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第2讲 数学建模初等模型

时间:2011-05-05


第2讲 初等模型 讲 2.1、船艇回合问题 2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 经验模型 2.5、量纲分析 2.6、 几个实例

§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 护卫舰找到飞行员后, 员,护卫舰找到飞行员后,航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 问护卫舰应怎样航行,才能与航母汇合

。 向,问护卫舰应怎样航行,才能与航母汇合。

Y 航母 A(0,b) θ1 θ2 O B(0,-b) 护卫舰

P(x,y)

通常a>1 通常 记v2/ v1=a通常 则
2

| BP |2 = a2 | AP|2 即:
2 2 2 2

x + ( y + b) = a [x + ( y - b) ]
可化为: 可化为:
X

a2 +1 2ab 令: h = 2 b, r = 2 a ?1 a ?1

? ? a +1? ? 4a2b2 x2 + ? y ? ? 2 ?b? = 2 ? a ?1? (a ?1)2 ? ? ? ?
2

2

则上式可简记成 :

x + ( y - h) = r
2 2

汇合点 p必位于此圆上。 必位于此圆上。 必位于此圆上 即可求出P点的坐标和 即可求出 点的坐标和 θ2 的值。 的值。 (护卫舰的路线方程) y = (tanθ1 )x + b 护卫舰的路线方程) 本模型虽简单, 本模型虽简单,但分析 清晰且 极清晰 (航母的路线方程 ) 且易于实际应用

2

y = (tanθ2 )x ?b

§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方, 在寒冷的北方, 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的, 玻璃的,现在我们来建立一个简单 的数学模 假设: 不妨可以提出以下 假设 大的功效。 大的功效。 型,研究一下双层玻璃到底有多: 1、设室内热量的流失是热传导 、 比较两座其他条件完全相同的房屋, 比较两座其他条件完全相同的房屋,它们 的 引起的, 引起的,不存在户内外的空气对 差异仅仅在窗户不同。 差异仅仅在窗户不同。 流。
2、室内温 度T1与户外温 度T2均 、 为常数。 为常数。 3、玻璃是均匀的,热传导系数 、玻璃是均匀的, 为常数。 为常数。

室 外 T2 Tb

室 内 Ta T1

设玻璃的热传导系数 为k1,空气的 热传导系数 为k2,单位时间通过单 位面积由温度高的一侧流向温度低 的一侧的热量为Q 的一侧的热量为 由热传导公式 Q =k?T/d

d

l 解得: 解得:

d

Ta

(1+ k1l =

k2d )T +T2 1 2 + (k1l) /(k2d)

T ?Ta Ta ?Tb Tb ?T2 1 Q = k1 = k2 = k1 d l d

(1+ k1l k2d)T +T2 1 T? 1 2 + k1l k2d T ?T2 1 Q = k1 = k1 d d ( 2 + k1l k2d )

f(h)

1

室 外 T2

0.9 T1 0.8 0.7 0.6 0.5 d 0.4d 0.3 并令f(h)= 记h=l/d并令 0.2 并令 0.1
0

室 内

T ?T2 类似有 Q = k1 1 2d Q 2 = ' Q 2 + (k1l)/(k2d) Q 1 k1 一般 = 16 ~ 32 故 ' ≤ Q 1+8l / d k2
'

1 8h +1

此函数的图形为

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h 考虑到美观 美观和使用上 方便, 不必取得过大 例如, 不必取得过大, 考虑到美观和使用上 的方便,h不必取得过大,例如,可 取h=3,即l=3d,此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗 , , 时的 3% 。

§2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器, 能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度, 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度, 假定你能准确地测定时间, 假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算 山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。 山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。 表功能的计算器。

方法一
假定空气阻力不计, 假定空气阻力不计,可以直接利用自由落体运动的公式

1 2 h = gt 2
来计算。例如, 设t=4秒,g=9.81米/秒2,则可求得 来计算。例如, 秒 米 秒 则可求得h≈78.5 米。

我学过微积分,我可以做 我学过微积分, 得更好,呵呵。 得更好,呵呵。

除去地球吸引力外, 除去地球吸引力外,对石块下落影响最大的当 属空气阻 根据流体力学知识, 力。根据流体力学知识,此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度, 为常数, 落的速度,阻力系 数K为常数,因而,由牛顿第二定律可 为常数 因而, 得: dv

F =m

令k=K/m,解得 ,

v = ce

dt

= mg ? Kv
?kt

g + k

代入初始条件 v(0)=0,得c=-g/k,故有 , - ,

g g ?kt v= ? e k k g g ?kt 再积分一次, 再积分一次,得: h = t + 2 e +c k k

代入初始条 件h(0)=0,得到计算山崖高度的公式: ,得到计算山崖高度的公式:

g g ?kt g g 1 ?kt g h = t + 2 e ? 2 = (t + e ) ? 2 k k k k k k
若设k=0.05并仍设 t=4秒,则可求 得h≈73.6米。 并仍设 若设 秒 米 多测几次,取平均 多测几次, -kt用泰勒公式展开并 令k→值 ,即可 听到回声再按跑表, 听到回声再按跑表,计算得到的时间中包含了 反应时间 0+ 将e 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 秒 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ,假如仍 设t=4秒,扣除反 不妨设平均反应时间 秒 求得h≈69.9米。 应时间后应 为3.9秒,代入 式①,求得 秒 米 再一步深入考虑 进一步深入考虑



