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甘肃省白银十中2014-2015学年高二上学期期中数学模拟试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年甘肃省白银十中高二(上)期中数学模拟试卷(文科)

一.选择题(共 12 道小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( A.A?B B.B?A C.A=B D.A∩B=?
2

)

2.设 a>b,则“a>b”是“a|

a|>b|b|”成立的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

)条件.

3.若点(a,4)在函数 y=2 的图象上,则 tan A.0 B. C.1 D.

x

的值为(

)

4.若 a>b>1,P= A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q

,则(

)

5.已知数列 A.19 B.20 C.21 D.22

,则

是它的第(

)项.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c,sinA、sinB、sinC 成等比数列, 且 c=2a,则 cosB 的值为( A. B. C. D. )

7.把函数 y=sin(2x﹣ A.y=sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位,所得图象的函数解析式是( ) D.y=sin(2x+ )

)

) B.y=sin(2x﹣

) C.y=sin(2x﹣

8.在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是(

)

A. C.

=(0,0) , =(3,5) ,

=(1,2) B. =(6,10)

=(﹣1,2) , D.

=(5,﹣2) =(﹣2,3)

=(2,﹣3) ,

9.执行如图所以的程序框图,如果输入 a=5,那么输出 n=(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

10.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α ∥β 的 一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l 1∥α ) C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2

B.m∥l1 且 n∥l2

11.若直线 y=x+m 与圆 x +y +4x+2=0 有两个不同的公共点,则实数 m 的取值范围是( A. (2﹣ ,2 ) B. (﹣4,0) C. (﹣2﹣ ,﹣2+ ) D. (0,4)

2

2

)

12.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被 3 整除的概率为( A. B. ) C. D.

二、填空题(本题共 4 道小题,每题 5 分,共 20 分)

13.点 P( x,y )的坐标满足关系式

且 x,y 均为整数,则 z=x+y 的最小值为

__________,此时 P 点坐标是__________.

14.已知平面区域 U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x﹣2y≥0}, 若向区域 U 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 __________.

15.平面向量 , 中,若 =(4,﹣3) ,| |=1,且 ? =5,则向量 =__________

16. 已知 f (x) =lg (﹣x2+6x﹣5) 在区间 (m, m+1) 上是增函数, 则 m 的取值范围是__________.

三、解答题(共 6 道小题,共 70 分,必须写出必要的计算步骤和文字说明) 17.已知函数 (1)判 f(x)的奇偶性并予以证明. (2)求使 的 x 的取值集合.

18.已知某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表: 商店名称 销售额(x)/ 千万元 利润额(y)/ 千万元 (Ⅰ)画出散点图; (Ⅱ)根据如下的参考公式与参考数据,求利润额 y 与销售额 x 之间的线性回归方程; (Ⅲ)若该公司还有一个零售店某月销售额为 10 千万元,试估计它的利润额是多少? 2 3 3 4 5 A 3 B 5 C 6 D 7 E 9

(参考公式: =

, = ﹣

其中:



19.已知点 M(3,1) ,直线 ax﹣y+4=0 及圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax﹣y+4=0 与圆相切,求 a 的值.

20.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=BB1=1,AB= (Ⅰ)求证:平面 AB1C⊥平面 B1CB; (Ⅱ)求三棱锥 A1﹣AB1C 的体积.



21.已知函数 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)当 时,求函数 f(x)的值域.

的最小正周期为

22.已知数列{an}满足:Sn=1﹣an(n∈N*) ,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)试求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足: (n∈N*) ,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.

2014-2015 学年甘肃省白银十中高二(上)期中数学模拟试卷(文科)

一.选择题(共 12 道小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( A.A?B B.B?A C.A=B D.A∩B=? 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合. 【分析】先求出集合 A,然后根据集合之间的关系可判断 【解答】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2}, ∵B={x|﹣1<x<1}, 在集合 B 中的元素都属于集合 A,但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中,例如 x= ∴B?A. 故选 B. 【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断,属于基础试题.
2

)

2.设 a>b,则“a>b”是“a|a|>b|b|”成立的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】分类讨论;综合法;简易逻辑.

)条件.

