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高一必修一数学函数2014


高一必修一数学函数 2014-2015 学年度月考卷
一、选择题 1.计算 2log6 3 ? log6 4 的结果是( A、 log6 2 B、2 ) D、3 )

C、 log6 3

2.已知方程 2 x ? 1 ? a 有两个不等实根,则实数 a 的取值范围是( A. ?? ?,0 ? 3.设 ? ? ?? 2,?1, 个

数为( A.0 ) B.1 C.2
0.3

B. ?1,2 ?

C. ?0,?? ?

D. ?0,1?

? ?

1 ? ,1,2,3? ,则使幂函数 y ? x a 为奇函数且在 (0, ??) 上单调递增的 a 值的 2 ?

D.3 , c ? 0.30.2 ,则 a,b,c 三者的大小关系是( C.a>b>c D.c>b>a ) )

4.已知 a= 0.3 ,b= 2 A.b>c>a

B.b>a>c

5.[2014· 汕头模拟]函数 y=

e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e? x

6.[2014· 太原模拟]函数 y=( A.(-∞,4) C.(0,4]

1 2 )x +2x-1 的值域是( 2

)

B.(0,+∞) D.[4,+∞)

7.[2014· 浙江模拟]设 a>0,b>0,( A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b

)

8.已知 a ? log 0.6 0.5 , b ? ln 0.5 , c ? 0.60.5 .则( (A) a ? b ? c 9.化简 A.5 B. (B) a ? c ? b 的结果为( C.﹣ (C) c ? a ? b ) D.﹣5

) (D) c ? b ? a

x ? 0, ?log 1 x, ? 2 10.已知函数 f ( x ) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不等的实根,则实 x ? 2 , x ? 0, ?
数 k 的取值范围是 ( A. (0, ??) ) C. (1, ??)
? 1 2

B. (??,1)

D. (0,1] ,则 C. a ? b ? c D. a ? c ? b
| x|

11.已知 a ? log2 3 , b ? log 1 3 , c ? 3
2

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

12.已知函数 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 2 ?1 ,则函 数 F ( x) ? f ( x)? | lg x | 的零点个数是( ) A.9 B.10 C.11 D.12

y

O

10

x

13.已知函数 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 2 ?1 ,则函
| x|

数 F ( x) ? f ( x)? | lg x | 的零点个数是( )

A.9

B.10

C.11

D.18

y

O

10

x

14.已知 f (3x ) ? 4 x log2 3 则 f (1) ? f (2) ? f (22 ) ? ? ? f (2n ) 的值等于( A. 2n(n ? 1) B. n(n ? 1)
a

)

C. 4 log2 n(n ? 1)
b

D. 4n(n ? 1)
c

?1? ?1? 15.设 a , b, c 均为正数,且 2 ? log1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c .则( ?2? ?2? 2 2
A. c ? a ? b C. a ? b ? c 16. 已知函数 f ( x) ? ? A. ?1 B. 2
x



B. c ? b ? a D. b ? a ? c

?log 2 x, x ? 0,
x ?2 ,

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ,则 a ? ( 2



C. ?1或 2

D.1 或 ? 2

17.函数 f ? x ? ? a A. 1

? 0 ? a ? 1? 在区间[0,2]上的最大值比最小值大 4 ,则 a 的值为(
C.

3



2

B.

7 2

2 2

D.

3 2


18.在对数函数 y ? log a

x(a ? 0, 且a ? 1) 中,下列描述正确的是(

①定义域是 (0, ??) 、值域是 R ②图像必过点(1,0). ③当 0 ? a ? 1 时,在 (0, ??) 上是减函数;当 a ? 1 时,在 (0, ??) 上是增函数. ④对数函数既不是奇函数,也不是偶函数. A. ①② B. ②③ C. ①②④
x

D. ①②③④ )

19.指数函数 f ( x) ? (a ? 1) 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. a ? 1 20.函数 A. (-1,+∞) B. a ? 2 C. 0 ? a ? 1 的定义域是( D. 1 ? a ? 2 )

B. [-1,+∞) C. (-1,1)∪(1,+∞) D. [-1,1)∪(1,+∞) 21.已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2))=( A. -5 B. -1 C. 3 D. 4 22.函数 的定义域是( ) )

A. B. C. D. 23.若函数 A. B. C. D. 24.已知函数 ,若 ,则实数 ( ) 的定义域为 R,则 a 的取值范围是( )

A. B. C.2 D.9 25.已知函数 (a 为常数).若 在区间[-1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围

是( A. B. C. D.



26.若函数 ( A. B. C. D. 27.若 A. B.3 C. D.4 28.设点 A. B. C. D. 29.设函数 在曲线 满足 )

是函数

的反函数,其图象经过点

,则



满足

,则





上,点 Q 在曲线

上,则

最小值为(



,若

,则实数 a 的取值范围是(

) .

A.

B. C. D. 30.设 A. B. C. D. 31.已知 x,y 为正实数,则( A. B. C. D. 32.已知 A. B. C. D. 33.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米,的单位是秒,那么物体在 3 秒
2

,则(

)



,则(



末的瞬时速度是( A. 7 米/秒

) C. 5 米/秒 D. 8 米/秒 )

B. 6 米/秒

34.若 f ( x) ? ? A. [?1, ??) 35.已知 a ? 2

1 2 x ? b ln( x ? 2) 在 (?1, ??) 上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1, ??) ,b ? 2 C. (??, ?1] ,c ? ? D. (??, ?1)

log 3 4.1

log3 2.7

?1? ? ?2?

log3 0.1



A.a>b>c

B.b>a>c
log 3 4.1

C.a>c>b
log3 2.7

D.c>a>b

36.已知 a ? 2 A. a>b>c

,b ? 2

,c ? ?

?1? ? ?2?

log3 0.1

则 D.c>a>b )

B.b>a>c

C.a>c>b

37.函数 y ? ln ?

? x ? sin x ? ? 的图象大致是( ? x ? sin x ?

38.函数

x ? sin x ? x ? sin x ? y ? ln ? ? 的图象大致是( x ? sin x ? x ? sin x ?

)

39.设 a ? 0 且 a ? 1 .若 log a x ? sin 2 x 对 x ? (0, A. (0,

?
4

) 恒成立,则 a 的取值范围是(



?
4

)

B. (0,

?
4

]

C. (

?

40.设 a ? 0 且 a ? 1 .若 log a x ? sin 2 x 对 x ? (0, A. (0,

?

,1) ? (1, ) 4 2

?

D. [

? ,1) 4


?
4

)

B. (0,

?
4

4

) 恒成立,则 a 的取值范围是(

]

C. (

?

,1) ? (1, ) 4 2

?

D. [

? ,1) 4

41.如果 log a 8 ? log b 8 ? 0 ,那么 a、b 间的关系是() A. 0 ? a ? b ? 1 42.若 a ? B. 1 ? a ? b C. 0 ? b ? a ? 1 ) C. c ? b ? a D. b ? a ? c D. 1 ? b ? a

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( 2 3 5
B. c ? a ? b

A. a ? b ? c

43. 设命题 p :函数 y ? sin( 2 x ? 称;

?
3

) 的图象向左平移

? 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对 6


x 命题 q :函数 y ? 3 ? 1 在 ?? 1,??? 上是增函数.则下列判断错误 的是( ..

