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福建泉州市永春县美岭中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建泉州市永春县美岭中学高一(下) 期末数学试卷
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 U={1,2,3,5},A={1,3,5},B={2,3},则集合{1,5}等于( ) A. (CuA)∩B B.(CuA)∪B C.(CuB)∩A D.(CuB)∪A 2.函数 y=log2(x﹣1)+ A. {x

|x≥0} 的定义域为( ) C.{x|x>1} ) D.{x|0≤x≥1}

B.{x|x≥1}

3.当 A=1 时,下列程序输出的结果 A 是(

A. 5

B.6

C.15

D.120

4.已知某次期中考试中,甲、乙两组学生的数学成绩如下: 甲:88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙:93 89 81 77 96 78 77 85 89 86 则下列结论正确的是( ) A. C. > < ,s 甲>s 乙 ,s 甲>s 乙 B. D. > < ,s 甲<s 乙 ,s 甲<s 乙

5.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CC1、C1D1 的中点,则异面直线 EF 和 BD 所成的角的大小为 ( )

A. 75°

B.60°

C.45° )

D.30°

6.过点(﹣3,2)且与直线 2x﹣y+5=0 平行的直线方程为( A. 2x+y+4=0 B.2x﹣y+8=0 C.x﹣2y+7=0

D.x+2y﹣1=0

7.函数 A. B.

,x∈[0,π]的单调递减区间是( C.[0,π]

) D.

8.已知非零向量 , 满足| |= A. B.

,且(

)?( C.﹣

)= ,则| |=( D.±



9.为得到函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 C.向左平移

)的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( B. 向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位



个长度单位 个长度单位

10.设 f(x)= A. (1,2)∪(3,+∞) C. (1,2)∪( ,+∞)

则不等式 f(x)>2 的解集为( B. ( ,+∞)



D. (1,2)

11.圆 x2+y2+4x﹣4y+4=0 关于直线 x﹣y+2=0 对称的圆的方程是( ) A. x2+y2=4 B. x2+y2﹣4x+4y=0 C. x2+y2=2 D.x2+y2﹣4x+4y﹣4=0 12.如图,体积为 V 的大球内有 4 个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且 只有一个交点, 4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点. v1 为小球相交部 分(图中阴影部分)的体积,v2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中 正确的是( )

A. v1=

B.v2=

C.v1>v2

D.v1<v2

二.填空题: (共 4 小题每题 4 分) 13.方程 x2+y2﹣6x=0 表示的圆的圆心坐标是

;半径是



14.已知

,则

=



15.函数 y=cos(2x+φ) (﹣π≤φ<π)的图象向右平移 的图象重合,则 φ= .

个单位后,与函数 y=sin(2x+



16.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为 三、解答题 17. (12 分)已知 0<α<π,tanα=﹣2 (1)求 cosα 的值; (2)求 2sin2α﹣sinαcosα+cos2α 的值.



18. (12 分)已知向量 =(1,2) , =(x,1) (1)若< , >为锐角,求 x 的范围; (2)当( +2 )⊥(2 ﹣ )时,求 x 的值.

19. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ) (A>0,0<φ<π)在 x= (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; (3)若 x∈[ ,0],求 f(x)的值域.

时取得最大值 4.

20. (12 分)已知 大值以及此时 x 的值.

,f(x)=

.求 f(x)的最

21. (12 分) 如图所示, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, PD=AB=2, E,F,G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:PA∥面 EFG; (2)求三棱锥 C﹣EFG 的体积.

22. (14 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 f(﹣1)=0,试判断函数 f(x)零点个数; (2)若对 x1x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2) ,证明方程 f(x)= 必有一个实数根属于(x1,x2) . (3)是否存在 a,b,c∈R,使 f(x)同时满足以下条件 ①当 x=﹣1 时,函数 f(x)有最小值 0;

②对任意 x∈R,都有 0≤f(x)﹣x≤ 说明理由.

若存在,求出 a,b,c 的值,若不存在,请

2014-2015 学年福建泉州市永春县美岭中学高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 U={1,2,3,5},A={1,3,5},B={2,3},则集合{1,5}等于( ) A. (CuA)∩B B.(CuA)∪B C.(CuB)∩A D.(CuB)∪A 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 可以对各个选项化简计算,采用逐个验证的方法得出正确选项. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,5},A={1,3,5},B={2,3}, ∴CuB={1,5},

A∩(?UB )={1,3,5}∩{1,5}={1,5}. 故 C 正确 用同样的方法排除 B,A,D. 故选:C. 点评: 本题考查集合的基本运算,属于基础题.