【分析】通过讨论 a,b 的符合,去掉绝对值号,判断即可. 【解答】解:当 a<0 时:b<0, a|a|=﹣a ,b|b|=﹣b , ∵a>b, ∴a2<b2, ∴﹣a2>﹣b2, 故 a|a|>b|b|,
2 2

当 a>0,b<0 时恒成立, 当 a>0,b>0 时: a|a|=a2,b|b|=b2, ∵a>b,∴a2>b2, 综上:a>b 时,则“a>b”是“a|a|>b|b|”成立的充要条件, 故选:C. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查分类讨论思想,是一道基础题.

3.若点(a,4)在函数 y=2x 的图象上,则 tan A.0 B. C.1 D.

的值为(

)

【考点】幂函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意得 2 =4,解得 a=2,由此能求出 【解答】解:由题意得 2 =4,解得 a=2, ∴ 故选:D. 【点评】本题考查角的正切值的求法,是基础题,解题时要注意幂函数的性质的合理运用. =tan = .
a a



4.若 a>b>1,P= A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q 【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】由平均不等式知 . 【解答】解:由平均不等式知 同理 故选 B. .

,则(

)

. .

【点评】本题考查均值不等式的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.

5.已知数列 A.19 B.20 C.21 D.22

,则

是它的第(

)项.

【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】计算题. 【分析】根据数列的前几项找规律,归纳出数列的通项公式,再令 an= 【解答】解:数列 , , , = , , ,?, ,解方程即可

,中的各项可变形为:

∴通项公式为 an= 令 故选 C = ,得,n=21

【点评】本题考察了观察法求数列的通项公式,以及利用通项公式计算数列的项的方法.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c,sinA、sinB、sinC 成等比数列, 且 c=2a,则 cosB 的值为( A. B. C. D. )

【考点】等比数列的性质. 【专题】方程思想;综合法;等差数列与等比数列;解三角形. 【分析】由题意和等比数列的性质和正弦定理可得 b2=ac,进而可得 b= 得 cosB= ,代入化简可得.
2

a,再由余弦定理可

【解答】解:∵sinA、sinB、sinC 成等比数列,∴sin B=sinAsinC, ∴由正弦定理可得 b2=ac,又∵c=2a,∴b2=2a2,∴b= ∴cosB= 故选:B. 【点评】本题考查等比数列的性质,涉及解三角形的知识,属中档题. = = a,

7.把函数 y=sin(2x﹣ A.y=sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位,所得图象的函数解析式是( ) D.y=sin(2x+ )

)

) B.y=sin(2x﹣

) C.y=sin(2x﹣

【考点】由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据三角函数图象平移的法则,写出函数图象向左平移 解析式即可. 【解答】解:函数 y=sin(2x﹣ )的图象向左平移 )﹣ ) , 个单位, 个单位,图象对应的函数

所得图象的函数解析式是 y=sin(2(x+ 即 y=sin(2x+ 故选:D. ﹣ )=sin(2x+ ) .

【点评】本题考查了三角函数图象平移的问题,解题时应明确图象平移的方法是什么(即左+ 右﹣) ,是基础题.

8.在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是( A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) B. =(6,10) =(﹣1,2) , D.

)

=(5,﹣2) =(﹣2,3)

=(2,﹣3) ,

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】根据向量的坐标运算, 【解答】解:根据 , ,计算判别即可.

选项 A: (3,2)=λ (0,0)+μ (1,2) ,则 3=μ ,2=2μ ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ (﹣1,2)+μ (5,﹣2) ,则 3=﹣λ +5μ ,2=2λ ﹣2μ ,解得,λ =2, μ =1,故选项 B 能. 选项 C: (3,2)=λ (3,5)+μ (6,10) ,则 3=3λ +6μ ,2=5λ +10μ ,无解,故选项 C 不 能.

选项 D: (3,2)=λ (2,﹣3)+μ (﹣2,3) ,则 3=2λ ﹣2μ ,2=﹣3λ +3μ ,无解,故选项 D 不能. 故选:B. 【点评】本题主要考查了向量的坐标运算,根据 于基础题. 列出方程解方程是关键,属

9.执行如图所以的程序框图,如果输入 a=5,那么输出 n=(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】程序框图. 【专题】图表型. 【分析】根据题中的程序框图,模拟运行,分别求出 p,q,a 的值,通过判断条件是否成立, 若成立,则继续执行循环体,若不成立,则结束运行,输出此时 n 的值. 【解答】解:a=5,进入循环后各参数对应值变化如下表:

p q n

15 5 2

20 25 3

结束

∴结束运行的时候 n=3. 故选:B. 【点评】本题考查了程序框图的应用,考查了条件结构和循环结构的知识点.解题的关键是 理解题设中语句的意义,从中得出算法,由算法求出输出的结果.属于基础题.