A. p 为假

B. ?q 为真

C. p ? q 为假

D. p ? q 为真

44.已知函数 f ? x ? ? ( x-a)( x-b) (其中 a ? b ),若 f ( x ) 的图象如下图(左)所示,则

g ? x ? ? a x ? b 的图象是 (

)

45.若 0 ? m ? n ,则下列结论正确的是
m n A. 2 ? 2
m n B. ( ) ? ( )





1 2

1 2

C. log 1 m ? log 1 n
2 2

D. log2 m ? log2 n )

46.函数 f ( x) ? a

x ?1

? 4( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像过一个定点,则这个定点坐标是(

A. (5,1) B. (1,5) C. (1,4) D. (4,1) 47.函数 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 的单调递减区间为( A. (-≦,-3) B. (-≦,-1) ) D.(-3,-1)

C.(1,+≦)

1 ? 2 x ? (1 ? a)3x ? ( x ? 1) lg 3 对任意的 x ? (??,1] 恒成立,则 a 的取值范 48.若不等式 lg 3
围是( A. ( ??, 0] ) B. [1, ??) C. [0, ??) D. (??,1]
a 2 ? ? log a 的

49.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log 3 a log 1 ? 值为( )(A)12
1

3

3 1 0

(B)10

(C)8

(D) 2 ? log3 5

50.已知 a=3 2 ,b=log 1

1 1 ,c=log 2 ,则() 3 3 2

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

1

51.已知 a=3 2 ,b=log 1 A. a>b>c

1 1 ,c=log 2 ,则( 3 3 2
B.b>c>a

) C. c>b>ac
?0.8

D. b>a >c )

?1? 52.已知 a ? 2log 5 2 , b ? 2 , c ? ? ? ?2?
1.1

,则 a 、 b 、 c 的大小关系是(

A. c ? b ? a C. a ? b ? c

B. a ? c ? b D. b ? c ? a
1.1

53.已知 a ? 2log 5 2 , b ? 2 , c ? ? A. c ? b ? a B. a ? c ? b
x

?1? ? ?2?

?0.8

,则 a 、 b 、 c 的大小关系是( C. a ? b ? c D. b ? c ? a )



54.若函数 y ? f ? x ? 是函数 y ? 3 的反函数,则 f ?

?1? ? 的值为( ?2?

A. ? log2 3

B. ? log3 2
x

C.

1 9

D. 3

55.已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ,且过点(2,4) , f ( x ) 的反函数记为 y ? g ( x) , 则 g ( x) 的解析式是: ( A. g ( x) ? log4 x ) C. g ( x) ? 2
x

B. g ( x) ? log2 x

D . g ( x) ? 4

x

2 56. 若 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 y ? (a ? 1) x ? x 与函数 y ? loga x 在同一坐标系内的图像可能

是(

)

57.设 a ? 0, b ? 0, e是自然对数的底数,则( A.若 e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

) B. 若e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

C. 若e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

D. 若e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

58.函数 y ?

log 2 (2 x ?1) 的定义域是
3

A.[1,2] B. [1, 2) 59.函数 y ?

C. ( ,1]

1 2

D. [ ,1]

1 2

log 2 (2 x ?1) 的定义域是
3

A.[1,2] B. [1, 2)

C. ( ,1]

1 2

D. [ ,1]

1 2

60.若函数 y=f(x)图象上的任意一点 p 的坐标(x,y)满足条件|x|≥|y|,则称函数具有性质 S, 那么下列函数中具有性质 S 的是( (A).f(x)=tanx (C).f(x)=sinx )
x

(B). f ( x) ? e -1 (D).f(x)= ln(x+1)

x ? y ? g1 l0 1 0x ? 61. 定义两个实数间的一种运算 “? ” :

?

y

未找到引用源。 , x 、y ? R . ? 错误!

对 任 意 实 数 a 、 b 、 c , 给 出 如 下 结 论 : 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 a ?b ? b ? a ; ②

? a ? b? ? c ? a ? ?b ? c ? ;③ ? a ?b ??c ? a ? ?c ? ? b??c ? .错误!未找到引用源。其中正确的
个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2
1

D. 3

1 0.2 62.设 a ? log 1 3 , b ? ( ) , c ? 2 3 ,则( ) . 3 2

A.a<b<c

B.c< b < a C.c< a < b
? 1 2

D.b< a < c

63.已知 x ? ln ? , y ? log5 2, z ? e A. x ? y ? z

,则 C. z ? y ? x ) D. y ? z ? x

B. z ? x ? y
2

64.已知 0 ? a ? 1 ,则 a 、 2 、 log 2 a 的大小关系是(
a a 2 A. a ? 2 ? log 2 a a 2 C. log 2 a ? a ? 2
2 B. 2 ? a ? log 2 a

a

2 D. 2 ? log 2 a ? a

a

65.已知函数

?2 x , x ? 0 ,则 f (2014) ? ( f ( x) ? ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0 ?



A.2014

B.

4029 2

C.2015

D.

4031 2

?2 x , x ? 0 ? 66.设函数 f ( x) ? ? ,若对任意给定的 y ? (2, ??) ,都存在唯一的 x ? R ,满足 ? ?log 2 x, x ? 0

f ( f ( x)) ? 2a2 y 2 ? ay ,则正实数 a 的最小值是(
A.
1 4

) D.4

B.

1 2

C.2

67.如果 log a 8 ? log b 8 ? 0 ,那么 a、b 间的关系是 A. 0 ? a ? b ? 1 68.若 a ? B. 1 ? a ? b C. 0 ? b ? a ? 1 D. 1 ? b ? a

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则 2 3 5
B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. b ? a ? c

A. a ? b ? c 二、填空题

? 1 ? 2 69.[2014· 北京西城模拟]已知函数 f(x)= ? x , 0 ? x ? c ,其中 c>0.那么 f(x)的零点是 2 ? ? x ? x, ?2 ? x ? 0
________;若 f(x)的值域是 ? ?

? 1 ? , 2 ,则 c 的取值范围是________. ? 4 ? ?

2 ? ? x ? 1 , x ? 1, f ( x) ? k 有三个不同的实根,则实 70.已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 log 1 x , x ≥ 1. ? ? 2

数 k 的取值范围是

. .

71.函数 f ( x) ? ln( x2 ? x ? 1 ? x2 ? x ? 1) 的值域为

72.已知函数 f ( x) 的反函数为 g ( x)=+ 1 2lgx ? x>0? ,则 f (1) ? g (1) ? —_ 73.不等式 log3 (2 x ? 1) ? 1 的解集为
?

. . 对称,则函数 的

74.幂函数 f ( x) ? x 经过点 P(2,4),则 f ( 2) ? 75.函数 的图象与 的图象关于直线

递增区间是_________. 76.函数 y ? lg( x ?1) ? 1? | x | 的定义域为 .

x 2 77.已知函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1 )的反函数,其图像过点 (a ,

a) ,

则 f ( x) ?



78.已知函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1 )的反函数,其图像过点 (a 2 , 则 f ( x) ? .

a) ,

79.如果函数 f ( x) ? loga x 的图像过点 P? , 1? ,则 lim(a ? a ? ??? ? a ) ? ________.
2 n n ??

?1 ? ?2 ?

80.函数 f ?x? ? lg 2 x ? 4 的定义域为________. 81.函数 f ?x? ? 2 x ? 1 的反函数为________. 82.已知幂函数 y ? (m2 ? 3m ? 3) xm
2

?

?

?m?2

的图像不过坐标原点,则 m 的值是___



83.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,若 a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是

? x ?1 ? 2 x ?1 1 ? 84.设 f (x)= ? 1 ,则 f [ f ( )]= 2 x ?1 ? ?1 ? x 2
85.幂函数 f(x)=xα(α∈R)过点 (2, 2) ,则 f(4)= 86.幂函数 f(x)=xα(α∈R) 过点 (2, 2) ,则 f(4)= 87.函数 的定义域是 . . .

88.每次用相同体积的清水洗一件衣物,且每次能洗去污垢的 垢在 1%以下,则 n 的最小值为_______. 89. lg 4 ? lg 50 ? lg 2 的值是____________.

3 ,若洗 n 次后,存在的污 4

90.

? lg 3?

2

-lg 9+1 ? (lg 27+lg 8-lg 1000 ) lg 0.3 ? lg1.2

=

.

91. log36 9 ? log6 12 ? . 92.方程 log2 (4 ? 3) ? x ? 1 的解 x ?
x

93.函数 y ? log 2
x

1? x 的定义域是. 1? x
.

94.方程 log2 (4 ? 3) ? x ? 1 的解 x ?

95.函数 f ( x) ?| loga x | (a ? 0, 且a ? 1) 的单调递增区间是



96.若函数 f ( x) ? a x ? x ? a(a ? 0且a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围为 97.已知 y ? loga (a ? 0, 且a ? 1)在x ??2,4? 上的最大值比最小值多 1,则 a=
x



98.若 log a 12 ? 1 ,则 a 的取值范围是 a ?1



x ?1 ? x?3 ?3e , 99.已知 f ? x ? ? ? 则f ? f ? 3? ? 的值为__________. 2 log x ? 6 , x ? 3, ? ? ? ? 3

100.函数

f ( x) ? log 1 (2 x ? x 2 ) 的定义域是_____________.
2

三、解答题 101.已知函数 f ? x ? ? log 2

2? x a ?a?x 的定义域为集合 A ,关于 x 的不等式 2 ? 2 的解集为 x ?1

B ,若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.
102.计算
3 1 ?2 ?1 0 (1) 0.027 ? (? ) ? 256 4 ? 3 ? ( 2 ? 1) 7 ? 1 3

(2)

lg 8 ? lg 125 ? lg 2 ? lg 5 lg 10 lg 0.1

103.计算:

25 ? 8 ? 3 ?1? ① ? ? ? ? (? ? e)0 ? ? ? 9 ? 27 ? ?4?
104. 函数 f(x)=

1

?

