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圆锥曲线与方程

时间:2013-12-30


1、圆锥曲线的定义、标准方程、几何图形

主讲: 江苏省镇江第一中学

王荣芳

2、圆锥曲线的简单性质及应用

(一)
圆锥曲线定义:

椭圆
圆 锥 曲 线

定义

双曲线 抛物线

标准方程

几何性质

(二)
平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数 椭圆的定义:

. F

M

.

1

F2

.

(大于F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。 可用表达式
| MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1F2 |)

表示。

平面内到两个定点F1、F2距离差的绝对值等于 双曲线的定义: .M 常数(小于F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 . . F1 F
2

可用表达式 || MF | ? | MF ||? 2a, (0 ? 2a ?| F F |) 表示。
1 2 1 2

平面内到一个定点F和一条定直线 l(F不在l上) 抛物线的定义:
l d

. F

.M

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

可用表达式 MF=d 表示,其中d为F到l的距离.

(三)
圆锥曲线的统一定义:

平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l ?F不在l上?的距离的比 等于常数 e的点的轨迹

l d

l

.

.M

d

F

.M . F

l

d .M

. F

0 ? e ?1 椭圆

e ?1 抛物线

e ?1 双曲线

定点是焦点,定直线叫做准线,常数e是离心率 .

(四) 椭圆的标准方程:
x y ? 2 ?1 2 a b
2 2

? a ? b ? 0?

y x ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 2 a b

2

2

双曲线的标准方程:
x y ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b
2 2

抛物线的标准方程:

y ? ?2 px
2

? p ? 0?

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

(五)
l
y

椭 圆 抛 物 线

d

. F

.M
o y x

范围 对称性 顶点
x

l

d

o

. F

.M

离心率
y

l

双 曲 线

d.

M

o

.

焦点、准线
x

F

渐近线(双曲线)

(六)
方程 范围
对称性 顶点
关于x、 y轴、 原点 对称 关于x、 y轴、 原点 对称 关于 x轴 对称

离心率 准线

焦点

椭 圆

x2 y2 ? ?1 a2 b2

x ?a

(a ? b ? 0) y ? b

?? a,0? ?0,?b?

a2 x?? 0<e<1 c
e>1
a2 x?? c

?? c,0?

双 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b 曲 x ?a 线 (a ? 0, b ? 0)
抛 物 线
y 2 ? 2 px

?? a,0?

?? c,0?
?p ? ? ,0 ? ?2 ?

(p ? 0)

x?0

(0,0) e=1

x??

p 2

其中椭圆中 c 2 ? a 2 ? b 2 ,双曲线中 c 2 ? a 2 ? b 2 ,双曲线的渐近 线方程为 y ? ?

b x. a

基础训练
(1)一个焦点为

?0, 7 ?

x2 y 2 ? ?1 16 , 短轴长为 6 的椭圆的标准方程为 9_______

x2 y2 (2)已知方程 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的 3? k 2? k
取值范围为
?3 ? k ? 2 __

(3)若双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线 的离心率为
3 e? 2 ___

基础训练
(4)经过点 A(-3,1) ,且对称轴是坐标轴的等轴双曲线 2 2 x y ? 方程是 8 8 ? 1

1 2 (5)抛物线 y ? ? x 的焦点坐标是 (0,-1) 4
(6)已知 M 为抛物线 焦点,定点 P

y 2 ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的
4

?3 , 1?,则 MP ? MF 的最小值为

基础训练
x y (7)已知椭圆 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3, 25 9 35 则点 P 到椭圆右准线的距离为 4 x2 y2 (8)以椭圆 ? ? 1 的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线 25 16 100
的抛物线与椭圆的右准线交于 A、B 两点,则 AB=
2 2

3

小结:要熟练掌握圆锥曲线的基础知识,以解决基 本问题。

典型例题
【例1】已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,又过点 P(3,2),长轴长是短轴长的3倍,求该椭圆的方程。 解:由题知,椭圆的方程为标准方程。 (1)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为
?2a ? 3 ? 2b 则:? 9 4 ,解此方程组,得 ? ?a2 ? b2 ? 1 ? 2 2

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? a2 b2

?a 2 ? 45 ? ? 2 ?b ? 5 ?

x2 y2 ? ?1 (2)当焦点在y轴上时,同理得,椭圆方程为 85 85 小结:本题用待定系数法求椭圆的标准方程, 9 但在无法判断焦点所在的坐标轴时,要分情况讨论

x y ? 此时所求的椭圆方程为 45 5 ? 1

典型例题
【例2】 已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点

为F(0,10),两条渐近线的方程为 ? ? x y
双曲线的标准方程.

