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高三文科数学数列专题


高三文科数学复习资料
——《数列》专题
1.等差数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n ,已知 a10 ? 30, a 20 ? 50 . (1)求通项 a n ; (2)若 S n ? 242 ,求 n ; (3)若 bn ? a n ? 20 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最小值.

2.等差数列 {a n }

中, S n 为前 n 项和,已知 S 7 ? 7, S15 ? 75 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 bn ?

Sn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . n

3.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , a n ? (1)求证:数列 {bn } 为等差数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式.

a n ?1 1 (n ? 1) ,记 bn ? . 1 ? 2a n ?1 an

4.在数列 ?a n ?中, a n ? 0 , a1 ? (1)求证数列 ?

1 ,且当 n ? 2 时, a n ? 2S n ? S n ?1 ? 0 . 2

?1 ? ? 为等差数列; ? Sn ?

(2)求数列 ?a n ?的通项 a n ; (3)当 n ? 2 时,设 bn ? ?

1 2 1 n ?1 ? (b2 ? b3 ? ? ? ? ?b n ) ? . a n ,求证: 2(n ? 1) n ? 1 n n

5.等差数列 {a n } 中, a1 ? 8, a4 ? 2 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 S n ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an | ,求 S n ;

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(3)设 bn ?

1 (n ? N *) , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N *) ,是否存在最大的整数 m 使得对任 n(12 ? a n )

意 n ? N * ,均有 Tn ?

m 成立,若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由. 32

6.已知数列 {log 2 (a n ? 1)} 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 . (1)求 {a n } 的通项公式; (2)证明:

1 1 1 ? ? ... ? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

7.数列 {an } 满足 a1 ? 29, an ? an ?1 ? 2n ? 1(n ? 2, n ? N ) .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

an ,则 n 为何值时, {bn } 的项取得最小值,最小值为多少? n
2

8.已知等差数列 {a n } 的公差 d 大于 0 ,且 a 2 ,a 5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 {b n } 的前 n 项和 为 T n ,且 T n? 1 ? b n . (1)求数列 {a n } , {b n } 的通项公式; (2)记 c n ? a n bn ,求证:对一切 n ? N ? ,有 c n ?

1 2

2 . 3

9.数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? 3n . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)数列 {an } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在, 请说明理由. 10. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,设 an 是 S n 与 2 的等差中项,数列 {bn } 中, b1 ? 1 ,点 P(bn , bn?1 ) 在 直线 y ? x ? 2 上. (1)求数列 {a n } , {b n } 的通项公式

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(2)若数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,比较

1 1 1 与 2 的大小; ? ?? ? B1 B2 Bn

(3)令 Tn ?

b b1 b2 ? ? ? ? n ,是否存在正整数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立?若存在, a1 a2 an

求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 11. 设数列 {an } . {b n } 满足: a1 ? b1 ? 6, a 2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3 ,且数列 {a n ?1 ? a n }

(n ? N *) 是等差数列,{bn-2}是等比数列.
(Ⅰ)求数列 {a n } , {b n } 的通项公式;

1 (Ⅱ)是否存在 k ? N * ,使 a k ? bk ? (0, ) .若存在,求出 k;若不存在,说明理由. 2
12. 将等差数列 {an } 的项按如下次序和规则分组,第一组为 a1 ,第二组为 a2 , a3 ,第三组为 a4 , a5 , a6 , a7 , 第四组 ? ,第 n 组共有 2n?1 项组成,并把第 n 组的各项之和记作 Pn (n ? 1, 2,3,?) ,已知 P2 ? ?36 ,

P4 ? 0.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若以 P , P2 , P ,? , Pn 为项构成数列 {Pn } ,试求 {Pn } 的前 8 项之和 A8 (写出具体数值). 1 3

13. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2a n ? (?1) ⑴写出求数列 {an } 的前 3 项 a1 , a 2 , a3 ; ⑵求数列 {an } 的通项公式; ⑶证明:对任意的整数 m>4,有

n

, n ? 1.

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a4 a5 am 8

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参考答案
1. a n ? 2n ? 10 ; n ? 11 ; Tn 的最 小值为:-20. 2. a n ? n ? 3 ; Tn ? 13. (1) a1 ? 1 , a 2 ? 0 , a3 ? 2 ; (2) a n ?

n 2 ? 9n . 4

2 n?2 [2 ? (?1) n?1 ] 3
) 由 已 知 得 :



3

1 3. a n ? . 2n ? 1 1 4. a n ? ? 2 (n ? 2) . 2n ? 2n
5. S n ? ?

1 1 1 3 1 1 1 ? ??? ? [ 2 ? 3 ? ? ? m?2 ] a4 a5 am 2 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1) m

? 9n ? n
2

2

(n ? 5)

?n ? 9n ? 40 (n ? 5)
n

; m ? 7.

3 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ? ? ? ? ? ? m?2 ] 2 3 9 15 33 63 2 ? (?1) m

6. a n ? 2 ? 1 . 7. a n ? n ? 28 ; n ? 5 时,最小为
2

53 . 5

8. a n ? 2n ? 1 , bn ? 9. a n ? 6 ? 2
n n ?1

2 1 n ?1 ?( ) . 3 3

? 3 ;不存在.

10. a n ? 2 ; bn ? 2n ? 1 ;存在 m ? 3 . 11. a n ?

1 1 1 1 1 ? [1 ? ? ? ? ??] 2 3 5 11 21 1 1 1 1 1 ? [1 ? ? ? ? ??] 2 3 5 10 20 1 1 (1 ? m?5 ) 1 4 2 2 1 1 4 2 ? [ ?5 ] ? [ ? ? ? m?5 ] 1 2 3 5 5 2 2 3 1? 2 13 1 1 m?5 13 104 105 7 ? ? ? ) ? ? ( ? ? . 15 5 2 15 120 120 8


n 2 ? 7n ? 6 1 n?1 ;bn ? 4( ) ? 2 ; 不存在. 2 2

1 1 1 7 ? ?? ? ? ( m>4). a4 a5 am 8

12. a n ? 2n ? 23 ; 59415.

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