1 2

;

② 2lg5 ? lg 4 ? ln

e.

2? x 2ax a? x 的定义域为集合 A , 关于 x 的不等式 3 ? 3 (a ? R) 的解集为 B , x ?1

求使 A ? B ? A 的实数 a 的取值范围. 105. lg 4 ? lg 25 ? 4
? 1 2

? (4 ? ??? .

106.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a(?1) k ln x(k ? N ? , a ? R且a ? 0), (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 k ? 2014 时,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值;

(3)当 k ? 2013 时,证明: 对一切 x ? (0,??) ,都有

f ( x ) ? x 2 ? 2a (

1 2 ? ) x e ex 成立.

107.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 x ? 2 y ?2 ? 0 . (1)求 a 、 b 的值; (2)当 x ? 1 时, f ? x ? ?

?

?

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x

(3)证明:当 n ? N ,且 n ? 2 时,

?

1 1 ? ? 2ln 2 3ln 3

1 3n2 ? n ? 2 ? ? n ln n 2n 2 ? 2n

参考答案 1.B 【解析】 试题分析: 2log6 3 ? log6 4 ? log6 9 ? log6 4 ? log6 36 ? 2 ,选 B 考点:对数基本运算. 2.D 【解析】 试题分析: 画出 y ?| 2 ? 1| 的图象, 然后 y=a 在何范围内与之有两交点, 发现 a 属于 ?0,1? 符
x

合题意 考点:指数函数的图象,平移. 3.C 【解析】

a?0 试题分析: 因 为 y ? x a 是奇函数, 所以 a 应该为奇数, 又在 (0, ??) 是单调递增的, 所以
则只能 1,3. 考点:幂函数的性质. 4.A 【解析】 试题分析:由指数函数的单调性可知 y ? 0.3 是单调递减的所以 0.3 ? 0.3 即
x
0.5 0.2

a<c<1; y ? 2 是单调增的,所以 y ? 2
x

0.3

? 20 ? 1,即可知 A 正确

考点:指数函数比较大小. 5.A 【解析】令 y=f(x), ≧f(-x)=

e? x ? e x e x ? e? x =- =-f(x), e? x ? e x e x ? e? x

e x ? e? x e2 x ? 1 e2 x ? 1 ? 2 2 ?f(x)为奇函数,排除 D.又≧y= x = 2x = =1+ 2 x 在(-∞,0), ?x 2x e ?1 e ?1 e ?e e ?1
(0,+∞)上都是减函数,排除 B,C.故选 A. 6.C

【解析】设 t=x2+2x-1,则 y=( 因为 t=(x+1)2-2≥-2,y=( 所以 0<y=(

1 t ). 2

1 t ) 为关于 t 的减函数, 2

1 t 1 -2 ) ≤( ) =4, 2 2

故所求函数的值域为(0,4]. 7.A 【解析】≧a>0,b>0, ?2a+2a=2b+3b>2b+2b. 令 f(x)=2x+2x(x>0),则函数 f(x)为单调增函数. ?a>b. 8. (B) 【解析】 试 题
0








6

l

o

.

0.5 0 . 0 ? 0.60 ? 0.6. ? 1,?0 . 可得 a ? . ln 0.5 g 6 ? ln1 ? 0, b ? 0 0 . ? c ? 15

>

a ? c ? b .故选(B)
考点:1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 9.B

【解析】 故选 B 10.D 【解析】

=

=

=

试题分析:在 x ? (??, 0] 时, f ( x ) 是增函数,值域为 (0,1] ,在 x ? (0, ??) 时, f ( x ) 是减 函数,值域是 (??, ??) ,因此方程 f ( x) ? k 有两个不等实根,则有 k ? (0,1] . 考点:函数的图象与方程的根的关系. 11.D 【解析】 试题分析: 由对数函数的性质知 a ? 1 ,b ? 0 , 由幂函数的性质知 0 ? c ? 1 , 故有 a ? c ? b .

考点:对数、幂的比较大小 12.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 函 数 y ? f ( x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 所 以 f ( x) ? f ( x ? 2) . 因 为

F ( x) ? f ( x) ? | lgx 的零点个数等价于 | f ( x) ? lg x ? 0 方程的根的个数.即函数 y ? f ( x)
与函数 y ? lg x 的个数.又 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 2|x| ?1 .如图所示.共有 10 个交点,即选 B. 考点:1.函数的周期性.2.函数与方程的关系.3.对数指数函数的图象. 13.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 函 数 y ? f ( x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 所 以 f ( x) ? f ( x ? 2) . 因 为

F ( x) ? f ( x) ? | lgx 的零点个数等价于 | f ( x) ? lg x ? 0 方程的根的个数.即函数 y ? f ( x)
与函数 y ? lg x 的个数.又 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 2 ?1 .如图所示.共有 10 个交点,即选 B.
| x|

考点:1.函数的周期性.2.函数与方程的关系.3.对数指数函数的图象. 14.A 【解析】
x f (t ) ? 4 log3 x log2 3 ? 4 log2 x. 因此 试题分析:因为 f (3 ) ? 4 x log2 3 ,所以

f (1) ? f (2) ? f (22 ) ? ? ? f (2n ) ? 4(log2 1 ? log2 2 ? L ? log2 2 n ) ? 4(1 ? 2 ? L ? n) ? 2n(n ? 1).
考点:对数式化简 15.C 【解析】 试题分析: a , b, c 分别为方程 2 ? log1 x, ( ) ? log1 x, ( ) ? log2 x 的解,由图可知
x x x 2 2

1 2

1 2

a ? b ? c.

ab 考点:函数图像 16.C 【解析】

c

试题分析:当 a ? 0 时, f (a ) ? log 2 a ? 可得 a ? ?1 . 考点:分段函数,分类讨论的数学思想. 17.C

1 1 a ,可得 a ? 2 ;当 a ? 0 时, f ( a ) ? 2 ? , 2 2

【解析】试题分析:结合指数函数的性质,当 0 ? a ? 1 ,函数为减函数.则当 x ? 0 时,函 数有最大值 f (0) ? a ? 1 ,当 x ? 2 时,函数有最小值 f (2) ? a ,则 1 ? a ?
o 2
2

3 ,解得 4

a??

2 (负舍). 2

考点:指数函数的性质. 18.D 【解析】 试题分析:对数函数的性质可结合函数图像来进行理解.单调性,对称性都可由图可以清楚 的感知. 考点:对数函数的性质. 19.B 【解析】 试题分析:对于指数函数 y ? a ,当 a ? 1 时,函数在 R 上是增函数,当 0 ? a ? 1 时,函 数在 R 上为减函数.由题意可知: a ? 1 ? 1 即, a ? 2 . 考点:指数函数的性质. 20.C
x

【解析】由题意得

,∴

,故选 C.

21.C 【解析】 因为 f(lg(log2 10))= =f(-lg(lg 2))=5, 又 f(x)+f(-x)=8, 所以 f(-lg(lg

2))+f(lg(lg 2))=8,所以 f(lg(lg 2))=3,故选 C. . 22.C 【解析】由 得 且 .

23.A 【解析】≧函数 ? 的定义域为 R, 恒 成 立

24.C 【解析】因为 ,

所以 ? 即a ? 2. 25.B 【解析】≧

. .

?

在区间

上是增函数,则



? a ? ?1 . 26.C

【解析】≧函数 ? .

是函数

的反函数,

≧函数 y=f(x)的图象经过点 ? ? 27.C 【解析】由题意知 ? 而 ? 即 28.B 【解析】函数 与函数 互为反函数,图象关于 对称 与 , 互为反函数, 或 . , . , . .