2.函数 y=log2(x﹣1)+ A. {x|x≥0}

的定义域为(

) C.{x|x>1} D.{x|0≤x≥1}

B.{x|x≥1}

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 常规题型. 分析: 使该函数有意义,需要对数的真数大于 0,同时需要根号下的代数式大于等于 0, .

解答: 解:要使原函数有意义,只需

解得 x>1,所以原函数的定义域为{x|x>

1}. 故选 C. 点评: 本题考查了函数定义域的求法,解答的关键是使构成函数式的每一部分都要有意 义,属基础题. 3.当 A=1 时,下列程序输出的结果 A 是( )

A.

5

B.

6

C.

15 D.

120

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟程序语言的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果. 解答: 解:模拟程序语言的运行过程,如下; A=1,A=1×2=2,A=2×3=6,A=6×4=24,A=24×5=120; 输出 A=120. 故选:D. 点评: 本题考查了算法语言的应用问题, 解题时应模拟程序语言的运行过程, 以便得出正 确的结论. 4.已知某次期中考试中,甲、乙两组学生的数学成绩如下: 甲:88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙:93 89 81 77 96 78 77 85 89 86

则下列结论正确的是( A. C. > <

) B. D. > < ,s 甲<s 乙 ,s 甲<s 乙

,s 甲>s 乙 ,s 甲>s 乙

考点: 众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知数据结合平均值和方差的定义计算可得答案. 解答: 解:由题意可得 = = (88+100+95+86+95+91+84+74+92+83)=88.8,

(93+89+81+77+96+78+77+85+89+86)=85.1,

∴s 甲 2= [(88﹣88.8)2+(100﹣88.8)2+(95﹣88.8)2+(86﹣88.8)2 +(95﹣88.8)2+(91﹣88.8)2+(84﹣88.8)2+(74﹣88.8)2+(92﹣88.8)2+(83﹣88.8) 2]≈55.7, s 乙 2= [(93﹣85.1)2+(89﹣85.1)2+(81﹣85.1)2+(77﹣85.1)2+(96﹣85.1)2 +(78﹣85.1)2+(77﹣85.1)2+(85﹣85.1)2+(89﹣85.1)2+(86﹣85.1)2]≈45.7, 故选:A 点评: 本题考查数据的数字特征,涉及平均值和方差的计算,属基础题. 5.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CC1、C1D1 的中点,则异面直线 EF 和 BD 所成的角的大小为 ( )

A.

75°B.

60°C.

45° D.

30°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 连接 D1C,D1B1,B1C,得到∠B1D1C 是异面直线 EF 和 BD 所成的角(或所成角的 补角) ,由此能求出异面直线 EF 和 BD 所成的角的大小. 解答: 解:连接 D1C,D1B1,B1C, ∵E、F 分别是 CC1、C1D1 的中点, ∴EF∥D1C, ∵BD∥D1B1, ∴∠B1D1C 是异面直线 EF 和 BD 所成的角(或所成角的补角) , ∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,D1B1=B1C=D1C,

∴∠B1D1C=60°. 故选 B.

点评: 本题考查异面直线所成角的大小的求法, 是基础题. 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意合理地进行等价转化. 6.过点(﹣3,2)且与直线 2x﹣y+5=0 平行的直线方程为( A. 2x+y+4=0 B.2x﹣y+8=0 C.x﹣2y+7=0 ) D.x+2y﹣1=0

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 待定系数法;直线与圆. 分析: 设过点(﹣3,2)且与直线 2x﹣y+5=0 平行的直线方程为 2x﹣y+c=0,把(﹣3,2) 代入直线的方程求出 c 的值,即可求出所求的直线方程. 解答: 解:设过点(﹣3,2)且与直线 2x﹣y+5=0 平行的直线方程为 2x﹣y+c=0,把(﹣3, 2)代入可得﹣6﹣2+c=0,解得 c=8, 故所求的直线方程为 2x﹣y+8=0, 故选 B. 点评: 本题主要考查用待定系数法求直线方程的方法,两直线平行的性质,属于基础题.

7.函数 A. B.

,x∈[0,π]的单调递减区间是( C.[0,π]

) D.

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 由 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z) ,与 x∈[0,π]联立即可求得答案. ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z) ,

解答: 解:依题意,由 2kπ+ 得:2kπ+ ≤x≤2kπ+

(k∈Z) , )的单调递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z) ,

∴f(x)=2sin(x+ 又 x∈[0,π], ∴f(x)=2sin(x+ 故选 D.

