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2.1.1合情推理 1.归纳推理


高二年级理科数学教·学案

第二章

推理与证明
编写人:

2.1.1

合情推理
编号:001

1.归纳推理

学习目标 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的 基本方法与步骤,并把它们用于对问

题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推 广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 学习过程: 一、课前预习: 1、 称为推理 2、通过对本节引言的三个推理案例的预习,思考几个推理各有什么特点?

3、 (1)蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 (2)三角形的内角和是 180? ,凸四边形的内角和是 360? ,凸五边形的内角和是 540? 由此我们猜想:凸边形的内角和是 (n ? 2) ?180? (3) ?

2 3

2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ?1 a a?m , ? , ? ,? ,由此我们猜想: ? ( a, b, m 均为正实数) 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 b b?m

这种 的推理,称为归纳推理.(简称:归纳) 归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

二、课堂训练: 例 1 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ?

1 (n ? N ? ) , f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) , (n ? 1) 2

试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f ( n) 的值。

1

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例 2:已知数列{an}的第 1 项 a1=1 且 an ?1 ? 式

an (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公 1 ? an

例 3:数一数图中的凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.

2

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三、练习: 1. 观察下列等式,并从中归纳出一般的结论: (1)

1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 4 ? , ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? ...... 2 2 2 6 3 2 6 12 4 2 6 12 20 5

(2)1=1,1-4=-(1+2) ,1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4) ,……

2、凸 n 边形有多少条对角线? 凸四边形有 2 条对角线 凸五边形有 5 条对角线,比凸四边形多 3 条; 凸六边形有 9 条对角线,比凸五边形多 4 条; …… 凸 n 边形有多少条对角线? 猜想:

3.在同一平面内,两条直线相交,有一个交点; 三条直线相交,最多有几个交点? 四条直线相交,最多有几个交点? …… 六条直线相交,最多有几个交点? n 条直线相交,最多有几个交点?

4、 已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 ? 2 ,3 ? ? 3 ,4 ? ?4 , 3 3 8 8 15 15 a a ?6 , (a, b均为实数),请推测 a ? __ b ? __ b b

? ? ? ,若 6 ?

总结:归纳推理的几个特点: 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.

3

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四、课后巩固:

? 1 、 已 知 f (n ) ? 1

1 1 1 3 5 ? ? ??? ? n ( ? N? , ) 经 计 算 : f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , 2 3 n 2 2 7 f (16) ? 3, f (32) ? ,推测当 n ? 2 时,有__________________________. 2
3 3 2 ? 2 ? 2 ? , sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 。 2 2

2、已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?

观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之。

3、观察(1) tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1
? ? ? ? ? ?

(2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1 。
? ? ? ? ? ?

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。

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