还应考虑回声传回来所需要的时间。为此, 还应考虑回声传回来所需要的时间。为此,令石块下落 回声传回来所需要的时间 的真正时间 为t1,声音传回来的时间记 为t2,还得解一个 方程组: 方程组: g 1 ?kt1 g ? h = ( t1 + e ) ? 2 这一方程组是 ? k k k 非线性的,求 非线性的 ? 解不太容易, 解不太容易, h = 340t2 ? 为了估算崖高 ?t + t = 3.9 竟要去解一个 1 2 ? 非线性主程组 相对于石块速度,声音速度要快得多, 相对于石块速度,声音速度要快得多,我们可 ? 似乎不合情理 用方法二先求一次 h,令t =h/340,校正 ,求石 , ,校正t, 代入式①再算一次, 块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次,得出 崖高的近似值。例如, 崖高的近似值。例如, 若h=69.9米,则 t2≈0.21 米 秒,故 t1≈3.69秒,求得 h≈62.3米。 秒 米
2

§2.4 经验模型
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时, 识来建模时,一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合, 进行曲线拟合,找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。 即函数关系。

最小二乘法 插值方法

最小二乘法
组数据( ),i=1,…, n。将数据 设经实际测量已得 到n组数据(xi , yi), 组数据 。 画在平面直角坐标系中, 画在平面直角坐标系中,见 图。如果建模者判断 这n个点很 个点很 象是分布在某条直线附近, 象是分布在某条直线附近,令 该直线方程 为y=ax+b,进而 , 利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的 和 。 关系式, 一般不成立, 关系式,故 yi-(axi+b)=0一般不成立,但我们希望 一般不成立 如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数, 如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数, n 则可作 变量替换使之转化为线性关系或用类似方 2法拟合。 变量替换使之转化为线性关系或用类似方 拟合。 [ yi ? (axi + b)] 最小 y=ax+b y i=1 此式对 和b的偏导数均 为0, 此式对a和 的偏导数均 ,



解相应方程组,求得: 解相应方程组,求得: 其中 (x和 )y i ,yi 分别为x 分别为 i和yi 的平均值

x

O

x

n v v ? ∑i=1(xi ? x)( yi ? y) ?a = ? n v2 ? ∑i=1(xi ? x) ? v v ?b = y ? ax ?

例1(举重成绩的比较) (举重成绩的比较)
九个重量级,有两种主要的比赛方法: 九个重量级,有两种主要的比赛方法:抓举 52 109 141 和挺举。 表中给出了到1977年底为止九个 和挺举。 表中给出了到 年底为止九个 56 120.5 151 重量级的世界纪录。 重量级的世界纪录。 130 60 161.5
显然,运动员体重越大,他能举起的重量也越大, 67.5 141.5 180 显然,运动员体重越大,他能举起的重量也越大,但举重 成绩和运动员体重到底是怎样关系的, 成绩和运动员体重到底是怎样关系的,不同量级运动员的 75 157.5 195 成绩又如何比较优劣呢?运动成绩是包括生理条件、 成绩又如何比较优劣呢?运动成绩是包括生理条件、心理 82.5 170 207.5 因素等等众多相关因素共同作用的结果, 因素等等众多相关因素共同作用的结果,要建立精确的模 90 180 221 型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录, 型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录, 110 185 237.5 根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见, 根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见, 我们不妨取表中的数据为例。 我们不妨取表中的数据为例200 。 255 110以上 以上 成绩 重量级( 重量级(上限体 举重是一种一般人都能看懂的运动 是一种一般人都能看懂的运动, 举重是一种一般人都能看懂的运动,它共分 重) 抓举(公斤) 挺举(公斤) 抓举(公斤) 挺举(公斤)

模型1(线性模型) 模型 (线性模型)
将数据画在直角坐标系中可以发现, 将数据画在直角坐标系中可以发现,运动成绩与体 量近似满足线性关系,只有110公斤级有点例外 公斤级有点例外, 量近似满足线性关系,只有 公斤级有点例外,两 项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近 项成绩都显得较低。 系式L=kB+C,其中 为体重,L为举重成绩。 为体重, 为举重成绩 为举重成绩。 似关 系式 ,其中B为体重 公斤或52公斤处 你在作图 时L轴可以放 在50公斤或 公斤处,因为 轴可以放 公斤或 公斤处, 没有更轻级别的比赛, 没有更轻级别的比赛,具体计算留给读者自己去完 成。

模型2(幂函数模型) 模型 (幂函数模型)
线性模型并未得到广泛的接受,要改进结果, 线性模型并未得到广泛的接受,要改进结果,能够 想到的自然首先是幂函数模型,即令L=kBa,对此式 想到的自然首先是幂函数模型,即令 取对数, 取对数,得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数, 。将原始数据也取对数, 问题即转化了线性模型,可用最小二乘法求出参数。 问题即转化了线性模型,可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式:L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。 公式: 就是用这一方法求得的。 公式

模型3(经典模型) 模型 (经典模型)
经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的 公式,应当说,它并不属于经验公式。为建立数学模型, 公式,应当说,它并不属于经验公式。为建立数学模型,先 提出如下一些假设: 提出如下一些假设: (1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积 ,即L=k1A 举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积A, (2)A正比于身高 l的平方,即 A=k2l2 正比于身高 的平方 的平方, (3)体重正比于身高 l的三次方, 即B=k3l3 体重正比于身高 的三次方 的三次方, 根据上述假设, 根据上述假设,可得
2 3

K =k k k
2 3

2 ? 3 1 2 3

L = k1k2 ( B ) = KB k3

显然, 越大则成绩越好 越大则成绩越好, 显然,K越大则成绩越好,故可用 比赛成绩的优劣。 比赛成绩的优劣。

L′ = LB

?