)在 x∈[0,π]上的单调递减区间为[

,π].

点评: 本题考查复合三角函数的单调性, 着重考查正弦函数的单调性质, 考查集合的运算, 属于中档题.

8.已知非零向量 , 满足| |= A. B.

,且(

)?( C.﹣

)= ,则| |=( D.±



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算性质即可得出. 解答: 解:∵( ∴ 又| |= ∴2﹣ ∴ = , , = , )?( )= ,

= ,

∴ = . 故选:A. 点评: 本题考查了数量积运算性质,考查了计算能力,属于基础题.

9.为得到函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 C.向左平移

)的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( B. 向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位



个长度单位 个长度单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 把函数 y=sin(2x﹣ 解答: 解:∵y=sin(2x﹣ )变为 y=sin[2(x﹣ )=sin[2(x﹣ )], )],然后由 x 得变化得答案.

∴要得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个长度单位. 故选:B. 点评: 本题主要考查三角函数的平移, 三角函数的平移原则为左加右减上加下减, 是基础 题.

10.设 f(x)= A. (1,2)∪(3,+∞) C. (1,2)∪( ,+∞)

则不等式 f(x)>2 的解集为( B. ( ,+∞)



D. (1,2)

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 分析: 分段函数在定义域的不同区间上都有可能使得 f(x)>2 成立,所以分段讨论. 解答: 解:令 2ex﹣1>2(x<2) , 解得 1<x<2. 令 log3(x2﹣1)>2(x≥2) 解得 x 为( ,+∞)

选C 点评: 本题考查分段函数不等式的求解方法. 11.圆 x2+y2+4x﹣4y+4=0 关于直线 x﹣y+2=0 对称的圆的方程是( ) A. x2+y2=4 B. x2+y2﹣4x+4y=0 C. x2+y2=2 D.x2+y2﹣4x+4y﹣4=0 考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出圆的标准方程,求出与圆心 M 和半径,求出点 M 关于直线 x﹣y+2=0 对称 的点 N 的坐标,即可求出对称的圆的方程. 解答: 解:圆 x2+y2+4x﹣4y+4=0 即(x+2)2+(y﹣2)2=4,表示以 M(﹣2,2)为圆心, 半径等于 2 的圆.

设 M(﹣2, 2) 关于直线 x﹣y+2=0 对称的点 N(a,b) ,由

求得



故点 N(0,0) . 故所求的圆的方程是 x2+y2=4, 故选 A. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程的方法.求一个点关于某直线的对称点的坐标的方 法,利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件,属于中档题. 12.如图,体积为 V 的大球内有 4 个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且 只有一个交点, 4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点. v1 为小球相交部 分(图中阴影部分)的体积,v2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中 正确的是( )

A. v1=

B.v2=

C.v1>v2

D.v1<v2

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;压轴题;探究型. 分析: 根据题意推知小球半径是大球的一半, 建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的 关系,可推知选项. 解答: 解:设大球的半径为 R,则小球的半径为: , 由题意可得:V= R3=4 ,

所以 V2﹣V1= = = , 即:V2>V1. 故选:D. 点评: 本题考查组合体的体积,空间想象能力,逻辑推理能力,是难题. 二.填空题: (共 4 小题每题 4 分) 13.方程 x2+y2﹣6x=0 表示的圆的圆心坐标是 (3,0) ;半径是 3 . 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题. 分析: 题中给出的是圆的一般方程,可以将其配方,化为标准形式: (x﹣3)2+y2=9,再 对照以(a,b)为圆心,半径为 r 的圆的标准方程: (x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,即可得所求 圆的圆心坐标和半径. 解答: 解:将圆 x2+y2﹣6x=0 化成标准方程,得 (x﹣3)2+y2=9 可得圆心坐标为: (3,0) , 半径 r 满足 r2=9,可得 r=3 故答案为: (3,0) ,3 点评: 本题给出一个特殊圆, 通过对它的一般方程转化为标准方程, 考查了圆的基本概念 和圆方程的两种形式及其互化,属于基础题.

14.已知

,则

=

4 .

考点: 对数的运算性质.

分析: 根据

可先求出 a 的值,然后代入即可得到答案.