函数

上的点

到直线

的距离为



设函数



由图象关于 29.C 【解析】若 若 则

对称得:

最小值为



,则 ,即 或

,即

,所以 ,所以 ,即

, . .故选 C.

所以实数 a 的取值范围是 30.D 【解析】由对数运算法则得



由对数函数图象得 ? 31.D 【解析】由对数运算与指数运算性质得 .

32.C 【解析】≧ 又 ? ? 33.C 【解析】 试题分析:因为 s ' ? ?1 ? 2t ,所以物体在 3 秒末的瞬时速度大小为 ?1 ? 2 ? 3 ? 5 ,故 C 正 确. 考点:导数的概念. 34.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 f ( x) ? ? ,

1 2 x ? b ln( x ? 2) 在 (?1, ??) 上 是减 函 数 , 所 以 f ?( x ) ? 0 在 2 b b ?0 在 (?1, ??) 上 恒 成 立 即 (?1, ??) 恒 成 立 , 而 f ?( x) ? ? x ? , 所 以 ?x ? x?2 x?2

2 即 b ? [( x ? 1)2 ? 1]min , 因为 y ? ( x ? 1) ? 1 在 b ? x( x ? 2) ? ( x ? 1)2 ?1 在 (?1, ??) 恒成立,

(?1, ??) 单调递增,所以 ( x ? 1)2 ?1 ? ?1 ,从而 b ? ?1 , (对于 b ? ?1 可采用检验法确定,
是否可以取到) ,故选 C. 考点:函数的单调性与导数. 35.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

l

3

o ?g

1 3? 0

l

3



o



g



4

.

1

l

1 2log3 10 ? 2log3 4.1 ? 2log3 2.7 , 2log3 10 ? ( ) log3 0.1 , 2 因此 c>a>b.比较指对数大小,首先将底数化为一
样. 考点:指对数比较大小 36.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

l

3

o ?g

1 3? 0

l

3



o



g



4

.

1

l

1 2log3 10 ? 2log3 4.1 ? 2log3 2.7 , 2log3 10 ? ( ) log3 0.1 , 2 因此 c>a>b.比较指对数大小,首先将底数化为一
样. 考点:指对数比较大小 37.A 【解析】 试题分析: 解: 因为 f ? ? x ? ? ln ?

? ? x ? sin(? x) ? ? ? x ? sin x ? ? x ? sin x ? ? ? ln ? ? ? ln ? ? ? f ? x? ? ? x ? sin x ? ? x ? sin x ? ? ? x ? sin(? x) ?

所以,函数 y ? f ? x ? 是偶函数,其图象关 y 于轴对称;应排除 B、D 又因为,当 x ? ? 0, 故选 A. 考点:1、函数的奇偶性;2、 正弦函数的性质;3、对数函数的性质量. 38.A 【解析】 试题分析: 解: 因为 f ? ? x ? ? ln ?

? ?

??

x ? sin x x ? sin x ? 时, 0 ? sin x ? x , 0 ? x ? sin x ? 1 , ln x ? sin x ? 0 2?

? ? x ? sin(? x) ? ? ? x ? sin x ? ? x ? sin x ? ? ? ln ? ? ? ln ? ? ? f ? x? ? ? x ? sin x ? ? x ? sin x ? ? ? x ? sin(? x) ?

所以,函数 y ? f ? x ? 是偶函数,其图象关 y 于轴对称;应排除 B、D 又因为,当 x ? ? 0, 故选 A.

? ?

??

x ? sin x x ? sin x ? 时, 0 ? sin x ? x , 0 ? x ? sin x ? 1 , ln x ? sin x ? 0 2?

考点:1、函数的奇偶性;2、 正弦函数的性质;3、对数函数的性质量. 39.D 【解析】 试 题 分 析 : a ?1 时 显 然 不 成 立 . 当 0 ? a ?1 时 , 结 合 图 象 可 知 :

log a

?

? sin(2 ? ) ? 1 ? log a a,? a ? . 4 4 4

?

?

考点:对数函数与三角函数. 40.D 【解析】 试 题 分 析 : a ?1 时 显 然 不 成 立 . 当 0 ? a ?1 时 , 结 合 图 象 可 知 :

log a

?

? sin(2 ? ) ? 1 ? log a a,? a ? . 4 4 4

?

?

考点:对数函数与三角函数. 41.B 【解析】 试 题 分 析 : 首 先 有 a ? 1,b ? 1, 其 次 由 log ? log ? 8 得 0 a 8 b

1 1 ? ? 0 ,则 log8 a log8 b

log8 a ? log8 b ,所以 a ? b ,故选 B.
考点:对数函数的性质. 42.B 【解析】 试题分析:≧ 2 2 ? 8 6 , 3 3 ? 9 6 ,? 2 2 ? 3 3 , ln 2 2 ? ln 33 ,? a ? b ,又 2 2 ? 3210 ,
1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

5 5 ? 2510 ,? 5 5 ? 2 2 , ln 5 5 ? ln 2 2 ,? c ? a ,综上 c ? a ? b ,选 B.
考点:指数与对数的大小比较. 43.D 【解析】 试题分析:命题 p,函数 y ? sin ? 2 x ?

1

1

1

1

1

1

? ?

??

? ? 的图像向左平移 6 个单位长度得到的函数解析式 3?
2? ? ? ? ,因为 y ? sin ? 2 x ? 3 ? ? ? ? 不是偶函数,所以不关 ?

为 y ? sin ?2 ? x ?

? ? ? ?

?? ??

2? ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? 6 ? 3? 3 ?

x 于 y 轴对称,即命题 p 为假命题.命题 q,如图作出 y ? 3 ? 1 的函数图像可以发现该函数在区

间 ? ?1,0? 上是单调递减的,在区间 ? 0, ?? ? 是单调递增的,所以命题 q 也是假命题,根据真值表 可得 p ? q 为假命题,所以 D 是错误的,故选 D 考点:命题真假 三角函数 指数函数域图像变化 真值表 44.A 【解析】 试题分析:由图可知: b ? ?1, 0 ? a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? a x ? b 的图像应是单调递减,且 由指数函数向下平移得到,故选 A. 考点:1、二次函数;2、指数函数;3、图象平移. 45.C 【解析】
x 试题分析:≧ y ? 2 与 y ? log2 x 是增函数,? 2 ? 2 , log2 m ? log2 n ,所以 A、D 错
m n

x m n 误;≧ y ? ( ) 与 y ? log 1 x 是减函数,? ( ) ? ( ) , log2 m ? log2 n ,所以 B 错 D

1 2

2

1 2

1 2

对,故选 D. 考点:指数函数的单调性. 46.B 【解析】 试题分析:令 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,则 x ? 1 时,函数 f ( x) ? a ? 4 ? 5 ,即函数图象恒过
0

一个定点 (1,5) ,故选 B. 考点:指数函数的单调性与特殊点. 47.A 【解析】
2 试题分析:由 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x ? ?3 或 x ? 1 ,? f ( x ) 的定义域为 (??, ?3)

(1, ??) .

y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 可看作由 y ? log2 u 和 u ? x 2 ? 2 x ? 3 复合而成的, u ? x 2 ? 2 x ? 3
= ( x ? 1) ? 4 在 (??, ?3) 上递减,在 (1, ??) 上递增,又 y ? log2 u 在定义域内单调递增,
2

? y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 在 (??, ?3) 上递减, 在 (1, ??) 上递增, 所以 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 的单调递减区间是 (??, ?3) ,故选 A. 考点:复合函数的单调性. 48.D 【解析】

1 ? 2 x ? (1 ? a)3x 1 ? 2 x ? (1 ? a)3x 3x 试 题 分 析 : ≧ lg ,? ? ( x ? 1) lg 3 , ? lg ? lg 3 3 3
1 ? 2 x ? (1 ? a)3x 3x ? , 3 3
?a ? (

1 ? 2x 1 ? 2x 1 x 2 x 1 ? 2x x ? 1 ) y ? ? ( ) ? ( ) y ? ,而 为减函数,?当 时,函数 取 min 3x 3x 3 3 3x

得最小值,最小值为 1,? a ? 1 . 考点:1.恒成立问题;2.函数的单调性;3.对数式. 49.B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

a5 a6 ? a4 a7 ?

18 ?9 2







log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 a10 ? log3 a1a2 ?

