nbhkdz.com冰点文库

2.2.3 直线与椭圆的位置关系

时间:2017-08-07


2.2.3直线与椭圆 的位置关系

回忆:直线与圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)

联立直线与圆的方程
消元得到二元一次方程组

通法

(1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共

点; (3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点.

直线与椭圆的位置关系

相切 (一个交点)
相交 (二个交点) 相离 (没有交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 2 由方程组 ? x y ? 2 ? 2 ?1 b ?a

代数方 法
? mx ? nx ? p ? 0(m ? 0)
2

△=n ? 4mp
2

△? 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△=0 △? 0

知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离

2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程

消元得到二元一次方程组
(1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点;

(2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点;
(3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点.

例 1.当 m 为何值时,直线 y ? x ? m 与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 相交?相切?相离?

16

9

?y ? x? m ? 2 2 解:由 ? x 2 y 2 得 25 x ? 32 m x ? 16 m ? 144 ? 0 , ? ?1 ? 9 ?16

∴ ? ? (3 2 m ) ? 4 ? 2 5 ? (1 6 m ? 1 4 4 )
2 2

? 4 ? 4 ? 9 ? 25 ? m
2

2

?

? 9 ? 4 (25 ? m )
3 2

当 ? ? 0 ,即 ? 5 ? m ? 5 时,直线和椭圆相交; 当 ? ? 0 ,即 m ? ? 5 时,直线和椭圆相切; 当 ? ? 0 ,即 m ? 5 或 m ? ? 5 时,直线和椭圆相离.

例2、直线y=kx+1与椭圆

x 5

2

?

y

2

?1

m

恒有公共点,

求m的取值范围。
? y ? kx ? 1 ? 2 解法一:由 ? x 2 可得 (5 k ? m ) x 2 ? 1 0 k x ? 5 ? 5 m ? 0 , y ? ?1 ? m ? 5

∴ ? ? m ? 5 k 2 ? 1 ? 0 ,即 m ? 5 k 2 ? 1 ? 1 ∴ m ? 1 且 m ? 5
解法二:直线恒过一定点(0,1)当 m<5 时,椭圆焦点在 x 轴上,短 半轴长 b ?

m ,要使直线与椭圆恒有交点,则

m ? 1 即1 ? m ? 5 ;
5 可保证直线与

当 m>5 时,椭圆焦点在 y 轴上,长半轴长 a ? 椭圆恒有交点,即 m>5 综述: m ? 1 且 m ? 5

解法三:直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点,即要保 证定点(0,1)在椭圆内部
0
2

?

1

2

? 1 ,即 m ? 1

∴m ? 1且m ? 5

5

m

例 3:已知椭圆

x

2

?

y 9

2

? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆

25

上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:设 P ( x 0 , y 0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.
d ? 4 x0 ? 5 y0 ? 40 4 ?5
2 2

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41



x0 25

2

?

y0 9

2

?1

尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

l

m
m

例 3:已知椭圆

x

2

?

y 9

2

? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆

25
解 : 设 直 线 m 平 行 于 l,

上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
y

则 l可 写 成 :x ? 5 y ? k ? 0 4
?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 由 方 程 组 ? x2 y 消 去 y, 得 2 5 x ? 8 kx ? k - 2 2 5 ? 0 ? ?1 ? 9 ? 25
o

x

2 2 由 ? ? 0, 得 64 k - 4 ? 25 k - 225)? 0 解 得 k 1 = 25 , k 2 =- 25 (

由 图 可 知 k ? 25.

? 直 线 m 为 : x ? 5 y ? 25 ? 0 4

直 线 m 与 椭 圆 的 交 点 到 直 线 l的 距 离 最 近 。 且d ? 40 ? 25 4 ?5
2 2

?

15 41

41

思考:最大的距离 是多少?

例 3、求直线 y ? 2 x ? 4 被椭圆

4x 9

2

?

y

2

? 1 所截得的弦长。

9

? ? 2 2 y ? 2x ? 4 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? ? ? ? ? ? 4 4 解法一:由 ? 4 x 2 y 2 得? 或? , ? ?1 2 2 ? ? ? 9 9 ? y ? ?2 ? y ? ?2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2

∴弦长为 ( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2 2

10 2



解法二:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

? y ? 2x ? 4 ? 2 2 由 ? 4 x2 消去 y 得 8 x ? 16 x ? 7 ? 0 , y ? ?1 ? 9 ? 9
∴ x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? ∴弦长 | AB |?
2

7 8



1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ?
2

10 2



知识点2:弦长公式

可推广到任意二次曲线

设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式:

| AB |? 1 ? k | xA ? xB |? 1 ?
2

1 k
2

| y A ? yB |

当直线斜率不存在时,则 AB ? y1 ? y2 .