解答: 解:∵



∴ 故答案为:4. 点评: 本题主要考查指数与对数的运算.指数与对数的运算法则一定要熟练掌握. 15.函数 y=cos(2x+φ) (﹣π≤φ<π)的图象向右平移 的图象重合,则 φ= . 个单位后,与函数 y=sin(2x+ )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;压轴题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为 y=cos[2(x﹣ )+φ]的图象,即 的图象

y=cos(2x+φ﹣π)的图象.结合题意得函数 y=sin(2x+ )= 与 y=cos(2x+φ﹣π)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出 φ 的值. 解答: 解:函数 y=cos(2x+φ) (﹣π≤φ<π)的图象向右平移 图象的函数解析式为 y=cos[2(x﹣ )+φ]=cos(2x+φ﹣π) , )= ,

个单位后,得平移后的

而函数 y=sin(2x+

由函数 y=cos(2x+φ) (﹣π≤φ<π)的图象向右平移 的图象重合,得 2x+φ﹣π= 符合﹣π≤φ<π. ,解得:φ= .

个单位后,与函数 y=sin(2x+



故答案为 . 点评: 本题给出函数 y=cos(2x+φ)的图象平移,求参数 φ 的值.着重考查了函数图象平 移的公式、三角函数的诱导公式和函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识,属于基础题.

16.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为



考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 在区间(0,1)内任取两个实数,确定该基本事件对应的平面区域的大小,再求了 满足条件两个实数的和大于 对应的平面区域的面积大小,代入几何概型公式,即可得到答 案. 解答: 解:区间(0,1)内任取两个实数记为(x,y) ,则点对应的平面区域为下图所示 的正方形, 其中满足两个实数的和大于 ,即 x+y> 的平面区域如下图中阴影部分所示:

其中正方形面积 S=1,阴影部分面积 S 阴影=1﹣ ? ? =

∴两个实数的和大于 的概率 P=

=

故答案为: . 点评: 本题考查几何概型,考查学生的计算能力,属于基础题. 三、解答题 17.已知 0<α<π,tanα=﹣2 (1)求 cosα 的值; (2)求 2sin2α﹣sinαcosα+cos2α 的值. 考点: 同角三角函数间的基本关系;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) 因为 由 sin2α+cos2α=1,求得 cosα 的值. , 可得 , α 为钝角且 cosα<0. 再

(2)原式=

,把 tanα=﹣2 代入

运算求得结果. 解答: 解: (1)因为 为钝角且 cosα<0. 再由 sin2α+cos2α=1,求得 cosα=﹣ . ,∴ ,α

(2)原式=



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,注意 cosα 的符号,属于中档题.

18.已知向量 =(1,2) , =(x,1) (1)若< , >为锐角,求 x 的范围; (2)当( +2 )⊥(2 ﹣ )时,求 x 的值. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由于< , >为锐角,可得 出即可. (2)由( +2 )⊥(2 ﹣ ) ,可得( +2 )?(2 ﹣ )= 数量积运算性质、模的计算公式即可得出. 解答: 解: (1)∵< , >为锐角,∴ 解得 x>﹣2,且 . }. =x+2>0,且 与 不共线,即 2x﹣1≠0. ﹣ +3 =0,再利用 =x+2>0,且 与 不共线,即 2x﹣1≠0.解

∴x 的范围是{x|x>﹣2,且 (2)∵( +2 )⊥(2 ﹣ ) , ∴( +2 )?(2 ﹣ )= ∵ = , ,



+3

=0,

∴2×5﹣2×(x2+1)+3(x+2)=0, 化为 2x2﹣3x﹣14=0, 解得 x=﹣2 或 . 点评: 本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、向量夹角公式、向量共线定理,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ) (A>0,0<φ<π)在 x= (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; (3)若 x∈[ ,0],求 f(x)的值域.

时取得最大值 4.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)直接利用正弦函数的周期公式,求 f(x)的最小正周期; (2)利用函数的最值求出 A,通过函数经过的特殊点,求出 φ,然后求 f(x)的解析式; (3)通过 x∈[ ,0],求出相位的范围,利用正弦函数的值域直接求 f(x)的值域.

解答: 解: (1) (2)因为函数 f(x)=Asin(3x+φ) (A>0,0<φ<π) , 在 x= 时取得最大值 4, = ,k∈Z, .

所以 A=4 且 即 φ=

,∵0<φ<π,∴φ= ) . 时,

f(x)=4sin(3x+ (3)



, f(x)的值域为 点评: 本题考查三角函数的基本性质,函数的解析式的求法,正弦函数的值域的求法,考 查计算能力.

20. (12 分)已知 大值以及此时 x 的值.