2 3 来比较选手

模型4( 公式) 模型 (O’ Carroll公式) 公式
经验公式的主要依据是比例关系,其假设条件非常粗糙, 经验公式的主要依据是比例关系,其假设条件非常粗糙,可 信度不大,因而大多数人认为它不能令人信服。 信度不大,因而大多数人认为它不能令人信服。1967年,O’ 年 Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的 基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的 公式。 模型的假设条件是: 公式。O’ Carroll模型的假设条件是: 模型的假设条件是 (1) L=k1Aa, a<1 k越大成绩越好。因而建议 ?1 越大成绩越好。 越大成绩越好 (2) A=k2lb, b<2 根据的大小 L′ = L( ? 35)3 B (3) B-Bo =k3l3 较选手成绩的优劣。 来比 较选手成绩的优劣。 假设(1)、 是解剖学中的统计规律 是解剖学中的统计规律, 假设 、(2)是解剖学中的统计规律,在假设 (3)中O’ ) Carroll将体重划分成两部分:B=B0+B1,B0为非肌肉重量。 将体重划分成两部分: 为非肌肉重量。 将体重划分成两部分 根据三条假设可 得L=k(B-B0

)β,k和β为两个常数, 为两个常数, 和 为两个常数
1 3

此外,根据统计结果, 得出B 公斤, 此外,根据统计结果,他 得出 0≈35公斤, β ≈ 公斤 故有: 故有: = k( ? 35) L B

ab 2 β= < 3 3 1
3

模型5( 公式) 模型 (Vorobyev公式)
这是一个前苏联使用的公式。 这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不 光是重物,也提高了自己的重心,故其举起的总重量为L+B, 光是重物,也提高了自己的重心,故其举起的总重量为 , 可以看出,他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型4 可以看出,他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型 类似的方法, 类似的方法,得出了按

L+ B L′ = B[0.45 ( ? 60)/900] ?B
的大小比较成绩优劣的建议。 的大小比较成绩优劣的建议。

上述公式具有各不相同的基准,无法相互比较。 上述公式具有各不相同的基准,无法相互比较。为了使公式具 有可比性,需要对公式稍作处理。例如, 有可比性,需要对公式稍作处理。例如,我们可以要求各公式 均满足在 均满足在 B=75公斤时有 L’=L,则上述各公式化为: 公斤时有 ,则上述各公式化为: 公式: (1)Austin公式: ) 公式

公式: (2)经典公式: )经典公式

公式: (3)O’ Carroll公式: ) 公式

? 75? L′ = L? ? ? B? 2 ? 75? 3 L′ = L? ? ? B? 1 ? 40 ? 3 L′ = L? ? ? B ? 35?
L 29250( + B) L′ = ? 75 B(465 B) ?

3 4

公式: (4)Vorobyev公式: ) 公式

将公式( ) ( )用来比较1976年奥运会的抓举成绩,各 年奥运会的抓举成绩, 将公式(1)—(4)用来比较 年奥运会的抓举成绩 所示, 公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表 所示,比较结果 较为一致,例如,对前三名的取法是完全一致的, 较为一致,例如,对前三名的取法是完全一致的,其他排序 的差异也较为微小。 的差异也较为微小。 体重 (公斤 公斤) 公斤 52 56 60 67.5 75 82.5 90 110 抓举成绩 (公斤 公斤) 公斤 105 117.5 125 135 145 162.5 170 175 O’ Austin 经典公式 Vorobyev Carroll 138.2(7) 134.0(8) 139.7(8) 138.8(7) 146.3(4) 142.8(6) 145.7(4) 146.6(4) 147.8(3) 145.0(3) 146.2(3) 147.7(3) 146.1(5) 144.8(5) 144.7(6) 145.8(5) 145.0(6) 145.0(3) 145.0(5) 145.0(6) 151.3(1) 152.2(1) 153.5(1) 152.1(1) 148.3(2) 150.5(2) 152.9(2) 150.3(2) 131.8(8) 135.6(7) 141.9(7) 138.5(8)

例2 体重与身高的 关系
体重与身高之间的关系式 之间的关系式, 我们希望建立一个 体重与身高之间的关系式,不难看出两者 之间的关系不易通过机理的分析得出, 之间的关系不易通过机理的分析得出,不妨可以采取 统计 方法,用数据来拟合出与实际情况较为相符的经验公式。 为 方法,h(米) 0.75 0.86 0.96 1.08 1.12 身高 用数据来拟合出与实际情况较为相符的经验公式。 ( 我们先作一番抽样调查, 此,我们先作一番抽样调查,测量了十五个不同高度的人的 12 15 17 20 体重 (公斤) 体重,列成了 下表 10 下表,在抽样时,各高度的人都需经适当挑选, 体重,w(公斤) ,在抽样时,各高度的人都需经适当挑选, 既不要太胖也不要太瘦。 既不要太胖也不要太瘦。 1.26 1.35 1.51 1.55 1.60 身高 h(米) ( 平面上, 将表中的数画 到h-w平面上,你会发现这些数据分布很接近某 35 41 48 50 体重 w(公斤) 27 (公斤) 平面上 一指数曲线。为此, 均取对数, 一指数曲线。为此, 对h和w均取对数,令x=lnh,y=lnw,将 和 均取对数 , , 平面中去( ),这次你会发现这 (xi,yi(米) )再画到x-y平面中去 1.63 1.67 1.71 ), 1.78 1.85 身高 h( 再画到 平面中去(i=1,…,15),这次你会发现这 些点几乎就分布在一条直线附近, 些点几乎就分布在一条直线附近,令此直线的 方程为 54 59 , 66 75 体重 w(公斤) 51 ( y=ax+b,用最小二乘法求 得a≈2.3,b≈2.82,故可取 , 公斤) y=2.32x+2.84,即lnw=2.32lnh+2.84,故有 , ,故有w=17.1h2.32

