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2015佛山一模理科数学参考答案


2015 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案

1
C

2
C

3
B

4
A

5
D



6
A

7
B

8
A

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. [必做题] 9. 1 [选做题] 14. 2 10. ? ??, ?2? 15.

?4, ???

11. ?

1 或1 2

12.

96 (或 0.1536 ) 625

13. 10

2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ)依题意得 所以 f ?



?? ? ? π ,解得 ? ? 2 ,所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,??????2 分 ? 4? ?

3 2 1 2 6? 2 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? .???4 分 ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin cos ? cos sin ? 2 2 2 2 4 3 4 3 4 ?6? ?3 4? ? ? 5? ? 3? ? 2x ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 ? ,列表如下:????????6 分 2 2 4 4 4 ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? x 2 8 8 8 8 2 ? 5? ? ? 3? 2x ? ? ? 0 ?? 4 4 2 4 2
y
画出函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?

2 2

0

?1

0

1

2 2

???8 分

? ? ?? 上的图像如图所示! , ? 2 2? ? y
1
1 2

?

?
2

?

3? 8

?

?
8

O
?1 2
?1

?
8

3? 8

?
2

x

???10 分

由图象可知函数 y ? f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? 3? ? ? , ? 上的单调递减区间为 ? ? , ? ? , ? , ? .????12 分 ? 2 2? ? 2 8? ? 8 2?

17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3 分);频率分布直方图(6 分) (Ⅱ) 支持,理由如下:

?1 ? 19 2013 年 11 月的优良率为: 20 ? ? ? 0.005 ? 0.005 ? 0.015 ? 0.010 ? ? , ????8 分 ?3 ? 30
2014 年 11 月的优良率为:

26 , ????9 分 30
佛山一模(理科数学) 第 1 页 共 5 页

因此

26 19 7 ? ? ? 23.3% ? 20% ????11 分 30 30 30
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布表 分组 频数

所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了 20 多个百分点”.???????12 分
频率 1 15 7 30 2 5 1 6 1 30 1 10 2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图
频率 组距

?20, 40?
?40, 60?

2 7 12 5 1 3

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 20 40 60 80 100 120 140 AQI

?60, 80? ?80,100?

?100,120?

?120,140?

18.【解析】(Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC ,

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 AD ? PC , 因为 BC // AD ,所以 BC ? PC ,即 ?PCB ? 90? ,从而△ PBC 为直角三角形.??????5 分 说明:利用 PC ? 平面 AMD 证明正确,同样满分! (Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD 平面 ABCD ? AD ,
P z

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .??????6 分 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则

M A O C D y

P 0, 0, 3 , A ? 0, ?1,0? , D ? 0,1,0? , C PC ?

?

?

?

3, 0, 0 ,

?

B ? ??????7 分 由 PM ? ? PC ? ? ? 3, 0, ? 3 ? 可得点 M 的坐标为 ? 3? , 0, 3 ? 所以 AM ? ? 3? ,1, 3 ? 3? ? , DM ? ? 3? , ?1, 3 ? 3? ? ,

?

3, 0, ? 3

3? ,??????9 分

?

x

? 3? x ? y ? ? ?n ? AM ? 0 ? 设平面 MAD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ,即 ? ? ? 3? x ? y ? ?n ? DM ? 0 ?

? ?

3 ? 3? z ? 0 3?

? 3? ? z ? 0

? ?1 ? z ?x ? 解得 ? ? ,令 z ? ? ,得 n ? ? ? ?1,0, ? ? ,??????11 分 ? ?y ? 0
显然平面 PAD 的一个法向量为 OC ? 依题意 cos n, OC ?

?

3, 0, 0 ,??????12 分
3 ? ? ? 1? ? 2 5 1 ,解得 ? ? 或 ? ? ?1 (舍去), 5 3

?

n ? OC n OC

?

? 2 ? ? ? ? 1? ? 3
2

所以,当 ? ?