10.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α ∥β 的 一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l 1∥α ) C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2

B.m∥l1 且 n∥l2

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系,可将线线、线面、面面平行(垂直)的 性质互相转换,进行证明,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:∵m∥l1,且 n∥l2,又 l1 与 l2 是平面 β 内的两条相交直线, ∴α ∥β , 而当 α ∥β 时不一定推出 m∥l1 且 n∥l2,可能异面. 故 m∥l1 且 n∥l2 是 α ∥β 的一个充分而不必要的条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据空间直线和平面,平面和平面平行 的性质是解决本题的关键.

11.若直线 y=x+m 与圆 x +y +4x+2=0 有两个不同的公共点,则实数 m 的取值范围是( A. (2﹣ ,2 ) B. (﹣4,0) C. (﹣2﹣ ,﹣2+ ) D. (0,4)

2

2

)

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径,建立不等式,即可确定实数 m 的取值范围. 【解答】解:圆 x +y +4x+2=0 化为(x+2) +y =2,圆的圆心坐标(﹣2,0) ,半径为 ∵直线 y=x+m 与圆(x+2)2+y2=2 有两个不同的公共点, ∴d= ∴m ﹣4m<0 ∴0<m<4 故选 D. 【点评】本题考查直线和圆的方程的应用,解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径, 建立不等式,属于中档题.
2 2 2 2 2



12.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被 3 整除的概率为( A. B. ) C. D.

【考点】等可能事件;排列、组合及简单计数问题. 【专题】压轴题. 【分析】 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数共有 A103﹣A92=648 个,将 10 个数字分成三组,即被 3 除余 1 的有{1,4,7}、被 3 除余 2 的有{2,5,8},被 3 整除的有{3,6,9,0},分组以后,分类讨论得到不能被 3 整除的数字个数. 【解答】解:从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数 不能被 3 整除. 所有的三位数有 A103﹣A92=648 个, 将 10 个数字分成三组, 即被 3 除余 1 的有{1,4,7}、 被 3 除余 2 的有{2,5,8}, 被 3 整除的有{3,6,9,0}, 若要求所得的三位数被 3 整除,则可以分类讨论: ①三个数字均取第一组,或均取第二组,有 2A3 =12 个; ②若三个数字均取自第三组,则要考虑取出的数字中有无数字 0,共有 A4 ﹣A3 =18 个; ③若三组各取一个数字,第三组中不取 0,有 C3 ?C3 ?C3 ?A3 =162 个, ④若三组各取一个数字,第三组中取 0,有 C31?C31?2?A22=36 个,这样能被 3 整除的数共有 228 个,不能被 3 整除的数有 420 个, 所以概率为 故选 B. 【点评】本题分类有点麻烦,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可 以借助于组合数列举出所有事件,概率问题同其他的知识点结合在一起,实际上是以概率问 题为载体,主要考查的是被三整除的数字特点. = ,
1 1 1 3 3 2 3

二、填空题(本题共 4 道小题,每题 5 分,共 20 分)

13.点 P( x,y )的坐标满足关系式

且 x,y 均为整数,则 z=x+y 的最小值为 12,

此时 P 点坐标是(3,9)或(4,8) . 【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=x+y 的最 小值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=x+y 得 y=﹣x+z,平移直线 y=﹣x+z, 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时, 直线 y=﹣x+z 的截距最小,此时 z 最小. 由 ,

解得

,即 A(



) ,

∵x,y 均为整数,∴点 A 不满足条件. ∵ + =11 ,

∴此时 x+y=11 , 若 x+y=12,得 y=12﹣x,

代回不等式组得:

,即



即 3≤x≤ , ∵x 是整数, ∴x=3 或 x=4, 若 x=3,则 y=9, 若 x=4,则 y=8,

即 P(3,9)或 P(4,8) , 即 z=x+y 的最小值为 12, 故答案为:12, (3,9)或(4,8)

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.本题由于 x,y 是整数,需要进行调整最优解.