插值方法
在使用 最小二乘法 时,我们并未要求得到的拟合曲线一定 总偏差最小。 要经过所有的样本点, 要经过所有的样本点,而只是要求 了总偏差最小。当实际 问题要求拟合曲线必须 经过样本点 时,我们可以应用数值 插值法。 逼近中的 插值法。 根据实际问题的不同要求,存在多种不同的插值方法, 根据实际问题的不同要求,存在多种不同的插值方法,有 只要求过样本点的 拉格朗日插值 法、牛顿插值法 等,有既 要求过插值点(即样本点) 要求过插值点(即样本点)又对插值点处的导数有所要求 样条( 的样条(Spline)插值,甚至还有对插值曲线的凹凸也有 )插值, 要求的B样条插值法 要求的 样条插值法 。本课不准备详细介绍这些细致的插 对插值法感兴趣的 同学可以查 值方法,只是提请读者注意,在建立经验模型时, 值方法,只是提请读者注意,在建立经验模型时,插值法 李岳生编著上 阅相关书籍, 阅相关书籍, 也是可以使用的数学工具之一。 例如由 李岳生编著上 也是可以使用的数学工具之一。 海科学技术出版社出版的《 海科学技术出版社出版的《样条与 插值》 年出版) 插值》(1983年出版)等。 年出版

§2.5 量纲分析法建模
物理量大都带有量纲,其中基本量纲通常是质量( 物理量大都带有量纲,其中基本量纲通常是质量(用M表 表 )、长度 长度( 表示)、时间( 表示), 示)、长度( 用L表示)、时间( 用T表示),有时还有温 表示)、时间 表示),有时还有温 表示)。 度(用Θ表示)。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来 表示)。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来 表示,如速度的量纲为LT 表示,如速度的量纲为 -1,加速度的量纲为 LT-2,力的量纲 为 MLT-2,功的量纲为 ML2T-2等。 当度量量纲的基本单位改变时, 量纲分析的原理 是:当度量量纲的基本单位改变时,公式 本身并不改变,例如,无论长度取什么单位, 本身并不改变,例如,无论长度取什么单位,矩形的面积 并不改变。 总等于长乘宽, 并不改变 此外, 总等于长乘宽,即公式 S=ab并不改变。此外,在公式中只 有量纲相同的量才能进行加减运算, 有量纲相同的量才能进行加减运算,例如面积与长度是不 允许作加减运算的, 允许作加减运算的,这些限止在一定程度上限定了公式的 可取范围,即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲, 可取范围,即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲, 量纲齐次” 具有这种性质的公式被称为 是“量纲齐次”的。

在万有引力公式中,引力常数G是有量纲的 是有量纲的, 例3 在万有引力公式中,引力常数 是有量纲的,根据量 纲齐次性, 的量纲为 的量纲为M 其实, 纲齐次性,G的量纲为 -1L3T-2,其实,在一量纲齐次的公 式中除以其任何一项,即可使其任何一项化为无量纲, 式中除以其任何一项,即可使其任何一项化为无量纲,因 此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变 量的函数。例如, 量的函数。例如,与万有引力公式 F = Gm 1m 2 r2 相关的物理量有: 相关的物理量有:G、m1、m2、r和F。 和 。

π的量纲为 Mb+c+e?a L3a+b+eT ?2(a+e) 是无量纲的量,故应有: 由于 π是无量纲的量,故应有:
?b + c + e ? a = 0 ? ?3a + d + e = 0 ?a + e = 0 ?

现考察这些量的无量纲乘积

π =G m m r F
a b 1 c d 2

e

此方程组中存在两个自由变量, 此方程组中存在两个自由变量,其解构成一个二维线性空 ),得到方程组解 间。取(a,b)=(1,0)和(a,b)=(0,1),得到方程组解 ) ( ) ) ( ), 1,0,2,-2,-1) 0,1,-1,0,0), ),所有由这些 空间的一组基 (1,0,2,-2,-1)和(0,1,-1,0,0),所有由这些 量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。 量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两 个基向量对应的无量纲乘积分别为: 个基向量对应的无量纲乘积分别为: 2 万有引 而万有引力定律则可写 成f(π1,π2)=0,其对应的显函数为: ,其对应的显函数为: 力定律 π1=g(π2),即 2

?b + c + e ? a = 0 ? ?3a + d + e = 0 ?a + e = 0 ?

Gm2 m1 π1 = 2 ,π2 = r F m2

m2 m1 F = 2 h( ) r m2

定理2.1 (Backinghamπ定理)方程当且仅当可以表 定理) 定理 定理 才是量纲齐次的, 示为 f(π1,π2…)=0时才是量纲齐次的,其中 f是某 是某 一函数, 一函数,π1,π2…为问题所包含的变量与常数的无量 为问题所包含的变量与常数的无量 纲乘积。 纲乘积。 为方程中出现的变量与常数, 对这些变量与 证 设x1,…,xk为方程中出现的变量与常数 ,对这些变量与 设此变换的零空间为 m维的,k取此零空间的一组基 维的 a a a a1维的, g(x11 Lxk k ) = (a1 ,L,ak ) x1 L维欧氏空间的一组基 xk ,令 ,令 常数的任一乘积 e1,……,em,并将其扩充 为k维欧氏空间的一组基 函数g建立了 建立了x 函数 建立了 i,……e 令π =g-1(ei), i=1,…,k,显然 k维欧氏 的乘积所组成的空间 e1,……,em, em+1(i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与,π1,…, 显然, 显然 维欧氏 k i 空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有 个 现设涉及到的基本量纲有n个 空间之间的一个一一对应 π 是有量纲的( πm是无量纲的,而πm+1,…, 。是有量纲的(若k>m)。由 , 是无量纲的, )。由 )。 k 的乘幂,设此乘 它们 为y1,…,yn.用这些基本量纲来表达 该xi的乘幂 用这些基本量纲来表达 于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示,故方 于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示,设此乘 b b1 a a1 y1f(π ,…, π )=0时才是量纲齐次的bn ) Lynn令 d(x时才是量纲齐次的, Lxk k ) = (b1 ,L, 幂的量纲为 1 时才是量纲齐次的, 程当且仅当可写 成 1 m 定理证毕。 定理证毕。 维欧氏空间 到n维欧氏空间的一个变换,这 易见dg 维欧氏空间的一个变换, 易见 -1是k维欧氏空间 维欧氏空间的一个变换 里的g 的逆变换。 里的 -1为g的逆变换。 的逆变换