1 2 5 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 .??????14 分 3 5

佛山一模(理科数学) 第 2 页 共 5 页

[传统法]由(Ⅰ)可知 AD ? 平面 POC ,所以 AD ? OM , AD ? OP , 所以 ?POM 为二面角 P ? AD ? M 的平面角,

2 5 P ,??????8 分 5 ? 5 在△ POM 中, sin ?POM ? , PO ? 3 , ?OPM ? , 4 5 M ?? ? 所以 sin ?PMO ? sin ? ?POM ? ? A 4? O ? D ? ? 3 10 ,???10 分 B C ? sin ?POM cos ? cos ?POM sin ? 4 4 10 PM PO 6 PM 3 ? 由正弦定理可得 ,即 ,解得 PM ? ,??????12 分 ? sin ?POM sin ?PMO 3 5 3 10 5 10 PM 1 ? , 又 PC ? PO2 ? OC2 ? 6 ,所以 ? ? PC 3 1 2 5 所以,当 ? ? 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 .??????14 分 3 5 5 19.【解析】(Ⅰ)当 n ? 2 时, S2 ? 4a2 ? 2 ,解得 a2 ? ; ??????????????1 分 6 11 当 n ? 3 时, S3 ? 9a3 ? 6 , 解得 a3 ? ; ????????????????2 分 12 (Ⅱ)方法一:当 n ? 2 时, Sn ? n2 ? Sn ? Sn?1 ? ? n(n ?1) ,整理得
即 cos ?POM ?

?n

2

? 1? S n ? n 2 S n ?1 ? n(n ? 1) ,即

? n ? 1? Sn ? nSn?1 ? 1
n n ?1

?????????????????5 分

所以数列 ?

? ? n ? 1? S n ? ? 是首项为 1 ,公差为1 的等差数列. ?????????????????6 分 n ? ?

? n ? 1? Sn 所以
n

n2 ? n ,即 Sn ? n ?1

?????????????????7 分

代入 Sn ? n2an ? n(n ?1) 中可得 an ? 1 ? 方法二:由(Ⅰ)知: a1 ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, an ?

1 . n ? n ? 1?

?????????????????8 分

1 5 11 1 , a2 ? , a3 ? ,猜想 an ? 1 ? ,?????????????4 分 2 6 12 n ? n ? 1?

1 1 ? 1? ,猜想成立; 2 1? ?1 ? 1?

?????????????????5 分

* ②假设 n ? k k ? N ,猜想也成立,即 ak ? 1 ?

?

?

1 ,则 k ? k ? 1?

2 当 n ? k ? 1 时,有 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? ? k ? 1? ak ?1 ? ? k ? 1? k ? k ak ? k ? k ? 1? 2

佛山一模(理科数学) 第 3 页 共 5 页

整理得 ? k ? 2? ak ?1 ? kak ? 2 ,从而

? k ? 2 ? ak ?1 ? kak ? 2 ? k ? ?1 ?
?
即 n ? k ? 1 时猜想也成立.

?

? 1 1 1 ? 2 ? k ? 2 ? ,于是 ak ?1 ? 1 ? ? k ? k ? 1? ? k ?1 ? k ? 1?? k ? 2? ?

所以对于任意的正整数 n ,均有 an ? 1 ? (Ⅲ) 由(Ⅱ)得 Sn ? 当 k ? 2 时,bk ? 当 n ? 1 时, T1 ?

1 . n ? n ? 1?

?????????????????8 分

n2 n?2 , bn ? 2 , n ?1 n ? n ? 1?

????????????????9 分

k ?2 k ?2 1 k ?k 1 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ???11 分 k ? k ? 1? k k (k ? 1) k k (k ? 1) k (k ? 1) ? k k ?1 ?
2

3 5 ? 成立; 2 2

???????????????????12 分

当 n ? 2 时,所以 Tn ? 综上所述,命题得证.

3 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 2 3 ? ? 3 4 ?

1 ?? 5 2 5 ?1 ?? ? ? ?? ? ? ? n n ? 1 ?? 2 n ?1 2

??????????????????????????????14 分

20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线 E 为双曲线,所以 m ? m ?1? ? 0 ,解得 0 ? m ? 1 , 所以实数 m 的取值范围为 ? 0,1? .???????????????????4 分 (Ⅱ)结论: l 与曲线 E 相切.?????????5 分 证明:当 m ? 4 时,曲线 E 为
2

x2 y 2 ? ? 1 ,即 3x2 ? 4 y 2 ? 12 , 4 3

2 设 P ? x0 , y0 ? ,其中 ? x0 ? 1? ? y0 ? 16 ,??????????????6 分

y ? x0 ? 1 y0 ? , ? ,直线 AP 的斜率为 k ? 0 ,????????????7 分 x0 ? 1 2? ? 2 当 y0 ? 0 时,直线 l 与曲线 E 相切成立.
线段 PA 的中点为 Q ? 当 y0 ? 0 时,直线 l 的方程为 y ?
2