? a10 ? log3 (a5 a6 )5 ? log3 (9)5 ? log3 (3)10 ? 10.

考点:等比数列性质 50.A
1

【解析】因为 3 2 >1,o<log 1

1 1 <1,c=log 2 <0,所以 a>b>c,故选 A 3 3 2

【考点】指数函数和对数函数的性质. 51.A
1

【解析】因为 3 2 >1,o<log 1

1 1 <1,c=log 2 <0,所以 a>b>c,故选 A 3 3 2

考点:指数函数和对数函数的性质. 52.B 【解析】

试题分析: a ? 2log5 2 ? log5 22 ? log5 4 ? log5 5 ? 1 , 即a ?1, 由于函数 y ? 2x 在 R 上 单调递增,且 c ? ?

?1? ? ?2?

?0.8

? ? 2?1 ?

?0.8

? 20.8 , 1.1 ? 0.8 ? 0 ,所以 21.1 ? 20.8 ? 2 0 ? 1 ,即

b ? c ? 1 ,因此 a ? c ? b ,故选 B.
考点:1.指数函数与对数函数的单调性;2.利用中间值法比较大小 53.A 【解析】 试题分析: a ? 2log5 2 ? log5 22 ? log5 4 ? log5 5 ? 1 , 即a ?1, 由于函数 y ? 2 在 R 上
x

?1? 单调递增,且 c ? ? ? ?2?

?0.8

? ? 2?1 ?

?0.8

? 20.8 , 1.1 ? 0.8 ? 0 ,所以 21.1 ? 20.8 ? 2 0 ? 1 ,即

b ? c ? 1 ,因此 a ? c ? b ,故选 B.
考点:1.指数函数与对数函数的单调性;2.利用中间值法比较大小 54.B 【解析】 试题分析:由题意知 f ? x ? ? log3 x ,因此 f ? 考点:1.反函数;2.对数的运算 55.B 【解析】 试题分析:设指数函数的解析式为 y ? a .≧指数函数的图象经过点 (2, 4) ,? 4 ? a ,?
x
2

1 ?1? ? ? log3 ? ? log3 2 ,故选 B. 2 ?2?

a ? 2 ,?指数函数的解析式为 y ? 2x ,其反函数为 g ( x) ? log2 x ,故选 B.
考点:指数函数的反函数. 56.A 【解析】 试题分析:当 a ?1 时,抛物线开口向上,对数函数单调递增,又抛物线对称轴

x?

1 ? 0 ,故选 A. 2(a ? 1)

考点:函数图象.

57.B 【解析】 试题分析:对 A、B,设 f ( x) ? e x ?2 x , g( x ) ? ex ? 3 x ,这两个函数都为增函数,且 x ? 0 时 f ( x) ? ex ? 2x ? g ( x) ? e x ? 3x ,所以 g ( x) ? e x ? 3x 的图象在 f ( x) ? e x ? 2 x 的上方, 如图,当 f (a) ? ea ? 2a ? g (b) ? eb ? 3b 时,必有 a ? b .所以选 B.
y

f?x? = ex + 2?x g?x? = ex + 3?x

O
b

b a

x

对 C、D,设 f ( x) ? e x ? 2 x, g ( x) ? e x ? 3x , x ? 0 . f ?( x) ? e x ? 2 ? 0 ? x ? ln 2 ,所以

f ( x) 在 (0,ln 2) 上单调递减,在 (ln 2, ??) 上单调递增. g ?( x) ? ex ? 3 ? 0 ? x ? ln 3 ,所
以 g ( x) 在 (0, ln 3) 上 单 调 递 减 , 在 (ln 3, ??) 上 单 调 递 增 .

x?0 时

所以 f ( x ) 的图象在 g ( x) 的图象上方.作出它们的图象如图所 (ex ? 2x) ? (ex ? 3x) ? x ? 0 , 示,由图可知 a , b 的大小关系不定.
y

f?x? = ex

2 ?x

g?x? = ex

3 ?x

O b a

a

b

x

考点:函数图象的应用. 58.C 【解析】 试题分析: 根据函数定义域的要求得:?

?log 2 (2 x ? 1) ? 0 ? 3 ? ? (2 x ? 1)>0

1 ? 0<2 x ? 1 ? 1 ? <2 x ? 1 ? 1 . 2

考点: (1)函数的定义域; (1)对数函数的性质. 59.C 【解析】

试题分析: 根据函数定义域的要求得:?

?log 2 (2 x ? 1) ? 0 ? 3 ? ? 2 x ? 1>0

1 ? 0<2 x ? 1 ? 1 ? <2 x ? 1 ? 1 . 2

考点: (1)函数的定义域; (1)对数函数的性质. 60.C 【解析】 试题分析:不等式

x? y

表示的平面区域如图所示,函数 f ( x ) 具有性质 S ,则函数图像必
x

须完全分布在阴影区域①和②部分,f ( x) ? e ? 1 分布在区域①和③内,f ( x) ? ln(x ? 1) 分 布在区域②和④内, f ( x) ? sin x 图像分布在区域①和②内, f ( x) ? tan x 在每个区域都有 图像,故选 C

考点:指数、对数、三角函数的性质和图像、可行域. 61.D 【解析】
a b 试题分析:根据题中的定义,对于命题错误!未找到引用源。 ,左边 ? a ? b ? lg 10 ? 10 ,

?

?

b a 右边 ? b ? a ? lg 10 ? 10 ,左边 ? 右边,命题错误!未找到引用源。正确;对于命题②,

?

?

左边 ? ? a ? b ? ? c ? lg 10 ? 10
a

?

b

? ? c ? lg ? ?10 ?

lg 10a ?10b

?

? ? 10c ?
? ?
右 边

? lg ?10a ? 10b ? 10c ?



lg ?10b ?10c ? ? a a b c ? a ? ? b ? c ? ? a ? lg ?10b ? 10c ? ? lg ? ?10 ? 10 ? ? lg ?10 ? 10 ? 10 ? ? ?

?



































? ? a ? b ? ? c ? lg ?10a ? 10b ? ? c ? lg ?10a ? 10b ? ? lg10c ? lg ?10a ? c ? 10b ? c ? ,右边 ? ? a ? c ? ? ? b ? c ? ? lg ?10a ? c ? 10b ?c ? ,左边 ? 右边,命题③也

正确.故选 D. 考点:新定义 62. A 【解析】

a<b<c , c ? 2 3 ? 1 所以, b ? ( ) 0.2 ? (0,1) , 试题分析: 由函数的性质得到 a ? log 1 3 ? 0 ,
2

1 3

1

故选 A . 考点:幂函数、指数函数、对数函数的性质. 63.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

x ? ln ? ? ln e ? 1, y ? log5 2 ? log5 5 ? 1, z ?

1 e

?1 , 而

z?

1 1 1 1 , y ? log 5 2 2 ? log 5 4 ? ? z , 选 D. 2 2 2 2

考点:比较大小 64.B 【解析】
a 2 2 1 ? 2a ? 2 ,log2 a ? 0 , lg 试题分析: 因为 0 ? a ? 1 , 所以,0 ? a ? 1 , 即2 ? a ? o
2

a,

选B. 考点:幂函数、指数函数、对数函数的性质. 65.D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 试 题 分 析 : 由 题 意 ,

f (2014) ? f (2013) ? 1 ? f (2012) ? 2 ?
? f (?1) ? 2015 ? 2?1 ? 2015 ?
考点:分段函数的求值. 66.A 【解析】

? f (0) ? 2014

4031 ,故选 D. 2

x ) = log 2 2 x = x ;当 0 ? x ? 1 时, 试题分析: 当 x ≤0 时, f ( x ) = 2 , 值域为 (0,1], ? f (f (x)

f ( x) = log2 x ,值域为(- ? ,0],? f ( f ( x)) = 2log 2 x = x ;当 x >1 时, f ( x) = log2 x ,
值域为(1,+ ? ) ,则 f ( f ( x)) = log 2 (log 2 x) ,故 f ( f ( x)) = ?

x ?1 ? x, ,当 x ≤ ?log2 (log2 x), x ? 1

1 时, f ( f ( x)) 值域为(- ? ,1],当 x >1 时, f ( f ( x)) 值域为(- ? ,+ ? ) ,≧ a >0,?

g ( y ) = 2a2 y 2 ? ay = 2a 2 ( x ?