例4(理想单摆的摆动周期) (理想单摆的摆动周期)
考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻 单摆,(如图), ,(如图),其运动为某周 尼 单摆,(如图),其运动为某周 期 t 的 左右摆动, 左右摆动,现希望得到周期 t 与其他量之间 关系。 的 关系。
考察 π = m g t l θ , 的量纲 无量纲, 为MaLb+dTc-2b若 无量纲,则有
a b c d e

π

π

?a = 0 ? ?b + d = 0 ?c ? 2b = 0 ?

θ

l

mg

此方程组中不含 e,故(0, 0, 0, 0, 1)为一解,对应的 1=θ即 , )为一解,对应的π 即 为无量纲量。 为无量纲量。为求另一个无纲量可 令b=1,求得(0,1,2, ,求得( 2 -1,0),对应有 ),对应有 ), gt

π=

2 gt 故单摆公式可用 f(π ,π ) = 0 f(θ, )= 0 表示。 表示。 1 2 l 2 gt 从中解出显函数 则可得: = h(θ) 则可得: l l l 其中 k(θ) = h(θ) t = h(θ) = k(θ) g g

l

此即理想单摆的周期公式。 是无法求得的, 此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的,事实 是无法求得的 需要用椭圆积分才能表达它。 上,需要用椭圆积分才能表达它。

量纲分析法虽然简单,但使用时在技巧方面的要求较高, 量纲分析法虽然简单,但使用时在技巧方面的要求较高,稍 一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。 一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。 首先,它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解, 首先,它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解,能 正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲,容易看出, 正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲,容易看出, 其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的, 其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的,列多或 列少均不可能得出有用的结果。其次, 列少均不可能得出有用的结果。其次,在为寻找无量纲量而 求解齐次线性方程组时,基向量组有无穷多种取法, 求解齐次线性方程组时,基向量组有无穷多种取法,如何选 取也很重要,此时需依靠经验, 取也很重要,此时需依靠经验,并非任取一组基都能得出有 用的结果。此外, 用的结果。此外,建模者在使用量纲分析法时对结果也不应 抱有不切实际的过高要求, 抱有不切实际的过高要求,量纲分析法的基础是公式的量纲 齐次性,仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果,例如, 齐次性,仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果,例如, 公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量, 公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量,对它们之间的 关系,量纲分析法根本无法加以研究。 关系,量纲分析法根本无法加以研究。

§2.6 几个实例
在解决实际问题时,注意观察和善于想象是十分重要的, 在解决实际问题时,注意观察和善于想象是十分重要的, 观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性, 观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性,有时还能顺 理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明, 理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明, 猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测, 猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测,很难做 出具有创新性的结果。开普勒的三大定律(尤其是后两条) 出具有创新性的结果。开普勒的三大定律(尤其是后两条) 并非一眼就能看出的,它们隐含在行星运动的轨迹之中, 并非一眼就能看出的,它们隐含在行星运动的轨迹之中, 隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。 隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例 子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后, 子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后,人们常 常会先去猜测某些结果,然后试图去证明它。 常会先去猜测某些结果,然后试图去证明它。猜测一经证 明就成了定理,而定理一旦插上想象的翅膀, 明就成了定理,而定理一旦插上想象的翅膀,又常常会被 推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的, 推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的, 结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入 的了解。 的了解。

例5(最短路径问题) (最短路径问题)
将湖想象成凸出地面的木桩, 间拉一根软线, 将湖想象成凸出地面的木桩, 在AB间拉一根软线,当 间拉一根软线 线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象, 线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象 。A、 的圆形湖, 设有一个半径为 r 的圆形湖,圆心为 O,猜测 可以如下得到最短路径: 作圆的切线切圆于E, 可以如下得到最短路径: 过A作圆的切线切圆于 ,过 作圆的切线切圆于 B 位于湖的两侧,于F。最短路径为由线 段AE、弧EF 位于湖的两侧,AB连线过 ,见图。、 连线过O,见图。 连线过 B作圆的切线切圆 作圆的切线切圆 。 和线段FB连接而成的连续曲线 根据对称性, 连接而成的连续曲线( 和线段 连接而成的连续曲线(根据对称性,AE′,弧 , 现拟从A点步行到 点步行到B点 现拟从 点步行到 点,在不得进入湖中的限 连接而成的连续曲线也是)。 , 连接而成的连续曲线也是 制下,问怎样的路径最近。 制下E′F′,F′B连接而成的连续曲线也是)。 ,问怎样的路径最近。 E
O

