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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 3.3 导数的应用(二)


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :3.3
一、选择题 3 2 3 1.若函数 f(x)=x - x +1,则 f(x)( 2 1 A.最大值为 1,最小值为 2 B.最大值为 1,无最小值 1 C.最小值为 ,无最大值 2 D.既无最大值,又无最小值 解析:f′(x)=3x -3x,易知 f(x)在(-∞,0)上递增,在

(0,1)上递减,在(1,+∞) 上递增,且当 x→+∞时,f(x)→+∞,当 x→-∞时,f(x)→-∞,因此 f(x)无最大值与 最小值. 答案:D
2

导数的应用(二)

)

? π? x 2.函数 f(x)=e sinx 在区间?0, ?上的值域为( 2? ?
π A.[0,e ] 2 π C.[0,e ) 2 解析:f′(x)=e (sinx+cosx).
x

)

π B.(0,e ) 2 π D.(0,e ] 2

? π? ∵x∈?0, ?,∴f′(x)>0. 2? ? ? π? ∴f(x)在?0, ?上为增函数, 2? ? ?π ? π ∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f? ?=e . 2 ?2?
答案:A 3.若函数 f(x)= A. 3 3

x
2

x +a

(a>0)在[1,+∞)上的最大值为 B. 3 D. 3-1

3 ,则 a 的值为( 3

)

C. 3+1 解析:f′(x)=

x +a-2x a-x 2 2= 2 ? x +a? ? x +a?

2

2

2 2



1

当 x> a时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当- a<x< a时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 x= a时,令 f(x)=

a
2a



3 3 , a= <1,不合题意. 3 2

1 3 ∴f(x)max=f(1)= = ,a= 3-1. 1+a 3 答案:D

? 1? 4.已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax?a> ?,当 x∈(-2 ,0)时, ? 2?
f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于(
A. C. 1 4 1 2 ) B. 1 3

D.1

解析:由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= ,

x

a

1 1 当 0<x< 时,f′(x)>0,当 x> 时,f′(x)<0.

a

a

?1? ∴f(x)max=f? ?=-lna-1=-1. ?a?
∴a=1. 答案:D 5. (2013·荆州调研)设动直线 x=m 与函数 f(x)=x 、 g(x)=lnx 的图像分别交于点 M、
3

N,则|MN|的最小值为(
1 A. (1+ln3) 3 C.1+ln3

) 1 B. ln3 3 D.ln3-1

1 3 3 2 解析:由题意知|MN|=|x -lnx|,设 h(x)=x -lnx,h′(x)=3x - ,令 h′(x)=0,

x

得 x=

3 1 3 1 1? 1 1 1 1? , 易知当 x= 时, h(x)取得最小值, h(x)min= - ln = ?1-ln ?>0, 故|MN|min 3? 3 3 3 3 3 3?

1? 1 1? = ?1-ln ?= (1+ln3). 3? 3 3? 答案:A 1 x 6.(2012·课标全国)设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最 2
2

小值为(

) B. 2(1-ln2) D. 2(1+ln2)

A.1-ln2 C.1+ln2

1 x 1 x 解析:显然 y= e 和 y=ln(2x)的图像关于直线 y=x 对称,令 y′= e =1? x=ln2. 2 2 1 x 1-ln2 所以 y= e 的斜率为 1 的切线的切点是(ln 2,1),到直线 y=x 的距离 d= . 2 2 1-ln2 所以|PQ|min=2× = 2(1-ln2),所以选 B. 2 答案:B 二、填空题 7.函数 f(x)=-x +mx +1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值,则 m 的取值范围是 __________. 解析:f′(x)=-3x +2mx=x(-3x+2m). 2m 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x= . 3 2m ∵x∈(0,2),∴0< <2,∴0<m<3. 3 答案:(0,3) 8.用一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩 形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形. ( 如图所示 ) ,则围墙的最大面积是 __________.(围墙 厚度不计)
2 3 2

解析:设矩形的宽为 x,则矩形的长为 200-4x. 则面积 S=x(200-4x)=-4x +200x,
2

S′=-8x+200,令 S′=0,得 x=25,故当 x=25 时,S 取得最大值为 2 500(m2).
答案:2 500 m
2

9.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品 ,若该商品零售价为 p 元,销量 Q(单 位:件) 与零售价 p( 单位:元 )有如下关系: Q =8 300 - 170p- p ,则该商品零售价定为 __________元时利润最大,利润的最大值为__________. 解析:设商场销售该商品所获利润为 y 元,则
2

y=(p-20)Q=(p-20)(8 300-170p-p2)
3

=-p -150p +11 700p-166 000(p≥20), ∴y′=-3p -300p+11 700. 令 y′=0 得 p +100p-3 900=0, ∴p=30 或 p=-130(舍去),则 p,y,y′变化 关系如下表:
2 2

3

2

p y′ y

(20,30) + ??

