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三角函数的图象与性质及函数y=Asin(ωx+φ)

时间:2015-12-28


三角函数的图象与性质及函数 y=Asin(ω x+φ ) A组 1.函数 y = 2 sinx + 2 的最大值和最小值分别为 ( A. 2, ?2 ? 4 2.要得到函数 y = sin (2x ? A.向左平行移动 C.向左平行移动 3.函数 y =
?
3

) C. 2, 0 D. 4,

B. 4, 0

?
3

)的图象,只要将函数 y = sin2x 的图象 ( B.向右平行移动 D.向右平行移动
?
3

)

个单位 个单位

个单位 个单位

?
6

?
6

2cos x ?1 的定义域____________________,值域________________,当

y = 0 时 x

的集合为______________________. 4.函数 f ( x ) ? cos 2x ? 2 3 sin xcos x 的最小正周期是_________. 5.函数 y = 3cos ( 2 x ? 3 )的增区间是____________________. 6.函数 y = cos2x ? 3cosx 的最小值是_________ 7.函数 y = tan (2x + 4 )的图象与 x 轴交点的横坐标是___________________,与 y 轴交点的 纵 坐 标 是 _______ , 周 期 是 ________ , 定 义 域 为 ___________________ , 它 的 奇 偶 性 是 ___________________. B组 8.如图,给出函数 y = f(x) = Asin (?x + ?) (其中 A>0,?>0,|?|< 2 ) 的图象的一段,
? ?
1

?

则函数 f(x)的解析式为______________________. 9.给出下列命题: ① 存在实数 x,使得 sinxcosx = 1 成立; ② 存在实数 x,使得 sinx + cosx = 成立; ③ 函数 y = sin ( ④ 方程 x =
?
8 5? ? 2x)是偶函数; 2 5? )的图象的一条对称轴方程; 4
3 2

是函数 y = sin (2x +

⑤ 若?,?是第一象限角,且? > ?,则 tan? > tan?. 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上)

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?π ? ?π π? 10.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

11.已知函数 f(x) = asinx + acosx + 1 ? a (a ? R),x ? [0,

? ],若定义在非零实数集 2

上的奇函数 g(x)在(0,+ ?)上是增函数,且 g(2) = 0,求当 g[ f(x)] < 0 恒成立时实数 a 的 取值范围.

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三角函数的图象与性质及函数 y=Asin(ω x+φ )(参考答案) 1.B 2.D. sin 2(x ? ) 3.定义域为[2k? ?
? 3

π 6

,2k? +

? 3

] (k ? Z);值域为[0,1];{x | x = 2k? ?
1 2

? 3

,k ? Z}.

2cosx-1≥0,2cosx≥1,cosx≥ , x 在 0°~60°( )之间,cosx 是减函数. 4. ? 5.[4k? ? 6. ?2 7.
k? 2 4? 3

π 3

,4k? +

2? 3

] (k ? Z).

? 8 ,(k ? Z);1;T = 2 ;{x | x ?
?
3 x?

?

?

k? 2

+ 8 ,k ? Z};非奇非偶函数.

?

8.y = 2sin( 9.③④

?
6

)

? ?π ?? 10. 【解】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ?
π? ? ? 1 ? 2 s? i x n? 2 ?. 3? ?
π π 2π π? ? ?π π? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .
?π π? (Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .

11. 【解】f(x) = 2 asin(x +

? ) + 1 ? a, 4

据已知条件,由 g(x) < 0 可得 x ? (? ?,? 2)∪(0,2), 由题意,要 g[ f(x)] < 0,即要 f(x) ? (? ?,? 2)或 f(x) ? (0,2)恒成立. 【情形一】若 2 asin(x +

? ? ) + 1 ? a < ? 2 恒成立,则 a[ 2 sin(x + ) ? 1] < ? 3, 4 4

第3页

因为 x ? [0,

? ? ],所以 2 sin(x + ) ? [1, 2 ], 2 4 ? 时,不满足.所以 a < 2
?3 2 sin( x ? ) ? 1 4

当x = 0或x =

?

= h(x),

而 h(x)无最小值.∴这时的 a 不存在. 【情形二】若 0 < 1, 只需 a[ 2 sin(x +

2 asin(x +

? ? ) + 1 ? a < 2 恒成立,则? 1 < a[ 2 sin(x + ) ? 1] < 4 4

? ) ? 1]的最大值和最小值同时在 (?1,1) 中,即 4

?? 1 ? a[ 2 ? 1] ? 1 ,即得? 1 ? 2 < a < 1 + 2 .综上, ? 1 ? 2 < a < 1 + 2 . ? ? 1 ? a [ 1 ? 1 ] ? 1 ?

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