F

A
E′

r

B
F′

以上只是一种猜测,现在来证明这一猜测是正确的。为此, 以上只是一种猜测,现在来证明这一猜测是正确的。为此, 先介绍一下凸集与凸集的性质。 先介绍一下凸集与凸集的性质。 定义2.1(凸集) 为凸集, 定义 (凸集)称集合 R为凸集,若x1、x2∈R及λ∈[0, 为凸集 及 1],总有 1+(1+λ)x2∈R。即若 1、x2∈R,则x1、x2 总有λx 总有 。即若x , 的连线必整个地落 在R中。 中 定理2.2(分离定理) 外的一点K, 定理 (分离定理)对平面中的凸 集R与R外的一点 , 与 外的一点 分离R与 , 存在直线 l , l 分离 与K,即R与K分别位于 l 的两侧(注: 与 分别位于 的两侧( 外的一点K, 对一般的凸 集R与R外的一点 ,则存在超平面分 离R与 与 外的一点 与 K),见图。 ),见图 ),见图。 下面证明猜想 k l R

猜测证明如下: 猜测证明如下: 方法一)显然, (方法一)显然, 由AE、EF、FB及AE′,E′F′,F′B围成 、 、 及 , , 围成 是一凸集。 分离定理易证最短径不可能经过 的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过 是一凸集 利用分离定理易证最短径不可能经过R 外的点,若不然, 为最短路径, 过 外的一点 外的一点M, 外的点,若不然,设 Γ为最短路径,Γ过R外的一点 ,则 为最短路径 分离M与 ,由于路径Γ是连续曲线 是连续曲线, 必存在直 线l分离 与R,由于路径 是连续曲线,由A沿Γ 分离 沿 又必交l于 这样, 到M,必交 于M1,由M沿Γ到B又必交 于M2。这样,直线 ,必交l于 沿 到 又必交 的长度, 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度,与Γ是A到B的 是 到 的 最短路径矛盾,至此,我们已证明最短路径必在凸集R内 最短路径矛盾,至此,我们已证明最短路径必在凸集 内。 不妨设路径经湖的上方到达B点,则弧EF必在路径 上,又 不妨设路径经湖的上方到达 点 则弧 必在路径F上 必在路径 直线段AE是由 是由A至 的最短路径 直线FB是由 的最短路径, 是由F到 的最短 直线段 是由 至E的最短路径,直线 是由 到B的最短 路径,猜测得证。 路径,猜测得证。 M M2 l M
1

E

F
O

Γ

A
E′

r

B
F′

若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组 若可行区域的边界是光滑曲面。 它们或者是空间中的自然最短曲线, 成,它们或者是空间中的自然最短曲线,或者是可行区域 的边界弧。而且, 的边界弧。而且,组成最短路径的各段弧在连接点处必定 相切。 相切。 根据猜测不难看出, 根据猜测不难看出, 例5中的条件可以大大 还可用微积分方法求弧长,根据计算证 还可用微积分方法求弧长中的条件可以大大 , 微积分方法求弧长, 到此为止,我们的研讨还只局限于平面之中, 到此为止,我们的研讨还只局限于平面之中 放松, 过圆心, 放松,可以不必 设AB过圆心,甚至可不必设 过圆心 明满足限止条件的其他连续曲线必具有 其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间 湖是圆形的。 下图,我们可断定由A 湖是圆形的。例如对 下图,我们可断定由 更大的长度;此外,本猜测也可用平面 更大的长度;此外,本猜测也可用平面 中去。 证明了以上结果: 中去。1973年,J.W.Craggs证明了以上结果: 年 证明了以上结果 至B的最短路径必 为 的最短路径必 几何知识加以证明等l1与 之一, 知识加以证明等。 几何知识加以证明等。 l2之一,其证明也不 难类似给出。 难类似给出。 A l1

l2

D B

例6雨中行走问题
一个雨天,你有件急事需要从家中到学校去,学校 离家不远,仅一公里,况且事情紧急,你来不及花 时间去翻找雨具,决定碰一下运气,顶着雨去学校。 假设刚刚出发雨就大了,但你不打算再回去了,一 路上,你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是 你应该在雨中尽可能地快走,以减少雨淋的时间。 但如果考虑到降雨方向的变化,在全部距离上尽力 地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探 讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

1 建模准备 建模目标:在给定的降雨条件下,设计一个雨中行走的策略, 使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素: 淋雨量, 降雨的大小,降雨的方向(风),路程的远近,行 走的速度 2 模型假设及符号说明 1)把人体视为长方体,身高 h 米,宽度 w米,厚度 d米。 淋雨总量用 C 升来记。 2)降雨大小用降雨强度 I 厘米/时来描述,降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3)风速保持不变。4)你一定常的速度 v 米/秒跑完全程 D米。

3 模型建立与计算 1)不考虑雨的方向,此时,你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 S = 2 wh + 2dh + wd

(米2 )

D 雨中行走的时间 t = (秒) v
降雨强度 I (厘米/时) = 0.01I (米/时) = (0.01 / 3600) I ( m / s )

C = t × ( I / 3600) × 0.01 × S (米3 ) = 10( D / v) × I / 3600 × S(升)
模型中 D, I , S为参数,而v为变量。 结论, 结论,淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。

若取参数D = 1000米, I = 2厘米/小时, h = 1.50米, w = 0.50米, d = 0.20米,即S = 2.2米2。
你在雨中行走的最大速度v = 6米/每秒,则计算得 你在雨中行走了167秒,即2分47秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041(升)。 经仔细分析,可知你在雨中只跑了2分47 秒,但被淋了 2 升的雨水,大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明:用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因:不考虑降雨的方向的假设, 使问题过于简化。

2)考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为 r(米/秒) 雨滴的密度为 p, p ≤ 1 表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内,由雨滴所占的 雨滴下落 的反方向

w

d

v

θ

h

空间的比例数,也 人前进 的方向 称为降雨强度系数。 所以, I = rp 因为考虑了降雨的方向,淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。

