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高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程

一、学习任务 1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式,了解直线的倾斜角的 范围;理解直线的斜率和倾斜角之间的关系,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 3. 掌握直线方程的几种形式

(点斜式、斜截式、两点式及一般式)的特点与适用范围,能根据 问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系. 4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想,能用解方程 组的方法求两直线的交点坐标. 5. 理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式,并能进行简单应用;会求两条平行直线间的 距离. 二、知识清单
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算

三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述: 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角(angle of inclination).直线倾斜角α 的取值范围为0 ? ≤ α < 180 ? .

直线斜率 直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).斜率常用小写字母k 表示,即k = tan α. 倾斜角是90? 的直线没有斜率.我们得到经过两点P1 (x1 , y 1 ),P2 (x2 , y 2 )(x1 ≠ x2 ) 的直线斜率 公式k = 直线的方程 点斜式:直线 l 经过点P0 (x 0 , y 0 ),且斜率为k ,设点P (x, y) 是直线 l 上不同于点P0 的任意一

y2 ? y1 . x2 ? x1

y?

P (x, y) 0 y ? y0 点,因为直线 l 的斜率为k ,由斜率公式得k = ,即y ? y 0 = k(x ? x0 ),我们把个方程 x ? x0 叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form),当直线 l 的倾斜角为90? 时,直线没
有斜率,它的方程不能用点斜式表示. 斜截式:如果直线 l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0, b),代入直线的点斜式方程得 y ? b = k(x ? 0),即y = kx + b,我们把直线 l 与y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线 l 在y 轴上 的截距(intercept).此方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式(slope intercept form).当直线 l 的倾斜角为90? 时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示. 两点式:

0 ( 0 , y0 )

y 1 ≠ y 2 )的直线方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式(two-point form). y x 截距式: + = 1 ,a ,b 分别是直线在x轴,y 轴上的截距,我们把此方程称之为直线的截距 a b
式方程,简称截距式. 一般式:我们把关于x ,y 的二元一次方程Ax + By + C = 0(其中A ,B 不同时为0 )叫做直线 的一般式方程,简称一般式(general form).

y ? y1 x ? x1 ,这是经过两点P (x1 , y 1 ) ,P (x2 ,y 2 )(其中x1 ≠ x2 , = ? y2 y1 x2 ? x1

例题: 已知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围为 45? < α < 135 ? ,则其斜率的取值范围是 . ? ? ? ? ? ? 解:(?∞, ?1) ∪ (1, +∞). 设直线 l 过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45? ,得到直 线 l 1 ,那么 l 1 的倾斜角为( ) ? ? A.α + 45 B.α ? 135 C.135 ? ? α D.当 0 ? ≤ α < 135 ? 时,倾斜角为 α + 45? ;当 135 ? ≤ α < 180 ? 时,倾斜角为 α ? 135 ? . 解:D 根据题意,画出图形,如下图所示.

因为 0 ? ≤ α < 180 ? ,结合图形可知,需按 α 和 135 ? 的大小分成两类. 已知直线经过点 A(?a, 6),B(1, 3a),且斜率为 12,求 a 的值. 解:由题意得

3a ? 6 = 12 ,所以 3a ? 6 = 12 + 12a,解得 a = ?2 . 1+a

求证:A(1, 5)、B(0, 2)、C (2, 8) 三点共线. 证明:利用斜率公式计算出 AB 和 AC 两条直线的斜率.

