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直线与椭圆位置关系专题经典讲义


直线与椭圆的位置关系专题讲义
知识点 1:直线与椭圆位置关系、弦长问题:
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2 2 整理得到关于 x(或 y)的一个一元二次方程 Ax ? Bx ? C ? 0 (或 Ay 2 ? By ? C ? 0 ) 当_______ ?直线 l 与椭圆相交; 当_______ ?直线 l 与椭圆相切; 当__

_____ ?直线 l 与椭圆相离。 x2 y2 若直线 l : y ? kx ? b 与椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 相交于 A,B 两点, a b
将直线方程 y ? kx ? b (或 x ? my ? b )代入椭圆方程: 弦长公式:

例 2、直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x2/9+y2/m=1 总有公共点,求实数 m 的取值范围是( ) A、1/2≤m<9 B、9<m<10 C、1≤m<9 D、1<m<9

练习、若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m

| AB |? ____________ 或 | AB |? ____________
焦点弦:若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦; 通径: 若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴, 此时焦点弦叫通径。 通径公式为: __________ . 例 1.当 m 为何值时,直线 y=x+m 与椭圆 例 3、求直线 x-y+1=0 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 截得的弦长 16 4

x2 y2 ? ? 1 相交?相切?相离? 16 9

练习、已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,右顶点为 A,过左焦点 F1 作倾斜角为 的直线交椭圆于 6 9

M、N 两点,求弦 MN 的长及 ?AMN 的面积。

练习、直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点,则 m2=( ( A)

) (D)

1 2

(B)

2 3

( C)

3 4

4 5

-1-

知识点 2:中点弦问题(点差法)
例4

练习、已知椭圆

1 y2 x2 ? ? 1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x ? 的交点恰为这条弦的中点 M , 2 75 25

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(2,1) 椭圆 ,求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程。 16 4

求点 M 的坐标。

例 6..已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点。 a 2 b2
( )

若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为

练习、如果椭圆 A. x ? 2 y ? 0

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9
B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

A. )

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

例 5、求直线 y=x+1 被椭圆 x +2y =4 截得的弦的中点坐标。

2

2

练习、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的横坐标 为

1 ,求椭圆的方程。 2

-2-

知识点 3:椭圆中的最值问题
x2 y2 已知椭圆E: ? ? 1,P( x,y ) 是椭圆上一点 25 16 例 7.

知识点 4.直线椭圆综合问题
例 8(12 北京)已知椭圆 C:

x2 y 2 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 , 直 2 a b 2

(1)求 x+y 的最大值 (2)求点 P 到直线 x-y+10=0 的距离的最小值。

线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值 3

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最小距离 练习:求椭圆 4 3

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 练习【12 陕西】已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

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x2 y 2 例 9.(2013 课标全国 2)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2 ? 2 =1 (a>b>0)右焦点的直线 a b 1 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2
(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.

例 10(2014 新课标 2)设 F1 ,F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上 a 2 b2

一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。 (I)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(II)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b

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直线与椭圆的位置关系专题基础训练
一、选择题 1.已知椭圆 C: x ? 4 y ? 4 ,过点 P ? ?2,0? 与椭圆 C 只有一个交点的直线方程是
2 2

坐标原点,则△OAB 的面积为______________





(A)x+2=0

(B)x-2=0
2 2

(C)y+2=0

(D) y-2=0 ( (D)不确定 ( (D) 10 ( ) ) )

x2 ? y 2 ? 1的一个右焦点作倾斜角为 45 ? 的直线 l ,交椭圆于 A 、 B 两点.设 O 为坐 2 标原点,则 OA ? OB 等于 。
12.经过椭圆 三、简答题

2.直线 y ? kx ? k ? 1 与椭圆 (A)相切
2 2

x y ? ? 1 的位置关系为 9 4
(C)相离

(B)相交

x y ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 3. 椭圆 16 4
(A)3
2

13、已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 A,B 2

(B) 11
2

(C) 2 2

4.直线 y ? x ? 1 被椭圆 x ? 2 y ? 4 所截的弦的中点坐标是 (A)(

两点,求|AB|及 ?F2 AB 的面积

2 2 1 1 1 1 1 1 , - ) (B)(- , ) (C)( , - ) (D)(- , ) 3 3 3 2 3 3 3 2 x2 y 2 ? ? 1 ,椭圆内一点 P(4, 2) ,则以 P 为中点的弦所在的直线的斜率是 5.已知椭圆 ( 36 9 1 1 (A) (B)- (C)2 (D)-2 2 2
9 6. 设定点 F ( -3) 、 F ( 3) , 动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? (a ? 0) , 则点 P 的轨迹是 1 0, 2 0, a



( )

A.椭圆 二、填空题 7.方程

B.线段

C.不存在

D.椭圆或线段

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 m 的取值范围为 9 ? k k ?1



2 2 14. 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .

x2 y 2 + = 1 的焦点 F1 、 F2 , P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△ F1 PF2 的面积 8. 椭圆 25 9
为 ____________ 9. 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆” ,则黄金椭圆的离心率为 .

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点 若 10.(浙江卷 13)已知 F1、F2 为椭圆 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =
11.(海南卷 15)过椭圆



x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为 5 4
-5-

x2 ? 1? ? y 2 ? 1,内有一条以点 P ?1, ? 为中点的弦 AB ,求 AB 所在的直线 l 的方 15.已知椭圆方程为 2 ? 2?
程及 AB 的弦长。

17. 椭 圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a 2 b2
4 14 PF , | ?2 | 3 3 .

PF1 ? F F PF ? | 1 ,2| 1

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直 线 l 的方程.

18.已知圆 B : ( x ? 1) ? y ? 16 及点 A(1, 0) ,M 为圆 B 上任一点,线段 AM 的垂直平分线与线段
2 2

16、已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆, a ? 3c ,若椭圆被直线 x+y+1=0 截得的弦的中点的
2

横坐标是 ?

2 ,求椭圆的方程。 3

BM 的交点为 P ,设点 P 的轨迹为曲线 C 。 (1)求曲线 C 的轨迹方程; 3? (2)过点 (?2, 4) 且倾斜角为 的直线与曲线 C 交于 E , F 两点,O 为原点,求 ?OEF 的面积; 4 (3) 过点 (1, ?1) 的直线 l 与曲线 C 交于 R, S 两点, 且线段 RS 被点 (1, ?1) 平分, 求直线 l 的方程。
y
6

4

2

P

M

?1
5

B

o
2

1
A
5

x

4

-6-

直线与椭圆的位置关系专题能力提高
y2 1.设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x + 2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 L 与 E 相交于 A、 b
2

B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 ⑴求 AB ⑵若直线 L 的斜率为 1,求 b 的值。

3.(2013 年高考陕西卷(文) )已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

4.椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (I)求椭圆 C 的方程; 2.椭圆 C :

1 3 , 且点(1, )在该椭圆上. 2 2

x y 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过 (2, 0) 点。 2 a b 2

2

2

(II)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 ?AOB 的面积为 在原点 O 且与直线 l 相 切的圆的方程.

6 2 ,求圆心 7

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 设直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C 交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 若 ?OAB 直角三角形,求 m 的值。

-7-

5. (2013 年高考天津卷(文) )设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且 2 a b 3
4 3 . 3

与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与 圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

x2 y2 6.设直线 l : y ? x ? b 与椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? 1) 相交于 A , B 两点,且 l 过椭圆 C 的右焦 a a ?1
点,若以 AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点,求该椭圆 C 的方程。

8.[2014· 北京卷] 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小值.

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