?顶部的淋雨量

C1 = ( D / v) wd ( pr sin θ )
D / v表示在雨中行走的时间, wd表示顶部面积, r sin θ表示雨滴垂直下落的速 度。
?前表面淋雨量

C2 = ( D / v) wh[ p (r cosθ + v)]
?总淋雨量(基本模型)

pwD C = C1 + C2 = (dr sin θ + h(r cosθ + v)) v

取参数r = 4m / s, I = 3600 × 2cm / s, p = 1.39 × 10?6

6.95 × 10?4 C= (0.8 sin θ + 6 cosθ + 1.5v) v
可以看出:淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 θ ,如何选择 v 使得 C 最小。 情形1

θ = 90

o
?4

0 .8 C = 6.95 × 10 ( + 1.5) v
结果表明:淋雨量是速度的减函数,当速度尽可能大时 淋雨量是速度的减函数, 淋雨量是速度的减函数 淋雨量达到最小。 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑,则计算得

C = 11.3 × 10?4 m3 = 1.13升
情形2

θ = 60o
?4

C = 6.95 × 10 [1.5 + (0.4 3 + 3) / v]
结果表明:淋雨量是速度的减函数,当速度尽可能大时 淋雨量是速度的减函数, 淋雨量是速度的减函数 淋雨量达到最小。 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑,则计算得

C = 14.7 × 10?4 m3 = 1.47升 o o 情形3 90 < θ < 180
此时,雨滴将从后面向你身上落下。

C = 6.95 × 10 [(0.8 sin θ + 6 cosθ ) / v + 1.5]
?4

令θ = α + 90 ,则0 < α < 90 。
o o

C = 6.95 × 10 [(0.8 sin(90 + α ) + 6 cos(90 + α )) / v + 1.5] C = 6.95 × 10?4 [(0.8 cosα ? 6 sin α ) / v + 1.5]
?4 o o

当α 0o → 90o时,C可能取负值,这是不可 能的。
出现这个矛盾的原因:我们给出的基本模型是针对雨从 我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 你的前面落到身上情形 因此,对于这种情况要另行讨论。 ?当行走速度慢于雨滴的水平运动速度,即 v ≤ r sin α 这时,雨滴将淋在背上,而淋在背上的雨水量是

pwDh(r sin α ? v) / v

淋雨总量为

C = pwD[dr cosα + h(r sin α ? v)] / v

D 当v = r sin α时,C取到最小值。 C = wdpr cosα r sin α
再次代如数据,得

C = 6.95 × 10?4 (0.8 cosα ) /(4 sin α )
结果表明:当行走速度等于雨滴下落的水平速度时,淋 当行走速度等于雨滴下落的水平速度时, 当行走速度等于雨滴下落的水平速度时 雨量最小,仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 雨量最小,仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以120o 的角度落下,即雨滴以 α = 30o 的角 从背后落下,你应该以 v = 4 sin 30o = 2m / s的速度行走, 此时,淋雨总量为

C = 6.95 × 10?4 (0.8 3 / 2) / 2m3 = 0.24升
这意味着你刚好跟着雨滴前进,前后都没淋雨。

?当行走速度快于雨滴的水平运动速度,即 v > r sin α 你不断地追赶雨滴,雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是

pwDh(v ? r sin α ) / v
淋雨总量为 C = pwD[dr cosα + h(v ? r sin α )] / v

C = pwDr[(d cosα ? r sin α ) / v + h / r ]

当d cosα ? r sin α > 0, v尽可能大,C才可能小。 当d cosα ? r sin α < 0, v尽可能小,C才可能小。

而v > r sin α,所以v → r sin α, C 才可能小。 取v = 6m / s,α = 30 时,
o

C = 6.95 × 10? 4 (0.4 3 + 6) / 6m3 = 0.77升。

4 结论 若雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简单, 应以最大的速度向前跑; 若雨是从你的背后落下,你应控制你在雨中的行走速度, 让它刚好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 ?关于模型的检验,请大家观察、体会并验证。 ?雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性,模型的阶段适应性。

例7 席位分配问题
某校有200名学生,甲系100名,乙系60名, 丙系40名,若学生代表会议设20个席位,问三系各 有多少个席位? 1 问题的提出 按惯例分配席位方案,即按人数比例分配原则 m 表示某单位的席位数 p p m = q× 表示某单位的人数
N

N q

表示总人数 表示总席位数

20个席位的分配结果 20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 分配方案 (50/100)?20=10 (30/100)?20=6 (20/100)?20=4 席位数 10 6 4

现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 63/200=31.5% 分配方案 31.5%?20=6.3 席位数 10 6 4

103/200=51.5% 51.5 %?20 =10.3 34/200=17.0% 17.0%?20=3.4

现象1 丙系虽少了6 但席位仍为4 。(不公平 不公平!) 现象1 丙系虽少了6人,但席位仍为4个。(不公平!)

为了在表决提案时可能出现10:10的平局,再设一个席位。 21个席位的分配结果 21个席位的分配结果 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 63/200=31.5% 34/200=17.0% 分配方案 31.5%?21=6.615 17.0%?21=3.570 席位数 11 7 3

103/200=51.5% 51.5 %?21 =10.815

现象2 总席位增加一席,丙系反而减少一席。(不公平!) 。(不公平 现象2 总席位增加一席,丙系反而减少一席。(不公平!) 惯例分配方法:按比例分配完取整数的名额后, 惯例分配方法 按比例分配完取整数的名额后,剩下的名额 按比例分配完取整数的名额后 按惯例分给小数部分较大者。 按惯例分给小数部分较大者。

存在不公平现象,能否给出更公平的分配席位的方案? 存在不公平现象,能否给出更公平的分配席位的方案?