5?2 8?5 = 3 ,kAC = = 3. 1?0 2?1 因为 kAB = kAC ,又过同一点 A ,所以 A 、B 、C 三点共线. kAB =
已知两点 P (?3, 4) ,Q(3, 2),过点 A(1, 0) 的直线 l 与线段 P Q 有公共点. (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

(2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解:如下图:

4?0 2?0 = ?1 ,kAQ = = 1. ?3 ? 1 3?1 (1)要使直线 l 与线段 P Q 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k ≤ ?1 或 k ≥ 1. (2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 P A 与 AQ 的倾斜角之间,又 P A 的倾斜角是 135 ? ,QA 的倾斜角是 45? ,所以 α 的取值范围是 45? ≤ α ≤ 135 ? .
由题意可知 kPA = 给出下列四个命题: ①一条直线必是某个一次函数的图象. ②一次函数 y = kx + b 的图像必是一条不过原点的直线. ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则此方程叫做这条直线的方程. ④以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这条直线叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解:A 对于①,一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线,但任意一条直线不一定是某个一次函数的图 像,如直线 x = 2 不是一次函数的图象,故不正确; 对于②,函数 y = kx + b,当 b = 0 时,直线过原点,故不正确; 对于③④,方程是直线的方程和直线是方程的直线应该满足两条:以一个方程的解为坐标的点都 是这条直线上的点,反过来,这条直线上所有点的坐标都是方程的解,这两个条件缺一不可,如 第一、三象限角平分线上的点都是方程 (x + y)(x ? y) = 0 的解,但是此方程不是第一、三象限 角平分线的方程,又如以方程 y = x + 1(x ≥ 0) 的解为坐标的点都在直线 y = x + 1 上,但方 程 y = x + 1(x ≥ 0) 不是直线 y = x + 1 的方程,故不正确. 下列命题中的真命题是( ) A.过定点 P0 (x 0 , y 0 ) 的直线都可用方程 y ? y 0 = k(x ? x0 ) 表示 B.过定点 A(0, b) 的直线都可用方程 y = kx + b 表示 C.过任意两个点 P1 (x 1 , y 1 )、P2 (x2 , y 2 ) 的直线都可用方程 (y ? y 1 )(x2 ? x1 ) = (x ? x1 )(y 2 ? y 1 ) 表示 D.不过原点的直线都可用方程 解:C 点斜式方程、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线,故A、B错,截距式方程除了不能表示过原 点的直线之外,还不能表示与坐标轴平行的直线,故D错. 直线 ax + by + c = 0 经过第一、二、四象限,则 a 、b 、c 应满足( ) A.ab > 0 ,bc < 0 B.ab < 0 ,bc > 0 C.ab > 0 ,bc > 0 D. ab < 0 ,bc < 0 解:A 直线经过第一、二、四象限,则直线的斜率小于零,纵截距大于零,所以 ab > 0 ,bc < 0 .

y x + = 1 表示 a b

根据下列条件,分别写出直线的方程:

√3 ,与 x 轴交点的横坐标为 ?7; 2 (2)过点 P (?1, 2) 且与 x 轴有相同斜率; (3)过点 A(?5, 0) 和点 C (0, 2) ; (4)过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
(1)斜率为 解:(1)由直线与 x 轴交点的横坐标为 ?7,得直线过点 (?7, 0) ,又斜率为 方程为 y ? 0 =

√3 [x ? (?7)],整理得 2 √3 x ? 2y + 7√3 = 0.

√3 ,所以直线 2

(2)因为 x 轴的斜率为 0 ,而直线与 x 轴有相同的斜率,所以它的斜率 k = 0,故直线方程 为 y ? 2 = 0 × [x ? (?1)],即

y ? 2 = 0. y?0 x ? (?5) ,整理得 = 2?0 0 ? (?5)

(3)过点 A(?5, 0) 和点 C (0, 2) 的两点式方程为

2x ? 5y + 10 = 0.
(4)设直线与两坐标轴的交点为 (a, 0)、(0, b). (i)当 ab ≠ 0 时,直线方程为

y x + = 1 ,由点 P 在直线上得 a b 2 3 + =1 a b ??①

又由直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等得

|a| = |b|

??②

由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = ?1 ,b = 1 ,所以直线方程为 x + y ? 5 = 0 或 x ? y + 1 = 0. (ii)当 a = b = 0 时,直线过原点和 P (2, 3) ,所以直线方程为 3x ? 2y = 0 . 综上可知,所求直线方程为 x + y ? 5 = 0 或 x ? y + 1 = 0 或 3x ? 2y = 0 . 已知三角形的顶点是 A(?5, 0) ,B(3, ?3) ,C (0, 2) ,求 AC 边所在直线的方程,以及该边上的 中线所在直线的方程. 解:过点 A(?5, 0) ,C (0, 2) 的两点式方程为