2 y0 x ?1 ? x ?1 ? x ?1 x 2 ? y0 ?1 ,?9 分 ? ? 0 ? x ? 0 ? ,即 y ? ? 0 x? 0 2 y0 ? 2 ? y0 2 y0

2 2 2 因为 ? x0 ? 1? ? y0 ? 16 ,所以 x0 ? y0 ?1 ? 2x0 ? 14 ,所以 y ? ?

x0 ? 1 x ?7 ,??????10 分 x? 0 y0 y0

? x ?1 x ?7? x? 0 代入 3x ? 4 y ? 12 得 3 x ? 4 ? 0 ? ? 12 , y0 ? ? y0
2 2
2

2

化简得 ?4 ? x0 ? 1? ? 3 y0 ? x ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 4 ? x0 ? 7 ? ? 12 y0 ? 0 ,????12 分
2

?

2

?

2

2

2

2 即 ? x0 ? 7 ? x ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 16 ? x0 ? 1? ? 0 , 2 2

所以 ? ? 64 ? x0 ? 1?

2

? x0 ? 7 ?

2

? 4 ? x0 ? 7 ? ? 16 ? x0 ? 1? ? 0
2 2

所以直线 l 与曲线 E 相切.????????????????????14 分 说明:利用参数方程求解正确同等给分!

佛山一模(理科数学) 第 4 页 共 5 页

21.【解析】(Ⅰ)当 a ? ?1 时,函数 f ? x ? 的定义域是 ? ?1,0?

?0, ??? ,??????1 分

x ? ln ? x ? 1? 对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? x ? 1 2 ,??????????????????2 分 x x ? ln ? x ? 1? ,只需证: x ? 0 时, g ? x ? ? 0 . 令 g ? x? ? x ?1 1 1 x 又 g? ? x ? ? ? ?? ? 0 ,????????????3 分 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? x ? 1?
故 g ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数,所以 g ? x ? ? g ? 0? ? ? ln1 ? 0 ??????????5 分 所以 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数. ???????????????????6 分 (Ⅱ)由题意知, f ? ? x ?

? 1,????????????????7 分 1 a ? ln ?1 ? a ? ? 1 , ? ln ?1 ? a ? ? 0 ?????????????8 分 即 1? a 1? a a 1 1 ? ln ?1 ? a ? , a ? 1 ,则 t ? ? a ? ? 令 t ?a? ? ? ? 0 ,?????????????9 分 2 1? a ?1 ? a ? 1 ? a
x ?1

故 t ? a ? 是 ? ??,1? 上的增函数,又 t ? 0? ? 0 ,因此 0 是 t ? a ? 的唯一零点,

a ? ln ?1 ? a ? ? 0 有唯一实根 0 ,所以 a ? 0 ,?????????????10 分 1? a x [说明]利用两函数 y ? 与 y ? ln ?1 ? x ? 图象求出 a ? 0 (必须画出大致图象),同样给至 10 分. 1? x x x ln ? x ? 1? ln e ? 1 ? 1 x ln e x ln e ?1 ?1 (Ⅲ)因为 x , 故原不等式等价于 ,???11 分 ? x ? ? e ? 1 e ?1 e x ?1 x ex ?1 ln ? x ? 1? 由(Ⅰ)知,当 a ? ?1 时, f ? x ? ? 是 ? 0, ??? 上的减函数,?????????????12 分 x x 故要证原不等式成立,只需证明:当 x ? 0 时, x ? e ? 1, x x 令 h ? x ? ? e ? x ?1,则 h? ? x ? ? e ?1 ? 0 , h ? x ? 是 ? 0, ??? 上的增函数,??????????13 分
即方程

?

?

?

?

x x 所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 x ? e ? 1,故 f ? x ? ? f e ? 1 ,

x ln ? x ? 1? ln ? e ? 1 ? 1? x 即 ??????????????????????14 分 ? ? x x x e ?1 e ?1

?

?

佛山一模(理科数学) 第 5 页 共 5 页


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