例 4、已知点 F1 、F2 分别是椭圆
焦点,过 F2 作倾斜角为

x

2

? y ? 1 的左、右
2

?
4

2

的直线,求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S △ F A B ,关键是求弦长 AB.
1

例 4、已知点 F1 、F2 分别是椭圆
焦点,过 F2 作倾斜角为

x

2

? y ? 1 的左、右
2

?

2

解:∵椭圆

x

2

? y

2

2

4 ? 1 的两个焦点坐标 F 1 ( ? 1, 0 ), F 2 (1, 0 )
x?1

的直线,求 △F1 AB 的面积.

∴直线 AB 的方程为 y ?
?y ? x ?1 ? 由? x2 2 ? y ? 1 ? ? 2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )

消去 y 并化简整理得

3x

2

? 4x ? 0

∴ x1
2

? x2 ?
2

4 3

, x1 x 2 ? 0
2

∴ AB ?
?

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ?

2( x 1 ? x 2 )

2 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ? ?

=

4 3

2

∵点 F1 到直线 A B 的距离 d
∴ S F AB
1

?
4 3

0 ? ( ? 1) ? 1

= 2
4 3

?

1 2

? d ? AB

=

1 2

?

2?

2

=

2 4
3

. 答: △ F1 A B 的面积等于

例 5、求以椭圆

x

2

?

y

2

? 1 内的点 A(2, ?1) 为中点的弦所在直线方程。

8

5

解法一:当直线斜率不存在时, A 点不可能上弦的中点,故可设直线 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 它与椭圆的交点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? 则? x2 y2 , ? ?1 ? 5 ? 8

消去 y 得 (8 k ? 5) x ? 16 k (2 k ? 1) x ? 8[(2 k ? 1) ? 5] ? 0 ,
2 2 2

∴ x1 ? x 2 ?

1 6 k ( 2 k ? 1)
2

8k ? 5 又∵ A ( 2, ? 1) 为弦 M N 的中点,



∴ x1 ? x 2 ? 4 ,即 ∴k ?
5 4

1 6 k ( 2 k ? 1) 8k ? 5
2

设而不求

? 4,

,从而直线方程为 5 x ? 4 y ? 1 4 ? 0 .

例 5、求以椭圆

x

2

?

y

2

? 1 内的点 A(2, ?1) 为中点的弦所在直线方程。

8

5

解法二:当直线斜率不存在时, A 点不可能上弦的中点,故可设直线 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 它与椭圆的交点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,
? 5 x1 2 ? 8 y 1 2 ? 4 0 ? 则? 2 2 5 x2 ? 8 y2 ? 40 ? ?
2 2

(1) (2)



( 2 ) ? (1) 得: 5( x 2 ? x1 ) ? 8( y 2 ? y1 ) ? 0 ,

2

2

∵ A (2, ? 1) 为 M N 中点, ∴ x1 ? x 2 ? 4 , y 1 ? y 2 ? ? 2 , ∴
y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? 20 16 ? 5 4

点差法


,即 k ?

5 4

所以,直线方程为 5 x ? 4 y ? 14 ? 0 .

知识点3:中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.
设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), A B中 点 M ( x 0 , y 0 ), ? A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 在 椭 圆 上 ,
x1 a
2 2 2 2 2

?

y1 b

2

?1

x2 a

2
2

?
2

y2 b

2

?1
2 2 2 2

两 式 相 减 得 : b ( x1 ? x 2 ) ? a ( y 1 ? y 1 ) ? 0
( y1 ? y1 ) ( y1 ? y1 ) b 即 ? ? ? 2 ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 ) a
2

其中

y1 ? y2 x1 ? x2

?

y0

x0 x1 ? x2

,

y1 ? y1

? k AB

直线和椭圆相交 弦的中点问题, 常用“设而不求” 的思想方法。

例 6、 已知椭圆

x

2

? y ? 1, 求过点 A (2,1) 的直线 l 与
2

2

椭圆相交,求 l 被截得的弦的中点的轨迹方程。

轨迹方程为 x ? 2 y ? 2 x ? 2 y ? 0 (椭圆内部)
2 2

例 6、已知椭圆

x

2

? y ? 1 ,求斜率为 2 的平行弦的
2

2

中点的轨迹方程。

轨迹方程为 y ? ?