14.已知平面区域 U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x﹣2y≥0}, 若向区域 U 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 【考点】几何概型. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出 A={(x,y)|x≤4,y≥0,x ﹣2y≥0}对应面积的大小,然后将其代入几何概型的计算公式进行求解.在解题过程中,注 意三角形面积的应用. 【解答】解:依题意可在平面直角坐标系中作出集合 U 与 A 所表示的平面区域(如图) , 由图可知 SU=18,SA=4, 则点 P 落入区域 A 的概率为 .

故答案为: .

【点评】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出 A={(x,y)|x≤4,y≥0,x ﹣2y≥0}对应面积的大小,并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解.几何 概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何 度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.

15.平面向量 , 中,若 =(4,﹣3) ,| |=1,且 ? =5,则向量 =( ,﹣ ) 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 由 即可获得答案 【解答】解:∵| |=5; ∴cos< ∴ ∴ 故答案为( ) >= 同向; ; ,= (4, ﹣3) , | |=1, 得到 cos< >=1, 所以 同向, 所以 ,

【点评】本题考查向量数量积以及向量共线的灵活运用,对提高学生的思维能力有很好的训 练

16.已知 f(x)=lg(﹣x2+6x﹣5)在区间(m,m+1)上是增函数,则 m 的取值范围是. 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题. 【分析】先求函数的定义域,结合复合函数的单调性及对数函数的单调性可知 t=﹣x2+6x﹣5 在(m,m+1)上是增函数,而该函数的增区间是(1,4],从而可得(m,m+1)? (1,3] 【解答】解:函数的定义域(1,5) ∵f(x)=lg(﹣x2+6x﹣5)在(m,m+1)上是增函数

由复合函数的单调性可知 t=﹣x +6x﹣5 在(m,m+1)上单调递增且 t>0 函数的增区间(1,3],减区间. 【点评】本题考查了复合函数的单调性:对数函数与二次函数的单调性,关键是要注意对数 的真数大于零的要求,即函数定义域的求解,漏掉这一点,就会把函数的单调区间弄错.

2

三、解答题(共 6 道小题,共 70 分,必须写出必要的计算步骤和文字说明) 17.已知函数 (1)判 f(x)的奇偶性并予以证明. (2)求使 的 x 的取值集合.

【考点】函数单调性的判断与证明;其他不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用定义证明:先求出函数的定义域,再找 f(﹣x)与 f(x)的关系,根据奇 偶函数的定义可作出结论; (2)化简不等式 定义域. 【解答】解: (1)f(x)在其定义域内为奇函数,证明如下: 由 x≠0,得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 又 f(﹣x)= ﹣(﹣x)=﹣( ﹣x)=﹣f(x) , ,可得二次不等式,解出即可,注意函数 f(x)的

∴f(x)为奇函数; (2) 解得 x<﹣1 或 x>3, ∴ 的 x 的取值集合为:{x|x<﹣1 或 x>3}. 可化为 ﹣x> +x﹣x2+3 即 x2﹣2x﹣3>0,

【点评】本题考查函数奇偶性的判断与证明、不等式的求解,属基础题,函数奇偶性问题往 往考虑定义解决,要熟练掌握.

18.已知某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表: 商店名称 A B C D E

销售额(x)/ 千万元 利润额(y)/ 千万元

3

5

6

7

9

2

3

3

4

5

(Ⅰ)画出散点图; (Ⅱ)根据如下的参考公式与参考数据,求利润额 y 与销售额 x 之间的线性回归方程; (Ⅲ)若该公司还有一个零售店某月销售额为 10 千万元,试估计它的利润额是多少?

(参考公式: =

, = ﹣

其中:



【考点】线性回归方程;散点图. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)画出散点图如图;

(Ⅱ)先求出 x,y 的均值,再由公式 =

, = ﹣

计算出系数的值,即

可求出线性回归方程; (Ⅲ)将零售店某月销售额为 10 千万元代入线性回归方程,计算出 y 的值,即为此月份该零 售点的估计值. 【解答】解: (I)散点图

(II)由已知数据计算得:

则线性回归方程为 (III)将 x=10 代入线性回归方程中得到 (千万元)

【点评】本题考查线性回归方程,解题的关键是掌握住线性回归方程中系数的求法公式及线 性回归方程的形式,按公式中的计算方法求得相关的系数,得出线性回归方程,本题考查了 公式的应用能力及计算能力,求线性回归方程运算量较大,解题时要严谨,莫因为计算出错 导致解题失败.