1 2 1 1 ) ? ,对称轴为 y ? ? ? 0 ? 2 ,故 g ( y ) 在(2,+ ? ) 4a 8 4a

上是增函数,则 g ( y ) 在 y ? (2, ??) 上的值域为( g (2) ,+ ? ) ,即( 8a 2 ? 2a ,+ ? ) ,有 题意知, 8a 2 ? 2a ≥1,解得 a ≥
1 1 ,故正实数 a 的最小值为 ,故选 A. 4 4

考点:1.指数函数的图像性质;2.对数函数图像性质;3.二次函数图像性质;4.复合函数的值 域;5.分类整合与转化化归思想. 67.B 【解析】 试 题 分 析 : 首 先 有 a ? 1,b ? 1, 其 次 由 log ? log ? 8 得 0 a 8 b

1 1 ? ? 0 ,则 log8 a log8 b

log8 a ? log8 b ,所以 a ? b ,故选 B.
考点:对数函数的性质. 68.B 【解析】 试题分析:≧ 2 ? 8 , 3 ? 9 ,? 2 ? 3 , ln 2 ? ln 3 ,? a ? b ,又 2 ? 32 ,
1 2 1 6 1 3 1 6 1 2 1 3

1 2

1 3

1 2

1 10

5 5 ? 2510 ,? 5 5 ? 2 2 , ln 5 5 ? ln 2 2 ,? c ? a ,综上 c ? a ? b ,选 B.
考点:指数与对数的大小比较. 69.-1 和 0 (0,4]
1

1

1

1

1

1

1

【解析】当 0≤x≤c 时,由 x 2 =0 得 x=0.当-2≤x<0 时,由 x2+x=0,得 x=-1,所以函 数零点为-1 和 0.当 0≤x≤c 时,f(x)= x ,所以 0≤f(x)≤ c ;当-2≤x<0 时,f(x)=x2+x =? x ?
1 2

? ?

1 1?2 1 ? 1 ? ? - 4 ,所以此时- 4 ≤f(x)≤2.若 f(x)的值域是 ? ? , 2 ? ,则有 c ≤2,即 0<c≤4, 2? ? 4 ?

即 c 的取值范围是(0,4].

70.

(?1, 0)

【解析】 试题分析: 画出原函数的图像如下图, 要使 故实数 k 的取值范围为

f ( x) ? k 有三个不同的实根, 则需要 ?1 ? k ? 0 ,

(?1, 0)

考点:1.分段函数的应用;2.函数与方程的应用. 71. ? ??,0 ? 【解析】 试题分析:由

x2 ? x ? 1 ? x2 ? x ? 1 ? 0 得 x ? 0 , 所 以 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 是 :

? 0, ?? ?
设点 P ? x, 0 ? , M ? ? ,

? 1 3? ?1 3? ? ? 2 2 ? ?, N ? ? , ? ? ? ?2 2 ?
2 2 2

u?

2 2 1? ? 3? 1? ? 3? ? ? x ? x ?1 ? x ? x ?1 ? ? x ? ? ? ? 0 ? ? x ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 ? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2

= PM ? PN ? MN ? 1 所以, f ? x ? ? 0 ,所以答案填: ? ??,0 ? 考点:1、对数函数的性质;2、数形结合的思想. 72.2 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 互 为 反 函 数 的 定 义 域 与 值 域 的 对 应 关 系 , 令 g ( x) ? 1, 则

1 ? 1 ? 2 lg x, x ? 1,? f (1) ? 1. 又 g (1) ? 1 ? 2 lg1 ? 1, 所以 f (1) ? g (1) ? 2.

考点:反函数

1 ( ,2]. 73. 2
【解析】

试题分析:因为

log3 (2 x ? 1) ? 1 ,所以

log 3 (2 x ? 1) ? log 3 3,0 ? 2 x ? 1 ? 3,

1 ? x ? 2. 2 解

1 ( ,2]. 集为 2 解对数不等式注意去对数时,真数大于零这一隐含条件.
考点:解对数不等式 74.2 【解析】
? 2 试题分析:将 P(2,4) 点坐标代入幂函数 f ( x) ? x ,可得 ? ? 2 ,所以 f ( x) ? x ,则

f ( 2 ) ? 2.
考点:函数的求值. 75.(0,2) 【解析】≧函数 ? ≧ ? 令 又≧ ? 76. (?1,1] 【解析】 试题分析:由 ? 与 的反函数为 , ,则 ,即 ,? 的图象与 互为反函数 , . , 的图象关于直线 对称

的对称轴为

,且对数的底数大于 1,

的递增区间为(0,2).

? x ?1 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . ?1? | x |? 0

考点:函数的定义域. 77. f ( x) ? log2 x 【解析】
x 试题分析:因为函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1 )的反函数,所以 f ( x) ? log a x.

因为其图像过点 (a ,

2

a) ,所以 a ? loga a2 ? 2, f ( x) ? log2 x.

考点:指数函数与对数函数互为反函数 78. f ( x) ? log2 x 【解析】
x 试题分析:因为函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1 )的反函数,所以 f ( x) ? log a x.

因为其图像过点 (a ,

2

a) ,所以 a ? loga a2 ? 2, f ( x) ? log2 x.

考点:指数函数与对数函数互为反函数 79.1 【解析】
2 ? 1,? a ? 试题分析:依题意得 log a 1

1 1 2 n .所以 lim( a ? a ? ??? ? a ) ? lim(1 ? n ) ? 1 . n ?? n ?? 2 2

考点:1.函数的知识.2.数列的求和公式.3.极限的运算. 80. x ? 2 【解析】
x 试题分析:依题意可得 2 ? 4 ? 0 .即 x ? 2 .

考点:1.函数的定义.2.对数函数的知识. 81. f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 【解析】 试题分析:由题意可得令 y ? 2 ?1 ,所以 x ? log 2 ( y ? 1) ,即函数 f ?x? ? 2 ? 1 的反函数
x

x

为 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) . 考点:1.反函数的概念.2.对数运算与指数运算. 82.1 或 2

【解析】 试题分析:由题意,得 m2 ? 3m ? 3 ? 1 ,解得 m ? 1 或 m ? 2 .当 m ? 1 时, y ? x ?2 ,满足 题意;当 m ? 2 时 y ? x0 ,满足题意,故 m ? 1 或 m ? 2 . 考点:幂函数的定义与性质.

(0, ? ?) 83.
【解析】 试题分析:作出函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的图象,如图所示.

b 而 ≧ 若 a ? b 且 f (a) ? f (b) , ? ? l ( ga? ) 1 ? (l b? g ),1即 a ? b ? ?a , ?1<a< , 0 b> ,? 0 a ? b ? ?ab ? 0 ,? a ? b 的取值范围是 (0, ? ?) .
考点:对数函数的单调性. 84.

4 13

【解析】 试题分析:先从内层算起, f ? ? ?

?1? ?2?

1 3 ? 3? ?1 ? 2 ? ? , f ? ? ? ? 2 2 ? 2?

1 ? 3? 1? ?- ? ? 2?
2

?

4 . 13

考点:分段函数求值 85.2 【解析】

1 试题分析:将点 2,,2 代入幂函数,得 2 ? 2 ,解得 ? ? ,所以 f ?x ? ? x 2 , 那么 2
?

?

?

1

f ?4? ? 4 2 ? 2
考点:幂函数的性质

1

86.2 【解析】 试题分析:将点 2,,2 代入幂函数,得 2 ?

?

?

?

2 ,解得 ? ?