1 4

x(?

4 3

?x?

4 3



课后作业: 《金榜》P41、42, 课本P48练习第7题,P49习题2.2A组第8题。

练习:
1、如果椭圆被 的弦被(4,2)平分,那 36 9 么这弦所在直线方程为( D )
B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0
x 5
2

x

2

?

y

2

?1

A、x-2y=0

D、x+2y-8=0

2、y=kx+1与椭圆 (C ) A、(0,1)

?

y

2

?1

恰有公共点,则m的范围

m

B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ )
16 则弦长 |AB|= _______ , 5

3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线,

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, 求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长。
解 :椭圆 x
2

?

y

2

?1

9

5

F ( 2, 0 )

直 线 l: y ? x ? 2
?y ? x?2 2 得 : x ? 36 x ? 9 ? 0 14 由? 2 2 5 x ? 9 y ? 45 ? 18 9 ? x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? 7 14
?弦长 ? 1? k
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x 1 ? x 2 ?
2

6 11 7

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点 为F,判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以 A为中点椭圆的弦所在的直线方程.
解 : 5 ? 1 ? 9 ? 1 ? 45 ? A (1,1) 在 椭 圆 内 。
2 2

设 以 A为 中 点 的 弦 为 M N 且 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 )

? x1 ? x 2 ? 2, y1 ? y 2 ? 2
5 x1 ? 9 y 1 ? 4 5
2 2

5 x 2 ? 9 y 2 ? 45
2 2

两 式 相 减 得 : x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )? 0 ( 5 ?9
2 2 2 2

? k MN ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

5 9

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

? ?

5 9

? 以 A为 中 点 的 弦 为 M N 方 程 为 : y ? 1 ? ?

5 9

( x ? 1)

? 弦 所 在 的 直 线 方 程 5 x ? 9 y ? 14 ? 0

练习:如图,已知椭圆 ax ? by
2

2

? 1 与直线x+y-1=0交

A 于A、B两点, B ? 2 2 , AB的中点M与椭圆中心连线的

斜率是

2 2

,试求a、b的值。
消 y得 :(a ? b ) x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 A
2

?ax 2 ? by 2 ? 1 解 :? ?x ? y ?1 ? 0
2

y

? ? =4 b -4( a ? b )( b ? 1) ? 0

? ab ? a ? b

M

o
B

x

设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

a?b a 2 ? k MO ? ? ?b ? b 2 2b 2 ?2 2 ? 2 ( ) ?4 a?b

? x1 ? x 2 ?

2b

, x1 ? x 2 ?

b ?1 a?b
2a

? A B中 点 M (
又 AB ? 1? k
2

b

a?b a?b
2

,

a

)

( x 1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2

b ?1 a?b

?a ?

1 3

,b ?

2 3

课后巩固: 1.过椭圆
x
2

?

y 4

2

? 1

内一点 M ( 2 , 1) 引一条弦,

16

使弦被点 M 平分,求这条弦所在的直线方程.
x ? 2y ? 4 ? 0

2.椭圆

x

2

?

y 4

2

? 1 上的点到直线 x ? 2 y ?

2 ? 0

16

10 最大距离是________. 3. 已 知 椭 圆 的 焦 点 F1 ( ? 3 , 0 ), F 2 ( 3 , 0 ) 且 和 直 线
x ? y ? 9 ? 0 有公共点,则其中长轴最短的椭圆方

程为______. x 2
45

?

y

2

?1

36

4、已知椭圆

x 9

2

?

