 24? ? 144 种;??7 分 (2)因为不用红色,则只有四种颜色.
4 若一共使用了四种颜色,则共有 A4 ? 24 种染色方法;若只使用了三种颜色,则必有一种颜 3 1 2 色使用了两次,且染在对顶的区域,所以一共有 C4 ? C3 ? 2 ? A2 ? 48 种染色方法;若只使 2 用了两种颜色, 则两种颜色都使用了两次, 且各自染在一组对顶区域, 所以共有 C4 ? 2 ? 12

种染色方法. 综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为 84 种. ?????? 14 分

18 .解: ( 1 )将 ?x 代入 S ( x) ? C ( x)=f ( x ) ①得 S (? x) ? C (? x)=f (? x)=a

?x

,因为函数

S ( x) 、 C ( x) 分 别 是 R 上 的 奇 函 数 和 偶函 数 , 所 以 ?S ( x) ? C ( x)=f (? x)=a ? x ② , ① + ② 得

a x ? a? x a x ? a? x C ( x) ? ,① ? ②得 S ( x) ? ; 2 2
分 (2) S (2) ?

???????????? 4

a 2 ? a ?2 a 2 ? a ?2 a3 ? a ?3 a 3 +a ?3 , C (2) ? , S (3) ? , C (3) ? , 2 2 2 2
????????????6 分

S (5) ?

a5 ? a ?5 ,所以 S (5)= S (2)C (3) ? C (2) S (3) , 2

推广得到 S ( x ? y )= S ( x)C ( y) ? C ( x) S ( y ) . 证明: S ( x)C ( y) ? C ( x) S ( y ) =

a x ? a ? x a y ? a? y a x ? a ? x a y ? a? y ? ? + 2 2 2 2
??????????????????????9 分

=

a x +y ? a ? x ? y =S ( x ? y) ; 2

(3) S ( x ? y)= S ( x)C ( y) ? C ( x) S ( y ) ; C ( x +y )= C ( x)C ( y)+S ( x)S ( y) ;

C ( x ? y)= C ( x)C ( y) ? S ( x) S ( y) . ???????????????????12 分
证明: C ( x)C ( y) ? S ( x) S ( y) =

a x ? a ? x a y ? a? y a x ? a ? x a y ? a? y ? ? + 2 2 2 2

=

a x +y ? a ? x ? y =C ( x ? y) 2

将 S ( x ? y )= S ( x)C ( y) ? C ( x) S ( y ) 和 C ( x +y )= C ( x)C ( y)+S ( x)S ( y) 中 y 用 ? y 代替得

S ( x ? y)= S ( x)C (? y)+C ( x)S (? y) ,C ( x ? y)= C ( x)C (? y)+S ( x)S (? y) 因为函数 S ( x) 、
C ( x) 分别是 R 上的奇函数和偶函数,
所以 S ( x ? y)= S ( x) C ( y)? C ( x) S ( y), C ( x ? y )= C ( x)C ( y) ? S ( x) S ( y) .???? 16 分

19.解: (1) a2 ? 3, a3 ? 4, a4 ? 5 ,由此猜想数列 an ? n ? 1 证明:当 k ? 1 时, a1 ? 1 ? 1 ? 2 ,符合; 假设当 n ? k 时, ak ? k ? 1 成立,

????????3 分

那么当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ? kak ?1 ? (k ?1)2 ? k (k ?1) ?1 ? k ? 2 ? (k ?1) ?1 所以,当 n ? k ? 1 时也成立. ??????????????????????7 分

2

? 1? (2)即证 2 ? ?1 ? ? ? 3 ? n?
n

n

??????????????????????9 分

1 ? 1? 1 1 2 1 n 1 1 ?1 ? ? ? 1 ? Cn ? ? Cn ? 2 ? ... ? Cn ? n ? 1 ? Cn ? ? 2 n n n n ? n?
又 Cn 分
k

?????????11 分

1 1 n n ?1 n ? 2 n ? k ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ...? ? ? ? k ?1 , ??????? 13 k n k! n n n n k! 1? 2 ? ...? 2 2
n

?1? 1? ? ? n n 1 1 1 2? ? 1? ?1? ? ? 3 ? 2? ? ? 3 故有 ?1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ? 1 ? 1 2 2 2 ? n? ?2? 1? 2

综上: 2 ? ?1 ? 分

? ?

1? n n n ? ? 3 ,即 2n ? an ? 3n .?????????????????16 n?

n

20.(1) x ? m ? m ? x ? m ? m 或 x ? m ? ?m ? x ? 2m 或 x ? 0 所以, 2m ? ?4 且 2 m ? 0 即 m ? ?2 且 m ? 0 (2) f ( x) min ? ? ???????????????5 分

?0, m ? 4 ?m ? 4, m ? 4

??????????????????????8 分

2 ? ?m ? 10m ? 9, m ? 3 g ( x) min ? ? 2 ? ?m ? 7 m, m ? 3

??????????????????????13 分

当 m ? 3 时, 0 ? m ? 10m ? 9 ,解得 1 ? m ? 3
2

当 3 ? m ? 4 时, 0 ? m ? 7m ,解得 3 ? m ? 4
2

当 m ? 4 时, m ? 4 ? m ? 7m ,解得 4 ? m ? 4 ? 2 3
2

综上,m ? 1,4 ? 2 3

?

?

??????????????????????16 分

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