2x ? 5y + 10 = 0 ,这就是 AC 边所在直线的方程. ?5 + 0 5 ? ? ?x = =? , 2 2 即 D(? 5 , ?1). 设边 AC 的中点为 D(x, y),则 ? 0 + 2 2 ? ?y = = 1, 2 y ? (?3)

y?0 x ? (?5) ,整理得 = 2?0 0 ? (?5)

2 y ? (?3) x?3 由两点式得直线 BD 的方程为 ,整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ,这就是 = 1 ? (?3) ?5 ? 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程.

? ?

2.直线与直线的位置关系 描述: 直线 l 1 :y = k1 x + b 1 ,l 2 :y = k2 x + b 2 . 当 l 1 与 l 2 平行时,则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ; 当 l 1 与 l 2 重合时,则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ; 当 l 1 与 l 2 相交时,则 k1 ≠ k2 ,特别地,若两直线垂直,则 k1 ? k2 = ?1 . 2 2 2 直线 l 1 :A 1 x + B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ,l 2 :A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 . 当 l 1 与 l 2 平行时,则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ; 当 l 1 与 l 2 重合时,则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ; 当 l 1 与 l 2 相交时,则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ,特别地,若两直线垂直,则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 . 例题: 直线 3x ? 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y ? 3m = 0 的位置关系是( A.平行 B.重合 C.相交 D.不确定 解:两直线的斜率分别为 交. )

3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 ? ,因为方程 ? 无解,所以两直线相 = 2 3 3 2

已知直线 l 1 :ax + 2y + 6 = 0,l 2 :x + (a ? 1)y + a2 ? 1 = 0,求适合下列条件的 a 的取值 范围. (1)l 1 与 l 2 相交; (2)l 1 与 l 2 平行; (3)l 1 与 l 2 重合; (4)l 1 与 l 2 垂直. 解:(1)因为 l 1 与 l 2 相交,所以 A 1 B 2 ? A 2 B 1 ≠ 0 ,即 a(a ? 1) ? 2 ≠ 0 ,所以 a ≠ ?1 且 a ≠ 2,所以 a ∈ R 且 a ≠ ?1 且 a ≠ 2 时,l 1 与 l 2 相交. (2)因为 l 1 与 l 2 平行,所以 A 1 B 2 ? A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 ? B 2 C1 ≠ 0,即

{

a(a ? 1) ? 2 = 0, 2(a2 ? 1) ? 6(a ? 1) ≠ 0,

解得 a = ?1 ,所以 a = ?1 时,l 1 ∥ l 2 . (3)因为 l 1 与 l 2 重合,所以 A 1 B 2 ? A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 ? B 2 C1 = 0,即

{

a(a ? 1) ? 2 = 0, 2(a2 ? 1) ? 6(a ? 1) = 0, 2 . 3

解得 a = 2,所以 a = 2 时,l 1 和 l 2 重合. (4)因为 l 1 与 l 2 垂直,所以 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ,即 a + 2(a ? 1) = 0 ,解得 a =

3.直线的相关计算 描述: 两条直线交点坐标

用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解,若方程组有惟 一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时这两 条直线平行. 两点间距离公式 两点P1 (x 1 , y 1 ),P2 (x 2 , y 2 )间的距离公式|P1 P2 | = √(x2 ? x1 )2 + (y 2 ? y 1 )2 ,特别地,原点

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? ? O 与任一点P (x, y) 的距离|OP | = √x2 + y 2 .
点到直线的距离