y 5

2

? 1 的焦点为 F 1 , F 2 ,在直线

l:x? y?6? 0

上找一点 M ,求以 F 1 , F 2 为焦点,

通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.
解 : 椭 圆 的 焦 点 为 F1 ( ? 2, 0 ), F2 (2, 0 ) 设 F2 (2, 0) 关 于 直 线 x ? y ? 6 ? 0的 对 称 点 F ( x 0 , y 0 ) ? y0 ? x0 ? 6 ? x ? 2 ? ( ? 1) ? ? 1 ? 0 ? F (6, 4) 解得: ? 由? ? y0 ? 4 x0 ? 2 y0 ? ? ?6?0 ? 2 ? 2

? F1 F ? 2 a ? 4 5
?a ? 2 5

x y ? 所求椭圆方程为: ? ?1 20 16
?b ? 4

2

2

c ? 2

选做题: 试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆 上存在关于直线 y ? 2 x ? m 对称的点.
分析:存在直线y ? ? 1 2 且 两 交 点 的 中 点 在 直 线 y ? 2 x ? m上 。
解 : 假 设 椭 圆 上 存 在 关 于 直 线 y ? 2 x ? m 对 称 的 两 点 A, B

x 4

2

?

y 3

2

?1

x ? b与 椭 圆 交 与 两 点 ,

则 AB两 点 的 直 线 可 设 为 : y ? ?

1 2

x?b

1 ? ?y ? ? 2 x?b ? 由? 2 2 x y ? ? ?1 ? 4 3 ?
2 2

消 y得 : x ? bx ? b ? 3 ? 0
2 2

? ? b ? 4 ( b ? 3) ? ? 3 b ? 1 2 ? 0
2

? ?2 ? b ? 2
? x1 ? x 2 ? b
3 2 b

设 两 对 称 点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
y1 ? y 2 ? ? 1 2

( x1 ? x 2 ) ? 2 b ?

b 3b ? A B中 点 ( , )在 直 线 y ? 2 x ? m 上 2 4 ? 3b 4 ? 2? b 2 ?m

? b ? ?4m
?? 1 2 ? m ? 1 2

? ?2 ? ?4m ? 2


...章圆锥曲线与方程2.2.3直线与椭圆的位置关系学案含解析

河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3直线与椭圆的位置关系学案含解析_数学_高中教育_教育专区。直线与椭圆的位置关系学习目标 1、理解掌握直线与椭圆的...

...1同步练习:2.2.3直线与椭圆的位置关系

高中数学人教A版选修2-1同步练习:2.2.3直线与椭圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版选修2-1同步练习 第二章 2.2.3 直线与椭圆的位置关系...

人教A版选修2-12.2.3《直线与椭圆的位置关系》WORD版学案

人教A版选修2-12.2.3直线与椭圆的位置关系》WORD版学案_教学案例/设计_教学研究_教育专区。学习重点:椭圆几何性质的综合应用运用及直线与椭圆相交的问题。 学习...

...二章圆锥曲线与方程2.2.3直线与双曲线的位置关系导...

河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3直线与双曲线的位置关系导学案2_数学_高中教育_教育专区。直线与椭圆的位置关系学习目标 1、理解掌握直线与椭圆的...

...)选修2-1练习:2.2.3直线与椭圆的位置关系]

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.2.3直线与椭圆的位置关系]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版...

...1同步练习:2.3.3直线与双曲线的位置关系(含答案)

高中数学人教A版选修2-1同步练习:2.3.3直线与双曲线的位置关系(含答案)_...· 揭阳中学期中)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,A、B 为椭圆的...

...:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C...

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由. 正确答案及相关解析 正确答案 解:(1)∵椭圆C:x2+3y2=3, ∴椭圆C的标准方程为:+y2=1, ∴a=,b=1,...

烟台芝罘区数学直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系2016...

烟台芝罘区数学直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系2016高三专题复习-解析几何专题(...。 a a 3、中点坐标公式: 点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 的中点...

...3),N(2,-3)在椭圆上,斜率为的直线l与椭圆C交于点A,B...

简答题 数学 直线与圆锥曲线的关系 已知两点M(2,3),N(2,-3)在椭圆上,斜率为的直线l与椭圆C交于点A,B(A,B在直线MN两侧),且四边形MANB面积的最大值...

椭圆E经过点M(2,3),对称轴为坐标轴,左右焦点F1,F2,离心...

椭圆E经过点M(2,3),对称轴为坐标轴,左右焦点F1,F2,离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)直线l过椭圆右焦点且斜率为1与椭圆交于AB两点,求线段AB的长度._答案...