,f(x)=

.求 f(x)的最

考点: 数量积的坐标表达式;三角函数的最值. 专题: 平面向量及应用. 分析: 把向量的坐标代入数量积公式,换元后利用配方法求最值. 解答: 解:由知 ,

所以 f(x)=

=sin2x+cosx=﹣cos2x+cosx+1.

设 cosx=t,t∈[﹣1,1] 则 y= .

当 t= ,即 或 ,k∈Z 时, . 点评: 本题考查了数量积的表达式,考查了换元法,训练了利用配方法求函数的最值,是 基础题. 21. (12 分) 如图所示, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, PD=AB=2, E,F,G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:PA∥面 EFG; (2)求三棱锥 C﹣EFG 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据面面平行的性质推出线面平行; (2)利用等积法 VC﹣EFG=VG﹣CEF 进行求解即可. 解答: (1)证明:∵E、G 分别是 PC、BC 的中点 ∴EG 是△PBC 的中位线 ∴EG∥PB 又∵PB?平面 PAB,EG?平面 PAB ∴EG∥平面 PAB ∵E、F 分别是 PC、PD 的中点 ∴EF∥CD 又∵底面 ABCD 为正方形 ∴CD∥AB ∴EF∥AB 又∵AB?平面 PAB,EF?平面 PAB ∴EF∥平面 PAB 又 EF∩EG=E ∴平面 EFG∥平面 PAB ∵PA?平面 PAB ∴PA∥平面 EFG (2)解:∵底面 ABCD 为正方形 ∴GC⊥CD

∵PD⊥平面 ABCD ∴GC⊥PD 又∵CD∩PD=D ∴GC⊥平面 PCD ∴GC 为三棱锥 G﹣PEF 的高 ∵PD=AB=2 ∴VC﹣EFG=VG﹣CEF= = . 点评: 本题主要考察了面面平行的判定定理的应用,线线平行、线面平行、面面平行的相 互转化, 及利用换顶点求解三棱锥的体积等知识的综合应用, 此类试题也是立体几何的重点 考察的试题类型. 22. (14 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 f(﹣1)=0,试判断函数 f(x)零点个数; (2)若对 x1x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2) ,证明方程 f(x)= 必有一个实数根属于(x1,x2) . (3)是否存在 a,b,c∈R,使 f(x)同时满足以下条件 ①当 x=﹣1 时,函数 f(x)有最小值 0;

②对任意 x∈R,都有 0≤f(x)﹣x≤ 说明理由.

若存在,求出 a,b,c 的值,若不存在,请

考点: 二次函数的性质;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数,从而得到零 点的个数; (2)若方程 f(x)= 必有一个实数根属于(x1,x2) ,则函数 g(x)

=f(x)﹣ 在(x1,x2)必有一零点,进而根据零点存在定理,可 以证明 (3)根据条件①和二次函数的图象和性质,可得 b=2a,c=a,令 x=1,结合条件②,可求 出 a,b,c 的值. 解答: 解: (1)∵f(﹣1)=0, ∴a﹣b+c=0 即 b=a+c, 故△=b2﹣4ac=(a+c)2﹣4ac=(a﹣c)2 当 a=c 时,△=0,函数 f(x)有一个零点; 当 a≠c 时,△>0,函数 f(x)有两个零点. 证明: (2)令 g(x)=f(x)﹣ ∵g(x1)=f(x1)﹣ = ,…(6 分)

g(x2)=f(x2)﹣ ∴g(x1)?g(x2)= ∵f(x1)≠f(x2) , 故 g(x1)?g(x2)<0 ∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一个实根. 即方程 f(x)=

=

必有一个实数根属于(x1,x2) .﹣﹣﹣﹣(8 分)

解: (3)假设 a,b,c 存在,由①得

=﹣1,

=0

∴b=2a,c=a.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)

由②知对任意 x∈R,都有 0≤f(x)﹣x≤ 令 x=1 得 0≤f(1)﹣1≤0 ∴f(1)=1 ∴a+b+c=1 解得:a=c= ,b= ,…. (10 分) 当 a=c= ,b= 时,f(x)= x2+ x+ = (x+1)2,其顶点为(﹣1,0)满足条件①,

又 f(x)﹣x= x2﹣ x+ = (x﹣1)2,对任意 x∈R,都有 0≤f(x)﹣x≤ 足条件②.

,满

∴存在 a=c= ,b= ,使 f(x)同时满足条件①、②. …. (12 分) 点评: 本题考查函数零点个数与方程根的个数问题, 以及存在性问题的处理方式, 属于较 难的题目.


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