1 ,所以 f ?x ? ? x 2 , 那么 2

1

f ?4? ? 4 ? 2
考点:幂函数的性质 87.{ 【解析】 试题分析: ? }

1 2

?3x ? 1 ? 0 1 ,所以定义域为 {x x ? ? , 且x ? 2} 3 ?2 ? x ? 0

考点:函数的定义域 88.4 【解析】

1 , 试题分析:因为每次洗去后存在的污垢为原来的 4 所以洗 n 次后,存在的污垢为原来的 1 1 ? 1%, n 4 ,由 4 n 解得 n ? 4 ,因此 n 的最小值为 4 .
考点:指数函数实际应用 89.2 【解析】 试题分析: lg 4 ? lg 50 ? lg 2 ? lg 考点:对数的基本运算. 90.-

4 ? 50 ? lg100 ? 2 . 2

3 2

【解析】

3 3 3 (1 ? lg 3)( lg 3 ? 3lg 2 ? ) ( ? lg 0.3) ? ? lg1.2 3 2 2 ? 2 试题分析:原式 ? ?? . lg 0.3 ? lg1.2 lg 0.3 ? lg1.2 2
考点:对数运算. 91.2

【解析】 试题分析:由对数运算法则得: log36 9 ? log6 12 ? log6 3 ? log6 12 ? log6 36 ? 2 . 考点:对数运算. 92. x = log2 3 【解析】
x 试题分析:由已知得 4 x ? 3 ? 2 x ?1 ,即 (2x )2 ? 2? 2 ? 3? 0, (2x ? 1)(2x ? 3) ? 0 ,所以

2 x ? 3 , x ? log2 3 .
考点:解对数方程. 93. (- 1,1) 【解析】 试题分析:由题意

1? x ? 0 , ? (1 ? x)(1 ? x) ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? 1. 1? x

考点:函数的定义域. 94. x = log2 3 【解析】
x 2 x x x x x ?1 试题分析:由已知得 4 ? 3 ? 2 ,即 (2 ) ? 2? 2 ? 3? 0 , (2 ? 1)(2 ? 3) ? 0 ,所以

2 x ? 3 , x ? log2 3 .
考点:解对数方程. 95. [1, ??) 【解析】 试题分析: 当 0 ? a ? 1 时,f ( x) ? ?

?? log a x, x ? 1, , 增区间为 [1, ??) , 当 a ? 1 时,f ( x) ? ?log a x,0 ? x ? 1,

?log a x, x ? 1, ,增区间为 [1, ??) .填 [1, ??) . ? ? log x ,0 ? x ? a , a ?
考点:分段函数的单调区间. 96. ?1, ?? ? 【解析】

试题分析: 研究函数 y ? a 与函数
x

y ? x ? a 图像交点个数.当 a ? 1 时, y ? x?a 由于直线
x

在 y 轴的截距大于 1,所以函数 y ? a 与函数

y ? x ? a 图像在 x ? 0 及 x ? 0 时各有一个交

x y ? x ? a 单调增,所以函数 y ? a x 与函数 点 . 当 0 ? a ? 1 时,由于 y ? a 单调减,直线

y ? x ? a 图像只 3 在 x ? 0 时有一个交点.
考点:指数函数图像 97.2 或

1 2

【解析】

1 log a 2 ? log a 4 ? 1, a ? . log 4 ? loga 2 ? 1, a ? 2. 当 0 ? a ? 1 时, 2 试题分析: 当 a ? 1 时, a
考点:指数函数单调性

+? ? 98. ? 4 ,
【解析】 试题分析:由题中隐含条件可得: 12 ? 0 ,可得 a ? 1 ,则由 log a 12 ? log a a ,根据对数 a ?1 a ?1 函数的单调性可得 12 ? a ,可解得 a ? 4 . a ?1 考点:1.对数函数的性质;2.解不等式 99.3 【解析】 试题分析:因为 f (3) ? log3 (32 ? 6) ? log3 3 ? 1 ,所以 f ( f (3)) ? f (1) ? 3e ? 3. 故填 3
0

考点:分段函数 100. (0, 2) 【解析】试题分析:试题分析:由题意, 2 x ? x 域为 (0, 2) . 考点:函数的定义域. 101. {a | a ? ?1} . 【解析】
2

? 0 ,解得 0 ? x ? 2 ,故原函数的定义

试题分析:根据对数函数真数大于 0 可求得集合 A ,再根据指数函数的单调性可求得 B={ x ? ?2a }因为 A ? B 所以可求得 a 的范围. 试题解析:要使 f ? x ? 有意义,则 即 A ? x 1? x ? 2 由2 ? 2
a ?a? x

2? x ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 , x ?1

?

?

4分

,解得 x ? ?2a , 4分

即 B ? {x | x ? ?2a}

A? B
? 2 ? ?2a 解得 a ? ?1 故实数 a 的取值范围是 {a | a ? ?1} 12 分

考点:1,对数函数的性质 2,指数函数的性质 3,集合的关系 102. (1)19 【解析】 试题分析: (1)指数式运算,先将负指数化为正指数,小数化为分数,即 (2)-4

1 1000 3 1 0.027 ? (? ) ?2 ? 2564 ? 3?1 ? ( 2 ? 1) 0 ? ( ) ? (?7) 2 ? (28 ) 4 ? ? 1, 7 27 3 再将分数
?

1 3

3

1

3

103 1 10 1 ( 3 ) 3 ? 49 ? 2 6 ? ? 1 ? ? 49 ? 64 ? ? 1 ? 19 3 3 3 化为指数形式,即 3

1



(2)对数

式 运 算 , 首 先 将 底 统 一 , 本 题 全 为 10 , 再 根 据 对 数 运 算 法 则 进 行 运 算 , 即

lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg 10 lg 0.1

1

8 ? 125 2 2 ? 5 ? lg10 ? ?4. ? 1 1 ? (?1) lg10 2 lg10?1 2 lg

3






1


3

1



? 1 1000 3 1 0.027 3 ? (? ) ?2 ? 2564 ? 3?1 ? ( 2 ? 1) 0 ? ( ) ? (?7) 2 ? (28 ) 4 ? ? 1 7 27 3

103 3 1 10 1 ? ( 3 ) ? 49 ? 2 6 ? ? 1 ? ? 49 ? 64 ? ? 1 ? 19. 3 3 3 3

1

8 ? 125 lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg102 2 ? 5 ? ? ? ?4. 1 1 lg 10 lg 0.1 ?1 2 ? (?1) lg10 lg10 2 (2) lg
考点:指对数式化简 103.① 2; ②3. 【解析】 试题分析:对数运算与指数运算的运算法则一定要搞清. 试题解析:

5 2 ? ? 1 ? 2 =2 , 6分 3 3 1 ②原式=2 (lg 5 ? lg 2) ? 2 ? ? ln e =2 lg10 ?1 =3. 2
解:①原式= 考点:对数运算,指数运算. 104. ? ??, ? . 【解析】

12 分

? ?

2? 3?

试题分析:首先根据被开方式非负,求出集合 A ;由指数函数的单调性,求出集合 B ,并 就 a 讨论,化简 B ,根据 A ? B ? A. ? A ? B ,分别求出 a 的取值范围,最后求并集. 试题解析:由
x

2? x ≥0,得 1 ? x ? 2 ,即 A ? {x |1 ? x ? 2} . x ?1
2ax

≧ y ? 2 是 R 上的增函数,?由 2 ? B ? {x | (2a ? 1) x<a} .

? 2a ? x ,得 2ax ? a ? x ,

1 a 时, x ? . 2 2a ? 1 a 1 2 ? 2 ,解得 ? a ? . 又≧ A ? B ,? 2a ? 1 2 3 1 (2)当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时, x ? R ,满足 A ? B ? A. 2 1 a (3)当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时, x ? . 2 2a ? 1 1 1 a ? 1 ,解得 a ? 或 a ? 1 ,? a ? . ≧ A ? B ,? 2 2 2a ? 1
(1)当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 综上, a 的取值范围是 ? ??, ? .

? ?

2? 3?

考点:1、集合的包含关系判断及应用;2、指、对数不等式的解法. 105.

3 2
1 2

【解析】 试 题
2? ? 1 2







lg 4 ? lg 25? 4 ? (4? ???

?

? lg(4 ? 25) ? 2

( ) 1 3 ? 1 ? lg102 ? 2?1 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? . 2 2

考点:指数式与对数式的运算. 106.详见解析 【解析】 试题分析: (1)首先利用导数公式求出 f ?? x ? ,然后讨论 k 是奇数还是偶数,化简函数,然后 再定义域内求导数大于 0 或是导数小于 0 的解集,确定单调区间; ( 2 )将唯一解问题转化为 g ?x ? ? f ?x ? ? 2ax 在定义域内和 x 轴有唯一交点问题,求

g ?? x ? ?

2 2 x ? ax ? a x ? 0 在定义域内,导数为 0 的值有一个,分析函数 g ?x ? 是先减后 x

?

?