2 建模分析 目标:建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数 每席位代表的人数来衡量。 每席位代表的人数 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 席位数 10 6 4 每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10

系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度 甲 乙 丙 103 63 34 10 6 4 103/10=10.3 63/6=10.5 34/4=8.5 中 差 好

系别 人数 席位数 每席位代表的人数 甲 乙 丙 103 63 34 11 7 3 103/11=9.36 63/7=9 34/3=11.33

公平程度 中 好 差 当

一般地, 单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A B

p1
p2

n1

p1

n1 n2

p1 p2 = n1 n2
席位分配公平

n2

p2

但通常不一定相等,席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。

1)

p1 p2 ? 称为“绝对不公平”标 准。 n1 n2

此值越小分配越趋于公平,但这并不是一个好的衡量标准。

单位 A B C D

人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准 120 10 12 12-10=2 100 10 10 102 100 102-100 =2 1020 10 1000 10

C,D的不公平程度大为改善! C,D

2) 相对不公平

p n

表示每个席位代表的人数,总人数一定时,此值 越大,代表的人数就越多,分配的席位就越少。 则A吃亏,或对A 是不公平的。

p1 p2 > n1 n2

定义“相对不公平”

p1 p2 若 > , 则称 n1 n2 p1 n1 ? p2 n2 p1n2 rA (n1 , n2 ) = = ?1 p2 n2 p2 n1

对A 的相对不公 平值;

同理,可定义对B 的相对不公平值为:

p1 p2 若 < , 则称 n1 n2 p2 n2 ? p1 n1 p2 n1 rB (n1 , n2 ) = = ?1 p1 n1 p1n2

对B 的相对不公 平值;

建立了衡量分配不公平程度的数量指标 3 建模

r A , rB

制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。 若A、B两方已占有席位数为 n 1 , n 2 , 用相对不公平值 讨论当席位增加1 个时,应该给A 还是B 方。

p1 p2 不失一般性, 若 > , 有下面三种情形。 n1 n2

情形1 情形1 情形2 情形2

p1 p2 > , n1 + 1 n2 p1 p2 < , n1 + 1 n2

说明即使给A 单位增加1席,仍对A 不公平,所增这一席必须给A单位。 说明当对A 不公平时,给A 单 位增加1席,对B 又不公平。

计算对B 的相对不公平值

p2 n2 ? p1 (n1 + 1) p2 (n1 + 1) rB (n1 + 1, n2 ) = = ?1 p1 ( n1 + 1) p1n2 p1 p2 > , 说明当对A 不公平时,给B 单 情形3 情形3 n1 n2 + 1
位增加1席,对A 不公平。 计算对A 的相对不公平值

p1 n1 ? p2 (n2 + 1) p1 ( n2 + 1) rA (n1 , n2 + 1) = = ?1 p2 ( n2 + 1) p2 n1

若rB (n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1),
则这一席位给A 单位,否则给B 单位。

p2 (n1 + 1) rB (n1 + 1, n2 ) = ?1 p1n2

p1 ( n2 + 1) rA (n1 , n2 + 1) = ?1 p2 n1

p2 (n1 + 1) p1 (n2 + 1) < p1n2 p2 n1

?

p2 2 n2 (n2 + 1)

<

p 12 n1 (n1 + 1)

(*)

结论:当 结论 当(*)成立时,增加的一个席位应分配给A 单位, 成立时,增加的一个席位应分配给A 单位, 反之, 单位。 反之,应分配给 B 单位。

若A、B两方已占有席位数为 记

n1 , n 2 ,

pi2 Qi = i = 1,2 ni ( ni + 1)

则增加的一个席位应分配给Q 较大的一方。 则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法。 Q值方法 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 A i 方人数为 p i ,已占有 n i个席位,i

= 1, 2 , L , m

开始,即每方 至少应得到以1 席,(如果有一方1 席也分不到,则把 它排除在外。)

pi2 Qi = i = 1,2,L , m ni ( ni + 1) 则1 席应分给Q值最大的一方。从 ni = 1

当总席位增加1 席时,计算

5 举例 甲、乙、丙三系各有人数103,63,34,有21个 席位,如何分配? pi2 Qi = i = 1,2,3 值方法: 按Q值方法: 值方法 n ( n + 1)

n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1

i

i

Q1 = Q2 = Q3 =

1032 1(1 + 1) 632 1(1 + 1) 34
2

= 5304.5, = 1984.5, = 578

Q1 = Q2 = Q3 =

1032 2(2 + 1) 632 1(1 + 1) 34
2

= 1768.2 = 1984.5, = 578

1(1 + 1)

1(1 + 1)

Q1 = Q2 = Q3 =

103 2 2 ( 2 + 1) 63 2 2 ( 2 + 1) 34 2 1(1 + 1)
4 5 9

= 1 768 .2 = 661 .5

Q1 = Q2 = Q3 =

103 2 3( 3 + 1) 63 2 2 ( 2 + 1) 34 2 1(1 + 1)
13

= 888 .4 = 661 .5

= 5 78
6 8 15 7 12 21 10 14

= 5 78
19 20

甲 乙 丙

1 1 1

11 18

16 17

甲:11,乙:6,丙:4

练习 学校共1000学生,235人住在A楼,333人住 在B楼,432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会,试用惯例分配方法, d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数,并比较结果。

d’Hondt方法 有k个单位,每单位的人数为 pi ,总席位数为n。 做法: 用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数,从 所得的数中由大到小取前 n 个,(这n 个数来 自各个单位人数用自然数相除的结果),这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。

下接第三章


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