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第3讲 导数的应用(二)


第 3 讲 导数的应用(二)

一、选择题 1.(2013·北京东城模拟)函数 f(x)的定义域为开区间(a,

b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(
A.1 个 B.2 个 C.3 个
3

). D.4 个
2


2. (2013·苏州一中月考)已知函数 f(x)=x +ax +(a+6)x +1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 ( A.(-1,2) C.(-3,6) ). B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

3.(2013·南京模拟)设 f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导 函数, 如图所示的是 y=x·f′(x)的图象的一部分, 则 f(x) 的极大值与极小值分别是 A.f(1)与 f(-1) C.f(-2)与 f(2) ( ).

B.f(-1)与 f(1) D.f(2)与 f(-2) ( ).

1 x ? π? 4.函数 f(x)= e (sin x+cos x)在区间?0, ?上的值域为 2? 2 ?

?1 1 π ? A.? , e ? ?2 2 2 ?
π C.[1,e ] 2

?1 1 π ? B.? , e ? ?2 2 2 ?
π D.(1,e ) 2 )

5.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a) C.f(x)>f(a) D.f(x)<f(a)

6.(2012·东莞调研)函数 f(x)=x -2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)=

2

f?x? 在区间(1,+∞)上一定( x
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

)

1

二、填空题 7. 已知函数 y=f(x)=x +3ax +3bx+c 在 x=2 处有极值, 其图象在 x=1 处的切线平行于 直线 6x+2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________.
?-x +6x+e -5e-2,x≤e, ? 8 .已知函数 f(x) = ? ? ?x-2ln x,x>e
2 2 2 3 2

( 其中 e 为自然对数的底数,且

e≈2.718).若 f(6-a )>f(a),则实数 a 的取值范围是________. 9. 已知函数 f(x)=mx +nx 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行, 若 f(x) 在区间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是________. 1-x 10.(2013·合川调研)已知函数 f(x)= +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,
3 2

ax

则正实数 a 的取值范围为________.

三、解答题 11. (12 分)设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0), 且方程 f′(x)-9x=0 的两根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 12.(本小题满分 12 分) (2011.山东) 某 企 业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

a

3

2

80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建 3

造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

2


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