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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题八 第三节 运用分类讨论思想解题的策略

时间:2015-01-20


分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的 思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置,在选择题、填空题、 解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法,其难度在 0.4~0.6 之间. 考试要求: 《考试说明》强调,对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行,通过数学 知识的考查,反映考生对数学思想和方法理

解和掌握的程度.考查时,要从学科整体意识和思想含义上 立意,注意通性通法,淡化特殊技巧,有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌 握程度. 题型一 由概念引起的分类讨论 例 1.平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A 、 B 两点. 求证: “如果直线 l 过点 T (3, 0) ,那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题. 点拨: (1)联立直线和抛物线,根据向量数量积定义,利用根与系数的关系,可求得 OA ? OB ? 3 ; (2) 设直线方程时须考虑直线斜率是否存在. 证明:设过点 T (3, 0) 的直线 l 交抛物线 y 2 ? 2 x 于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . (1)当直线 l 的钭率不存在时, 直线 l 的方程为 x ? 3 ,此时,直线 l 与抛物线相交于

A(3, 6), B(3, ? 6) .

∴ OA ? OB ? 3 .

(2)当直线 l 的斜率存在时,设过点 T (3,0) 的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,

由?

? y2 ? 2x ? y ? k ( x ? 3)

得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y2 ? ?6

又 ∵ x1 ?

1 2 1 2 1 2 y1 , x2 ? y2 , ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 y2 ) ? y1 y2 ? 3 , 2 2 4

综上所述,命题“如果直线 l 过点 T (3, 0) ,那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题; 易错点: (1)在本例中,非常容易遗漏当直线 l 的斜率不存在时对命题的论证,习惯性地设直线 l 的方 程为 y ? k ( x ? 3) ,直接求得 OA ? OB ? 3 ,从而证明命题是真命题.显然这种证法是不严密的.(2)此 题是由概念引起的分类讨论,相关的题目很多,如集合是否为空集的讨论;指数函数、对数函数底数的 讨论;公比 q 、斜率 k 的讨论等.
2 变式与引申 1:已知集合 A ? x | x ? 9 x ? 18 ? 0 , B ? ?x | a ? 1 ? x ? 2a ? ,若 B ? A 时,则实数 a

?

?

的取值范围是____________.

题型二 由参数引起的分类讨论 例 2.(2011 全国课标卷理科第 21 题)已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 x ?1 x

切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x 1 求 2

点拨: (1)此题是与导数有关的一类问题,思路为:求 f ( x ) 导函数,再利用 f (1) ? 1 和 f '(1) ? ? 出 a , b 的值; (2)由于该题存在参数 k ,因此应对参数 k 进行分类讨论. 解:

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ? (

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 .而 h(1) ? 0 ,故 x2

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0 ? k ? 1 .由于当 x ? (1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h '( x) ? 0 ,而 h(1)=0,故当 1? k 1 1 h( x) ? 0 ,与题设矛盾. x ? (1, )时, h( x) ? 0 ,可得 1? k 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

(iii)设 k ? 1 .此时 h '( x) ? 0 ,而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时, h( x) ? 0 ,可得 与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

1 h( x ) ? 0 , 1? x2

变式与 引申 2: (1)解关于 x 的不等式: ax ? x ? a ? 1 ? 0 .
2

(2)设 k 为实常数,问方程 (8 ? k ) x 2 ? (k ? 4) y 2 ? (8 ? k ) ? (k ? 4) 表示的曲线是何种曲线? 题型三由自变量引起的分类讨论 例 3.若不等式 a( x ? 1) ? x2 ? 1 在 x ? (?2,1) 内恒成立,求实数 a 的取值范围. 点拨:该题是恒成立问题,其实就是求最值问题,由于 x ? (?2,1) , x ? 1 的符号不确定,因此在参变量 分离时应对 x 范围进行分类讨论.

x2 ? 1 ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 2 2 ? ( x ? 1) ? ?2 解:令 f ( x) ? ,则 f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1
(1)当 ?1 ? x ? 1 时, 0 ? x ? 1 ? 2 ,则 a ? f ( x) , 而此时 f ( x) ? 2 2 ? 2 ,∴ a ? 2 2 ? 2 ; (2)当 ?2 ? x ? ?1 时, ?1 ? x ? 1 ? 0 ,则 a ? f ( x) , 而此时 f ( x) ? ?5 ,∴ a ? ?5 ; (3)当 x ? ?1 时,原不等式化为 0 ? 2 恒成立. 综上所述, a 的取值范围是 [?5, 2 2 ? 2) .

x2 ? 1 易错点: ( 1 )该题在参变量分离时经常会不考虑自变量 x 的取值范围,直接化为 a ? ,求得 x ?1

a ? 2 2 ? 2; (2)在分类讨论后,往往没有把最后结果取交集.审题时一定要分清讨论的目标是自变量
还是参数,当讨论自变量时结果取交集,当讨论参数时注意分情况写出.
( x ?1) ? ( x ? 2) ? 2e 变式与引申 3: (1)设 f ( x ) = ? ,则不等式 f ( x) ? 2 的解集为( 2 ? ?log 3 ( x ?1) ( x ? 2)



A. (1, 2)

(3, ??)