增,所以如果有一个交点,那么函数在定义域内的极小值等于 0,即可; (3)转化为左边函数的最小值大于有边函数的最大值,要对两边函数求导,利用导数求函 数的最值. 试题解析:解: (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (? 1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x ) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x

2(x ? a )(x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x? ( a ,??) 时, f ?( x ) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在

?

?

?

?

?

a , ?? 上是增函数.

?

4分

(2)若 k ? 2014 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ? N* ) .
2 记 g ? x? ? f ? x? ? 2 ax ? x ? 2 axln x ? 2 ax g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x

若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解;

令 g ?( x ) ? 0 ,得 x2 ? ax ? a ? 0 .因为 当 x ? (0, x2 ) 时,

2 2 a ? 0, x ? 0 ,所以 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) , x 2 ? a ? a ? 4a . 2 2

g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数;

当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .

2 ? g ( x2 ) ? 0, ? ? x2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, 则? 即? 2 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 , x ? ax ? a ? 0 , ? g ?( x2 ) ? 0, ? ? 2 2

因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x 2 = 1,从而解得 a ? 1 2
2 另解: f ? x ? ? 2ax 即 x ? 2a ln x ? 2ax 有唯一解,所以: 2a ?

10 分

x2 x2 ,令 p ? x ? ? , ln x ? x ln x ? x

则 p? ? x ? ?

x ? 2 ln x ? x ? 1?

? ln x ? x ?

2

,设 h ? x ? ? 2ln x+x ? 1 ,显然 h ? x ? 是增函数且 h ?1? ? 0 ,所

以当 0 ? x ? 1 时 p? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时 p? ? x ? ? 0 ,于是 x ? 1 时 p ? x ? 有唯一的最小值, 所以 2a ? p ?1? ? 1 ,综上: a ?

1 . 2

x 2 ? ( x ? (0, ??)) ex e 1 1 由导数可求 ? ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到, e e x 2 1? x 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x , e e e 1 易得 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.故命题成立. 16 分 e ex
(3)当 k ? 2013 时, 问题等价证明 x ln x ? 考点:1.数列的递推公式;2.数学归纳法. 107. (1) a ? 1 , b ? ? 【解析】 试题分析: (1)利用已知条件得到两个条件:一是切线的斜率等于函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的 导数值 f ? ?1? ,二是切点在切线上也在函数 y ? f ? x ? 的图象上,通过切点 1, f ?1? 在切线 上求出 f ?1? 的值, 然后再通过 f ? ?1? 和 f ?1? 的值列有关 a 、b 的二元一次方程组, 求出 a 、

1 1? ? ; (2) ? ??, ? ; (3)详见解析. 2 2? ?

?

?

b 的值; (2)解法 1 是利用参数分离法将不等式 f ? x ? ?

k ? 0 在区间 ?1, ?? ? 上恒成立问题 x

转化为不等式 k ?

x2 x2 ? x ln x 在区间 ?1, ?? ? 上恒成立,并构造函数 g ? x ? ? ? x ln x ,从 2 2

而转化为 k ? g ? x ?min ,并利用导数求出函数 g ? x ? 的最小值,从而求出 k 的取值范围;解 法 2 是构造新函数 g ? x ? ? ln x ?

x k k ? , 将不等式 f ? x ? ? ? 0 在区间 ?1, ?? ? 上恒成立问 2 x x

题转化为不等式 g ? x ? ? 0 在区间 ?1, ?? ? 上恒成立问题,等价于 g ? x ?min ? 0 利用导数研究 函数 g ? x ? 的单调性,对 k 的取值进行分类讨论,通过在不同取值条件下确定函数 g ? x ? 的 单调性求出 g ? x ?min ,围绕 g ? x ?min

? 0 列不等式求解,从而求出 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下得到 x ln x ?

x2 ? 1 ,在 2

不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到

1 1 1 ? ? ,然后分别令 x ? 2 、 3 、 x ln x x ? 1 x ? 1

4、

、 n ,利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.

试题解析: (1)

f ? x ? ? a ln x ? bx ,? f ? ? x ? ?

a ?b. x

直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的斜率为

1 1? ? ,且过点 ?1, ? ? , 2 2? ?

1 1 ? ? f ?1? ? ? b?? ? ? 1 ? ? 2 2 ?? ,即 ? 解得 a ? 1 , b ? ? ; 2 ? f ? ?1? ? 1 ?a ? b ? 1 ? ? ? 2 ? 2
(2)解法 1:由(1)得 f ? x ? ? ln x ?

x . 2

k x k x2 ? x ln x . 当 x ? 1 时, f ? x ? ? ? 0 恒成立,即 ln x ? ? ? 0 ,等价于 k ? x 2 x 2
令 g ? x? ?

x2 ? x ln x ,则 g? ? x ? ? x ? ? ln x ?1? ? x ?1? ln x . 2

令 h ? x ? ? x ?1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x

当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 . 从而,当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,即函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故 g ? x ? ? g ?1? ?

1 . 2
1 x2 ? x ln x 恒成立,则 k ? . 2 2

因此,当 x ? 1 时, k ?

1? ? ? 所求 k 的取值范围是 ? ??, ? ; 2? ?
解法 2:由(1)得 f ? x ? ? ln x ?

x . 2

当 x ? 1 时, f ? x ? ?

k x k ? 0 恒成立,即 ln x ? ? ? 0 恒成立. x 2 x

令 g ? x ? ? ln x ?
2

x k 1 1 k x 2 ? 2 x ? 2k ? ,则 g ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? . 2 x x 2 x 2x2

方程 x ? 2 x ? 2k ? 0 (*)的判别式 ? ? 4 ? 8k . (ⅰ )当 ? ? 0 ,即 k ?

1 2 时,则 x ? 1 时, x ? 2 x ? 2k ? 0 ,得 g? ? x ? ? 0 , 2

故函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减. 由于 g ?1? ? ?

1 k ? k ? 0, g ? 2 ? ? ln 2 ? 1 ? ? 0 , 2 2 x k ? ? 0 ,与题设矛盾; 2 x
2

则当 x ? ?1, 2? 时, g ? x ? ? 0 ,即 ln x ?

1 ? x ?1? ? 0 . x2 ? 2 x ? 1 (ⅱ )当 ? ? 0 ,即 k ? 时,则 x ? 1 时, g ? ? x ? ? ? ?? 2 2 2x 2 x2
故函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减,则 g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,符合题意;

(ⅲ ) 当? ? 0, 即k ?

1 时, 方程 (*) 的两根为 x1 ? 1 ? 1 ? 2k ? 1 ,x2 ? 1 ? 1 ? 2k ? 1 , 2

则 x ? ?1, x2 ? 时, g? ? x ? ? 0 , x ? ? x2 , ??? 时, g? ? x ? ? 0 . 故函数 g ? x ? 在 ?1, x2 ? 上单调递增,在 ? x2 , ?? ? 上单调递减, 从而,函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 g ? x2 ? ? ln x2 ?

x2 k ? . 2 x2

而 g ? x2 ? ? ln x2 ?

x2 k x 1 , ? ? ln x2 ? 2 ? 2 x2 2 2 x2

由(ⅱ )知,当 x ? 1 时, ln x ?

x 1 ? ?0, 2 2x

得 ln x2 ?

x2 1 ? ? 0 ,从而 g ? x2 ? ? 0 . 2 2 x2

故当 x ? 1 时, g ? x ? ? g x2 ? 0 ,符合题意. 综上所述, k 的取值范围是 ? ??, ? . 2

? ?
? ?

1? ?

(3)由(2)得,当 x ? 1 时, ln x ?

x 1 x2 ? 1 ? ? 0 ,可化为 x ln x ? , 2 2x 2

又 x ln x ? 0 ,从而, 把 x ? 2 、3 、 4 、

1 2 1 1 ? 2 ? ? . x ln x x ? 1 x ? 1 x ? 1
、 n 分别代入上面不等式,并相加得,

1 1 ? ? 2ln 2 3ln 3

?

1 ? 1? ? 1 1? ?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ln n ? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ?

1? ? 1 1 ? ? 1 ? ??? ? ? ? ? n ? 2 n ? ? n ?1 n ? 1 ?

? 1?

1 1 1 3n2 ? n ? 2 ? ? ? . 2 n n ?1 2n 2 ? 2n


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