19.已知点 M(3,1) ,直线 ax﹣y+4=0 及圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax﹣y+4=0 与圆相切,求 a 的值. 【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1)根据圆的切线到圆心的距离等于半径,可得当直线的斜率不存在时方程为 x=3, 符合题意.而直线的斜率存在时,利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算,得 到切线方程为 3x﹣4y﹣5=0,即可得到答案. (2)根据圆的切线到圆心的距离等于半径,利用点到直线的距离公式建立关于 a 的方程,解 之即可得到 a 的值. 【解答】解: (1)∵圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=4, ∴圆心 C(1,2) ,半径 r=2, ①当过 M 点的直线的斜率不存在时,方程为 x=3, 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3﹣1=2=r 知,此时直线与圆相切. ②当直线的斜率存在时,设方程为 y﹣1=k(x﹣3) ,即 kx﹣y+1﹣3k=0. 根据题意,可得 ﹣5=0 综上所述,过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x﹣4y﹣5=0. (2)由题意,直线 ax﹣y+4=0 到圆心的距离等于半径, =2,解得 k= ,此时切线方程为 y﹣1= (x﹣3) ,即 3x﹣4y

可得

,解之得 a=0 或 .

【点评】本题给出直线与圆相切,求切线的方程与参数 a 的值.着重考查了圆的方程、点到 直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.

20.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=BB1=1,AB= (Ⅰ)求证:平面 AB1C⊥平面 B1CB; (Ⅱ)求三棱锥 A1﹣AB1C 的体积.



【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能证明面 AB1C⊥面 B1CB. (Ⅱ)利用向量法求出点 A1 到平面 AB1C 的距离,由此能求出三棱锥 A1﹣AB1C 的体积. 【解答】 (Ⅰ)∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, , ∴CA⊥CB, ,

以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, C(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B1(0,1,1) , , 设平面 ACB1 的法向量 ,



,取 y=1,得



又平面 B1CB 的法向量 ∵ (Ⅱ) =0,∴平面 AB1C⊥平面 B1CB.





点 A1 到平面 AB1C 的距离 d=

=

= ,

=

=

, = .

∴三棱锥 A1﹣AB1C 的体积 V=

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的证明,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用.

21.已知函数 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)当 时,求函数 f(x)的值域.

的最小正周期为

【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的定义域和值域; y=Asin(ω x+φ )中参数的物理意义. 【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】 (Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式,再根据它的周期为 π 求得 ω 的 值. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 域和值域,求得函数 f(x)的值域. 【解答】解: (Ⅰ) ∵ .? ∵函数 f(x)的最小正周期为 π ,ω >0,∴ (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∴ 当 当 ,即 ,即 .? 时,f(x)取最大值 ;? 时,f(x)取最小值 .?(13 分) .? ,∵ ,解得 ω =1.? , = ,根据 及正弦函数的定义

∴函数 f(x)的值域为

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,复合三角函数的周期性的应用,正 弦函数的定义域和值域,属于中档题.

22.已知数列{an}满足:Sn=1﹣an(n∈N ) ,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)试求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足: (n∈N*) ,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.

*

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)先把 n=1 代入求出 a1,再利用 an+1=Sn+1﹣Sn 求解数列的通项公式即可. (Ⅱ)把(Ⅰ)的结论代入,发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列,故直接 利用数列求和的错位相减法求和即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵Sn=1﹣an① ∴Sn+1=1﹣an+1 ②

②﹣①得 an+1=﹣an+1+an? n=1 时,a1=1﹣a1? a1=

an;

(Ⅱ)因为 bn=

=n?2 .

n

所以 Tn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n ③ 故 2Tn=1×22+2×23+?+n×2n+1 ③﹣④﹣Tn=2+2 +2 +?+2 ﹣n?2 = 整理得 Tn=(n﹣1)2 +2. 【点评】 本题的第一问考查已知前 n 项和为 Sn 求数列{an}的通项公式, 第二问考查了数列求和 的错位相减法.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列.
n+1 2 3 n n+1




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