B. ( 10, ??)
*

C. (1, 2)
2 3

( 10, ??)
? n ? xn ?

D. (1, 2) .

(2)已知 x 是不为零的实数, n ? N ,则 x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 题型四 由运算引起的分类讨论

例 4.已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x+12a ? 4 ? a ? R ?

(Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0处的切线过点(2,2); (Ⅱ)若 f ( x)在x ? x0处取得最小值,x0 ? 求 a 的取值范围. (1,3), 点拨:第(I)问直接利用导数的几何意义,求出切线的斜率,然后易写出直接方程. (II)第(II)问是含参问题,关键是抓住方程 f ?( x) ? 0 的判别式进行分类讨论. 解: (I) f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3 ? 6a . 由 f (0) ? 12a ? 4, f ?(0) ? 3 ? 6a 得曲线 y ? f ( x) 在 x=0 处的切线方程为

y ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4
由此知曲线 y ? f ( x) 在 x=0 处的切线过点(2,2). (II)由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0
2

(i)当 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 时, f ( x ) 没有极小值; (ii)当 a ?

2 ? 1或 a ? ? 2 ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得

x1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1
故 x0 ? x2 。由题设知 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 , 当a ?

2 ? 1时,不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 无解;
5 ? a ? ? 2 ?1 2

当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 得 ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ?

5 , ? 2 ? 1) . 2

易错点: (1)首先该题不知道对方程 f ?( x) ? 0 的判别式进行分类讨论; (2)其次,解不等式运算出 错. 变式与引申 4: (1)若 an ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,求数列 {a n } 的前 n 项和 Sn . (2)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n 2 .求数列 ?| an |? 的前 n 项和 Tn . 本节主要考查: (1)本节考查的是分类讨论的数学思想方法,高中数学的每一个知识点都可能成 为分类讨论考查的对象,因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础.(2)分类讨论 的原则有:同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 同一性原则简言之即“不遗漏” ;互斥性原则强调的 是 “避免重复” ; 层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能

混淆. (3) 分类讨论的思想方法是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化, 使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.它的思维策略是“化整为零,各个击破”. 点评: (1)分类讨论思想是数学思想方法中最基本、最常见的一种思想方法,在近几年的高考试 题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查, 体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅 具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点,而且还有利于对学生知识面的考查、需要 学生有一定的分析能力、一定分类技巧,对学生能力的考查有着重要的作用. (2)引入分类讨论的主要原因 ①由数学概念引起的分类讨论:如绝对值的定义、直线的斜率等; ②由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等; ③由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; ④由图形的不确定引起的分类讨论; ⑤由参数的变化引起的分类讨论; ⑥按实际问题的情况而分类讨论. (3)分类讨论的思想方法的步骤:(1)确定标准;(2)合理分类;(3)逐类讨论;(4)归纳总结 (4)解题时把好“四关” ①要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关” ; ②要找准划分标准,把好“分类关” ; ③要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关” ; ④要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”. 习题 8-3 1. 已知函数 f ( x) ? ( a ? x) 3a ? x ( a ? 0) ,下列结论正确的是( A.当 x ? 2a 时,有最小值 0 C.无最大值和最小值 2.数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2



B.当 x ? 3a 时,有最大值 0 D.有最小值无最大值

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 =_________ 3 3

3.已知集合 A ? {x | x2 ? ax ? 4 ? 0, x ? R, a ? R}, B ? {?1, 2, 4} ,若 A ? B ,求 a 的取值范围. 4.已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x 2 ? y 2 ? 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于 常数 ? (? ? 0) .求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 5. (2011 湖南文科)设函数 f ( x) ? x ? (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 有两个极值点 x1和x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k ,问:是否存 在 a ,使得 k ? 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 【答案】 变式与引申 1:

1 ? a ln x(a ? R ). x



? Sn ? ? Sn ? 2n 2 2n 2 ? ? ? a1 , Tn ? a1 ,∴ ? ? ? Tn . ? Pn ? ? Pn ?
(2)当 q ? 1 时, Sn ?
n

n

n

n ( n ?1) a1 (1 ? q n ) q n?1 ? q , Tn ? a1n q 2 , Pn ? 1? q a1q n (q ? 1)
n

?S ? ?S ? 2 n n ( n ?1) , Tn2 ? a12 n q n ( n ?1) ,∴ ? n ? ? Tn2 . ∴ ? n ? ? a1 q ? Pn ? ? Pn ? ?S ? 2 综上,在等比数列 ?an ? 中, ? n ? ? Tn 成立. ? Pn ?
变式与引申 2: 解: (1) ( x ? 1)(ax ? 1 ? a) ? 0
n

a ?1 ); a 1 a ?1 ) (?1, ??) ; 当 0 ? a ? 时, x ? (??, 2 a 1 a ?1 , ??) ; 当 a ? 时, x ? (??, ?1) ( 2 a
当 a ? 0 时, x ? ( ?1, 当 a ? 0 时, x ? (?1, ??) ; 当a ?