点P (x 0 , y 0 ) 到直线l :Ax + By + C = 0(A 2 + B 2 ≠ 0) 的距离d =

两条平行线间的距离 直线l 1 :Ax + By + C1 = 0(A 2 + B 2 ≠ 0) 与直线l 2 :Ax + By + C2 = 0(A 2 + B 2 ≠ 0) 之间的 距离d =

|Ax0 + By 0 + C | ? ? ? ? ? ? ? . √A 2 + B 2

|C1 ? C2 | ? ? ? ? ? ? ?. √A 2 + B 2

例题: 已知点 A(?1, 2) ,B(2, √7 ) ,在 x 轴上求一点 P ,使 |P A| = |P B|,并求 |P A| 的值. 解:设所求点为 P (x, 0) ,于是有

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? |P A| = √(x + 1)2 + (0 ? 2)2 = √x2 + 2x + 5 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? |P B| = √(x ? 2)2 + (0 ? √7 )2 = √x2 ? 4x + 11
由 |P A| = |P B|,得 x 2 ? 4x + 11 = x2 + 2x + 5,解得 x = 1. 所以所求点 P 的坐标为 (1, 0),则 |P A| = √(1 + 1)2 + (0 ? 2)2 = 2√2 . 求 y = √(x + 1)2 + 1 + √(x ? 3)2 + 4 的最小值. 解:由题原式可整理得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y = √[x ? (?1)] 2 + [0 ? (?1)] 2 + √(x ? 3)2 + (0 ? 2)2 ,
前者表示点 (x, 0) 到点 (?1, ?1) 的距离,后者表示点 (x, 0) 到点 (3, 2) 的距离,代数式的几 何意义为 x 轴上的点 P (x, 0) 到点 A(?1, ?1) 和点 B(3, 2) 的距离之和,结合图象可知代数 式的最小值为 AB 两点之间距离,即 y min = d(A, B) = √(3 + 1)2 + (2 + 1)2 = 5.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

已知一直线经过点 (1, 2),并且点 (2, 3) 和 (0, ?5) 到该直线的距离相等,求此直线的方程. 解:假设所求直线的斜率存在,设其方程为 y ? 2 = k(x ? 1),即 kx ? y ? k + 2 = 0. 由题意,得

|2k ? 3 ? k + 2| |0 + 5 ? k + 2| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 |k ? 1| = |k ? 7|,解得 k = 4. √1 + k 2 √1 + k2 此时直线方程为 4x ? y ? 2 = 0. 当所求直线斜率不存在时,可知直线方程为 x = 1,此时,点 (2, 3) 和点 (0, ?5) 到直线的距

离相等且为 1 . 综上,所求直线方程为 4x ? y ? 2 = 0 或 x = 1.

(2, 3)

(0, ?5)

求两平行线 l 1 :3x + 4y = 2 和 l 2 :6x + 8y = 15 间的距离. 解:法一:在直线 l 1 上任取一点 P (?1,

5 ). 4 5 则点 P (?1, ) 到直线 l 2 :6x + 8y = 15 的距离即为两平行直线间的距离.因此, 4 5 ∣ ∣ ∣6 × (?1) + 8 × ? 15∣ ∣ ∣ 11 4 d= = . ? ? ? ? ? ? 10 √6 2 + 8 2
法二:将直线 l 2 的方程化为 3x + 4y ? 由两平行直线间的距离公式得

15 = 0. 2

∣ 15 ∣ ∣ 11 ∣ )∣ ∣?2 ? (? ∣ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ 2 ∣ 11 d= = = . ? ? ? ? ? ? 5 10 √3 2 + 4 2
求解下列问题: (1)求点 A(3, 2) 关于点 B(?3, 4) 的对称点 C 的坐标; (2)求直线 3x ? y ? 4 = 0 关于点 P (2, ?1) 对称的直线 l 的方程; (3)求点 A(2, 2) 关于直线 2x ? 4y + 9 = 0 的对称点的坐标. (4)求直线 a :2x + y ? 4 = 0 关于直线 l :3x + 4y ? 1 = 0 对称的直线 b 的方程. 解:(1)设 C (x, y) ,由中点坐标公式得