4 3

,求该

解: 依题意,双曲线焦点在y轴上,半焦距c=10,
y2 x2 可设标准方程为 2 ? ? 1, 又渐近线方程 2 a 100 ? a 4 2 a2 4 ,1 600 ? 16 a 2 ? 9a 2 , a 2 ? 64. y ? ? x ,故 ( ) ? 为 3 100 ? a 2 3

小结:本题是利用渐近线方程、a,b,c三者之间的 关系,求解双曲线方程

y2 x2 故双曲线方程为 64 ? 36 ? 1.

典型例题
【例3】已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上, 设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),

且AF+BF=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6、0),
求此抛物线方程。
解:设抛物线方程为 y 2 ? 2 px? p ? 0?, 其准线为 x ? ?
p 。 2 p p 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,? AF ? BF ? 8, ? x1 ? ? x2 ? ? 8, 2 2

即 x1 ? x2 ? 8 ? p ?Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上, ∴QA=QB,及 ?x1 ? 6? ? y1 ? ?x 2 ? 6? ? y 2 ,
2 2 2 2

典型例题
【例3】已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上, 设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),

且AF+BF=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6、0),
及 本 法 有小 中 题 求 四结 2 2 解: 又 y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 垂 是 解 种: 线 综 是 形抛 的 合 最 式物 ∴ ? x1 ? x 2 ?? x1 ? x 2 ? 12 ? 2 p ? ? 0 。 有 抛 基 ,线 ∵AB 与 x 轴不垂直, 关 物 本 用的 知 线 的 待标 ∴ x1 ? x 2 ,故 x1 ? x 2 ? 12 ? 2 p ? 8 ? p ? 12 ? 2 p ? 0 , 识 的 方 定准 解 定 法 系方 2 即 p=4,从而抛物线方程为 y ? 8 x 题 义 。 数程 。 求此抛物线方程。

典型例题
【例4】 (2009·江苏)如图所示,在平面直角坐标系xOy中, x2 y2 A1,A2,B1,B2为椭圆 ? (a>b>0)的四个顶点,F为 ?1 2 2 a b 其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交 点M恰为线段OT的中点,求该椭圆的离心率. 解 由题意结合图形得,
x y l A1B2 : ? ? 1, 即-bx+ay=ab, ① ?a b x y 即bx-cy=bc, ② lB1F : ? ? 1, c ?b b( a ? c ) 2ac 由①②求得: ? y , 代入 ② 得 : x ? , a?c a?c 2ac b(a ? c) ac b(a ? c) ?T ( , ), 则OT中点M ( , ). a?c a?c a ? c 2(a ? c)

典型例题
【例4】 (2009·江苏)如图所示,在平面直角坐标系xOy中, x2 y2 A1,A2,B1,B2为椭圆 ? (a>b>0)的四个顶点,F为 ?1 2 2 a b 其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交 点M恰为线段OT的中点,求该椭圆的离心率. 解: 又 ? M 在椭圆上
a 2c 2 b 2 (a ? c) 2 (续) ? ? 2 ? 1, 2 2 2 a (a ? c) 4b (a ? c )

即4c2+a2+2ac+c2=4a2-8ac+4c2, c2+10ac-3a2=0,∴e2+10e-3=0.

又∵0<e<1,∴e= 2 7 ? 5 . 小结:本题综合了直线和椭圆的定义、离心率等几何性质, 体现了方程的思想。

变式训练
F2,点P在右支上,|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率e的最大值.
8 ? ? PF1 ? PF2 ? 2a ? PF1 ? 3 a 解 方法一 ? ? ?? ? ? PF1 ? 4 PF2 ? PF ? 2 a ? ? 2 3 ? 在△PF1F2中,cos∠F1PF2= 17 ? 9 e 2 ,
8 8
y

x2 y2 已知双曲线 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、 2 a b

F1

.

o

.P .

F2x

要求e的最大值,只须求cos∠F1PF2的最小值,

当cos∠F1PF2=-1时e最大值为 5 . 3

变式训练
F2,点P在右支上,|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率e的最大值. 方法二 由以上可知
PF2
x2 y2 已知双曲线 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、 2 a b

8 2 PF1 ? a, PF2 ? a, 3 3

y

. c 5a 2 由第二定义 ?e? ?x? , 又x ? a, F1 2 a a 3c x? c 5a 2 c 5 即 ? a,? e ? ? . 3c a 3

o

.P .

F2x

小结:本题考查了双曲线的两种定义形式,熟练运用 定义解题是基本思路。

课堂小结 课堂小结
本节课主要复习圆锥曲线的定义、标准方程、 几何性质及应用,同时注重与其他知识的综合 运用,在解题时除了要熟练掌握圆锥曲线基本知

识外,需注重利用数形结合思想解决实际问题。


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