1 时, , x ? (??, ?1) (?1, ??) . 2

2 (2)①当 k ? 4 时,方程变为 4 x ? 0 ,即 x ? 0 ,表示直线;

②当 k ? 8 时,方程变为 4 y 2 ? 0 ,即 y ? 0 ,表示直线; ③当 k ? 4 且 k ? 8 时,方程变为

x2 y2 ? ? 1 ,又有以下五种情形讨论: k ?4 8?k

ⅰ)当 k ? 4 时,方程表示中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线; ⅱ)当 4 ? k ? 6 时,方程表示中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆; ⅲ)当 k ? 6 时,方程表示圆心在圆点的圆;

ⅳ)当 6 ? k ? 8 时,方程表示中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆; ⅴ)当 k ? 8 时,方程表示中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线. 变式与引申 3: 解: (1)当 x ? 2 时, 2e
x ?1

? 2 ,解得 1 ? x ? 2 ;

当 x ? 2 时, log3 ( x2 ?1) ? 2 ,解得 x ? ( 10, ??) 综上所述,可得不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (1, 2)

( 10, ??) .故选 C.

(2) x ? 2 ? x ? 3 ? x ?
2 3

? x(1 ? x n ) nx n ?1 ? (1 ? x) 2 ? 1 ? x ( x ? 1) ? n ? n? x ? ? ? n(n ? 1) ( x ? 1) ? ? 2
n ? ?2 n , 2

变式与引申 4: (1)当 n 为偶数时, S n ? ?4 ? 当 n 为奇数时, S n ? ?4 ? 综上, S n ? ?

n ?1 ? 4n ? 3 ? 2n ? 1 . 2

??2n ? ? ? 2n ? 1

( n ? 2k , k ? N * ) (n ? 2k ? 1, k ? N * )

(2)当 n ? 6 时, Tn ? Sn ? 12n ? n2 , 当 n ? 7 时, Tn ? S6 ? (Sn ? S6 ) ? n2 ?12n ? 72 综上, Tn ? ?
2 ? (n ? 6) ?12n ? n 2 ? ?n ? 12n ? 72 (n ? 7)

习题 8-3
1.C. 2. 470. 提示:由于 {cos
2

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

S30 ? (?
10

12 ? 22 42 ? 52 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? 2 2

? (?

282 ? 292 ? 302 ) 2

10 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? ?[? ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 2 2 2 k ?1 k ?1

3. 解:由于 B ? {?1, 2, 4} ,且 A ? B ,则集合 A 可能是空集、单元素集合和两个元素集合.
2 (1)当 ? ? a ? 16 ? 0 ,即 ?4 ? a ? 4 时,因为 A ? ? ,满足 A ? B ,所以 a ? ? ?4,4 ?

2 (2)当 ? ? a ? 16 ? 0 ,即 a ? ?4 时,由 A ? B 得 a ? 4
2 (3)当 ? ? a ? 16 ? 0 ,即 a ? ?4 或 a ? 4 时, A ? B

综上可得,当 a ? ? ?4, 4? 时, A ? B 4. 解: 如图解 8-2-9 设 MN 切圆 C 于 N,则动点 M 组成的集合是 P ? {M MN ? ? MQ , ? ? 0} . ∵ON⊥MN, |ON|=1, ∴ | MN | 2 ?| OM | 2 ? | ON | 2 ?| OM | 2 ?1 设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 2 2 则 x ? y ? 1 ? ? ( x ? 2) ? y



(? 2 ?1)( x2 ? y2 ) ? 4? 2 x ? (4? 2 ? 1) ? 0 .
经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故方程为所求的轨迹方程. (1)当 ? ? 1 时,方程为 x ?

-9

5 5 ,它是垂直于 x 轴且与 x 轴相交于点 ( , 0) 的直线; 4 4

(2)当 ? ? 0且? ? 1 时,方程化为 ( x ?

2?2 2 1 ? 3?2 2 , ) ? y ? ?2 ? 1 (?2 ? 1) 2

它是以 ( 5.

2?2 1 ? 3?2 , 0 ) 为圆心, 为半径的圆. ?2 ? 1 | ?2 ? 1 |

解析: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

1 a x 2 ? ax ? 1 f '( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x2
2 令 g ( x) ? x ? ax ? 1, 其判别式 ? a ? 4.
2

(1) 当 | a |? 2时, ? 0, f '( x) ? 0, 故 f ( x)在(0, ??) 上单调递增.

) 上, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ?? ) 上单调递 (2) 当 a ? ?2时, >0,g(x)=0 的两根都小于 0,在 (0, ??
增. (3) 当 a ? 2时, >0,g(x)=0 的两根为 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , , x2 ? 2 2

当 0 ? x ? x1 时, f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? x2 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x ) 分 别在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. (II)由(I)知, a ? 2 . 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?

x1 ? x2 ? a(ln x1 ? ln x2 ) ,所以 x1 x2

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 1 ? 1? ?a x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2


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