30 0 极大值

(30,+∞) - ↘

∴当 p=30 时,y 取极大值为 23 000 元. 又 y=-p +150p +11 700p-166 000 在[20,+∞)上 只有一个极值,故也是最值. ∴该商品零售价定为每件 30 元,所获利润最大为 23 000 元. 答案:30 23 000 三、解答题 10.(2012·北京)已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x +bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a =4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大 值. 解析:(1)f′(x)=2ax,g′(x) =3x +b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=
2 2 2 3 3 2

g(1),且 f′(1)=g′(1).即 a+1=1+b,且 2a=3+b,
解得 a=3,b=3. 1 2 1 2 3 2 (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 b= a 时,h(x)= x +ax + a x+1, 4 4

h′(x)=3x2+2ax+ a2.
令 h′(x)=0,得 x1=- ,x2=- . 2 6

1 4

a

a

a>0 时,h(x)与 h′(x)的情况如下: x h′(x) h(x)

?-∞,-a? ? 2? ? ?
+ ?

- 0

a
2

?-a,-a? ? 2 6? ? ?
- ?↘

- 0

a
6

?-a,+∞? ? 6 ? ? ?
+ ?

所以函数 h(x)的单调递增区间为?-∞,- ?和?- ,+∞?; 2? ? 6 ? ? 单调递减区间为?- ,- ?. 6? ? 2
4

?

a? ? a

?

? a

a?

当- ≥-1,即 0<a≤2 时,函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增, 2

a

h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-1)=a- a2.
当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 函数 h(x)在区间?-∞,- ?内单调递增,在区间?- ,-1?上单调递减,h(x)在区间 2? ? ? 2 ? (-∞,-1]上的最大值为 h?- ?=1. ? 2? 当- <-1 时, 即 a>6 时, 函数 h(x)在区间?-∞,- ?内单调递增, 在区间?- ,- ? 2? 6? 6 ? ? 2 内单调递减,在区间?- ,-1?上单调递增, ? 6 ? 1 2 1 ? a? 2 又因 h?- ?-h(-1)=1-a+ a = (a-2) >0. 4 4 ? 2? 所以 h(x)在区 间(-∞,-1]上的最大值为 h?- ?=1. ? 2? 1 3 1 2 11.设 f(x)=- x + x +2ax. 3 2

1 4

a

a

?

a?

? a

?

? a?

a

?

a?

? a

a?

? a

?

? a?

?2 ? (1)若 f(x)在? ,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ?3 ?
16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

? 1?2 1 2 解析:由 f′(x)=-x +x+2a=-?x- ? + +2a, ? 2? 4 ?2 ? ?2? 2 当 x∈? ,+∞?时,f′(x)的最大值为 f′? ?= +2a; ?3 ? ?3? 9
2 1 令 +2a>0,得 a>- . 9 9 1 ?2 ? 所以,当 a>- 时,f(x)在? ,+∞?上存在单调递增区间. 9 ?3 ? 1- 1+8a 1+ 1+8a (2)令 f′(x)=0,得两根 x1= ,x2= . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时, 有 x1<1<x2<4, 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 又 f(4)-f(1) 27 =- +6a<0,即 f(4)<f(1). 2

5

40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- . 3 3 10 得 a=1,x2=2,从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱 80π 形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l ≥2r.假设该容器 3 的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每 平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器 的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解析:(1)设容器的容积为 V, 4 3 80π 2 由题意知 V=π r ·l+ π r ,又 V= , 3 3 4 3 80 4 4?20 ? 故 l= = 2- r= ? 2 -r?. 2 πr 3r 3 3? r ?

V- π r3

由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4?20 ? 2 2 所以建造费用 y=2π rl×3+4π r c=2π r× ? 2 -r?×3+4π r c. 3? r ? 160π 2 因此 y=4π (c-2)r + ,0<r≤2.

r

160π 8π ? (2)由(1)得 y′=8π (c-2)r- 2 =

r

c-2? ? 3 20 ? ?r -c-2?,0<r≤2. r2 ? ?

由于 c>3,所以 c-2>0, 当r- 3 令
3

3 20 20 =0 时,r= . c-2 c-2 20 =m,则 m>0,

c-2

8π ? 所以 y′=

c-2? 2 2 (r-m)(r +rm+m ). r2

6

9 (1)当 0<m<2,即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0;当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 (2)当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2

7


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