? ? 3 + x = ?3, 解得 { x = ?9, ? 2 2 + y y = 6. ? ? ? = 4, 2

故所求的对称点的坐标为 C (?9, 6) . (2)设直线 l 上任一点为 (x, y),它关于点 P (2, ?1) 的对称点 (4 ? x, ?2 ? y) 在直线 3x ? y ? 4 = 0 上. 所以 3(4 ? x) ? (?2 ? y) ? 4 = 0,整理得 3x ? y ? 10 = 0 . 因此,所求直线 l 的方程为 3x ? y ? 10 = 0 . (3)设 B(a, b) 是 A(2, 2) 关于直线 2x ? 4y + 9 = 0 的对称点,根据直线 AB 与已知直线 垂直,且线段 AB 的中点在已知直线 2x ? 4y + 9 = 0 上,则有

? ? 1 ? b ? 2 = ?1, a = 1, 解得 { ? 2 a?2 a + 2 b + 2 b = 4. ? ?2 ? ?4? + 9 = 0, 2 2

所以所求的对称点坐标为 B(1, 4). (4)由 { 2x + y ? 4 = 0, 得交点 E(3, ?2),E 也在直线 b 上. 3x + 4y ? 1 = 0, 方法一:在 a :2x + y ? 4 = 0 上取点 A(2, 0),设 A 关于 l 的对称点为 B(x0 , y 0 ) ,则有

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

0 + y0 2 + x0 ? ? ? ? x0 = 4 , ?x × +4× ? 1 = 0, 2 2 5 解得 ? ? y0 ? 0 4 ? ? ?y = ? 8 . ? ? = , 0 3 5 x0 ? 2 4 8 , ? ),故由两点式得直线 b 的方程为 2x + 11y + 16 = 0. 5 5 方法二:设 b 上的动点 P (x, y) 关于 l :3x + 4y ? 1 = 0 的对称点为 Q(x0 , y 0 ),则有
所以 B (

? ? = 7x ? 24y + 6 , ? 3 × x + x0 + 4 × y + y 0 ? 1 = 0, ? x0 2 25 解得 ? ? y ? y2 4 ?24x ? 7y + 8 0 ? ? ? ? y0 = ? = , . 3 x0 ? x 25

因为 Q(x 0 , y 0 ) 在 a :2x + y ? 4 = 0 上,所以

7x ? 24y + 6 ?24x ? 7y + 8 + ? 4 = 0 ,整理得 2x + 11y + 16 = 0,即 25 25 2x + 11y + 16 = 0 为直线 b 的方程. 2×

四、课后作业

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1. 已知点 A (?2, ?1) , B (a, 3) 且 |AB| = 5 ,则 a 的值为 ( A.1
答案: C

)
D.?1 或 5

B.?5

C.1 或 ?5

2. 已知 △ABC 的三个顶点 A (1, 5),B (?2, 4) ,C (?6, ?4),M 是 BC 边上一点,且 △ABM 的面 积等于 △ ABC 的面积的 A.5
答案: A

1 ,则线段 AM 的长度等于 ( 4 5 ? B. C.√? 85 2

)
D.

? ? √85 2

解析: 先由三角形面积间的比例关系,求得点

M 在 BC 上的位置,为 BC 上靠近点 B 的四等分点, 计算得点 M 的坐标为 (?3, 2) ,最后利用两点间的距离公式求 AM 的长即可.

3. 已知 A 、 B 、 C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A (1, 2),B (4, 1),C (0, ?1) ,则 △ABC 是

(

)
B.等腰直角三角形 D.以上均不对

A.等腰三角形 C.直角三角形
答案: B

4. 点 P (x, y) 在直线 4x + 3y = 0 上,且满足 ?14 ? x ? y ? 7 ,则点 P 到坐标原点距离的取值范围 是 (

)

A.[0, 5]

B.[0, 10]

C.[5, 10]

D.[5, 15]

答案: B 解析:

4 7 x ,于是有 ?14 ? x ? 7 ? ?6 ? x ? 3 ,于是 3 3 5 ? ? ? ?? ? 2 2 P O = √x + y = |x| ∈ [0, 10] . 3 y=?

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