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第3讲 导数的应用(二)答案


第 3 讲 导数的应用(二)答案

一、选择题 1.(2013·北京东城模拟)函数 f(x)的定义域为开区间(a,

b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(
A.1 个 答案 A 2. (2013·苏州一中月考)已知函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极

大值和极小值, 则实数
3 2

). D.4 个

B.2 个

C.3 个

a 的取值范围是
A.(-1,2) C.(-3,6)
2

( B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

).

解析 f′(x)=3x +2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值,所以 f′(x)=0 有两 个不相等的实数根,所以 Δ =4a -4×3(a+6)>0,解得 a<-3 或 a>6. 答案 B 3.(2013·南京模拟)设 f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导 函数, 如图所示的是 y=x·f′(x)的图象的一部分, 则 f(x) 的极大值与极小值分别是 A.f(1)与 f(-1) C.f(-2)与 f(2) 解析 ( ).
2

B.f(-1)与 f(1) D.f(2)与 f(-2)

由图象知 f′(2)=f′(-2)=0.∵x>2 时,y=x·f′(x)>0,∴f′(x)>0,∴y

=f(x)在(2,+∞)上单调递增;同理 f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单 调递减, ∴y=f(x)的极大值为 f(-2),极小值为 f(2),故选 C. 答案 C 1 x ? π? 4.函数 f(x)= e (sin x+cos x)在区间?0, ?上的值域为 2? 2 ? ( ).

?1 1 π ? A.? , e ? ?2 2 2 ?
π C.[1,e ] 2

?1 1 π ? B.? , e ? ?2 2 2 ?
π D.(1,e ) 2

1 x 1 x x 解析 f′(x)= e (sin x+cos x)+ e (cos x-sin x)=e cos x, 2 2

π π 当 0≤x≤ 时,f′(x)≥0,且只有在 x= 时,f′(x)=0, 2 2

? π? ∴f(x)是?0, ?上的增函数, 2? ? ?π ? 1 π ∴f(x)的最大值为 f? ?= e , ?2? 2 2
f(x)的最小值为 f(0)= .
1 2

? π? ?1 1 π ? ∴f(x)在?0, ?上的值域为? , e ?.故应选 A. 2? ? ?2 2 2 ?
答案 A 5.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a) C.f(x)>f(a) D.f(x)<f(a) 【解析】 由(x-a)f′(x)≥0 知, 当 x>a 时,f′(x)≥0;当 x<a 时,f′(x)≤0. ∴当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值,则 f(x)≥f(a). 【答案】 A 6.(2012·东莞调研)函数 f(x)=x -2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)=
2

)

f?x? 在区间(1,+∞)上一定( x
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

)

. 【解析】 由函数 f(x)=x -2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,可得 a 的取值范围 为 a<1, ∴g(x)=

2

f?x? a a =x+ -2a,则 g′(x)=1- 2. x x x

易知在 x∈(1,+∞)上 g′(x)>0,所以 g(x)为增函数. 【答案】 D

二、填空题 7. 已知函数 y=f(x)=x +3ax +3bx+c 在 x=2 处有极值, 其图象在 x=1 处的切线平行于 直线 6x+2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. 解析 ∵y′=3x +6ax+3b,
? ?3×2 +6a×2+3b=0, ? 2 ?3×1 +6a+3b=-3 ?
2 2 3 2

??

? ?a=-1, ?b=0. ?

∴y′=3x -6x,令 3x -6x=0,则 x=0 或 x=2. ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 答案 4
?-x +6x+e -5e-2,x≤e, ? 8 .已知函数 f(x) = ? ? ?x-2ln x,x>e
2 2 2

2

2

( 其中 e 为自然对数的底数,且

e≈2.718).若 f(6-a )>f(a),则实数 a 的取值范围是________. -2x+6,x≤e, ? ? 解析 ∵f′(x)=? 2 1- ,x>e, ? ? x

当 x≤e 时,f′(x)=6-2x=2(3-x)>0,当

2 x-2 2 2 x>e 时, f′(x)=1- = >0, ∴f(x)在 R 上单调递增. 又 f(6-a )>f(a), ∴6-a >a, x x 解之得-3<a<2. 答案 (-3,2) 9. 已知函数 f(x)=mx +nx 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行, 若 f(x) 在区间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是________. 解析 由题意知,点(-1,2)在函数 f(x)的图象上, 故-m+n=2.① 又 f′(x)=3mx +2nx,则 f′(-1)=-3, 故 3m-2n=-3.② 联立①②解得:m=1,n=3,即 f(x)=x +3x , 令 f′(x)=3x +6x≤0,解得-2≤x≤0, 则[t,t+1]? [-2,0],故 t≥-2 且 t+1≤0, 所以 t∈[-2,-1]. 答案 [-2,-1] 1-x 10.(2013·合川调研)已知函数 f(x)= +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,
2 3 2 2 3 2

ax

则正实数 a 的取值范围为________. 1-x ax-1 解析 ∵f(x)= +ln x,∴f′(x)= 2 (a>0),

ax

ax

∵函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,∴f′(x)= 1

ax-1 ≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴ ax2

ax-1≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,即 a≥ 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1. x
答案 [1,+∞)

三、解答题 11. (12 分)设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0), 且方程 f′(x)-9x=0 的两根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 解 由 f(x)= x +bx +cx+d 得 f′(x)=ax +2bx+c. 3 因为 f′(x)-9x=ax +2bx+c-9x=0 的两个根分别为 1,4,
? ?a+2b+c-9=0, 所以? ?16a+8b+c-36=0, ?
2

a

3

2

a

3

2

2

(*)

? ?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)式得? ?8b+c+12=0, ?

解得 b=-3,c=12.又因为曲线 y=f(x)过原点, 所以 d=0.故 f(x)=x -3x +12x. (2)由于 a>0,所以 f(x)= x +bx +cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点等价于 f′(x)= 3
3 2

a

3

2

ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立.由(*)式得 2b=9-5a,c=4a.
又 Δ =(2b) -4ac=9(a-1)(a-9),
?a>0, ? 由? ? ?Δ =9?a-1??a-9?≤0
2

得 a∈[1,9].

即 a 的取值范围是[1,9]. 12.(本小题满分 12 分) (2011.山东) 某 企 业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建 3

造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为

80? 立方米,所以 3

80 4r 4? r 3 80? ? ? r 2l ? , 解得 l ? 2 ? , 所以圆柱 3r 3 3 3

的侧面积为 2? rl = 2? r ( 所以 y ?

80 4r 160? 8? r 2 2 ? ) ? ? , 两端两个半球的表面积之和为 4? r , 2 3r 3 3r 3

160? l ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为(0, ). r 2
160? 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 20 8 ? cr ? 16 ? r + = ,所以令 y' ? 0 得: r ? 3 ; 2 2 r r c?2
3

(Ⅱ) 因为 y ' ? ?

令 y' ? 0 得: 0 ? r ?

20 20 ,所以 r ? 3 米时, 该容器的建造费用最小. c?2 c?2


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