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2015-2016学年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1


课题:§3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目标: 知识与技能 理解函数 (结合二次函数) 零点的概念, 领会函数零点与相应方程要的关, 掌握零点存在的判定条件. 过程与方法 零点存在性的判定. 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点: 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定.

教学程序与

环节设计:

创设情境

结合二次函数引入课题.

组织探究

二次函数的零点及零点存在性的.

尝试练习

零点存在性为练习重点.

探索研究

进一步探索函数零点存在性的判定.

作业回馈

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上.

课外活动

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符 号,并尝试进行系统的总结.

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设置 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象: 创 设 情 境 1 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 ○ 2 方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ○ 3 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ○ 师生双边互动 师:引导学生解方程, 画函数图象, 分析方程 的 根 与图 象和 x 轴 交 点坐标的关系, 引出零 点的概念. 生:独立思考完成解 答, 观察、 思考、 总结、 概括得出结论, 并进行 交流. 师: 上述结论推广到一 般的一元二次方程和 二次函数又怎样? 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成 立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 师: 引导学生仔细体会 左边的这段文字, 感悟 其中的思想方法.

函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数 组 根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐 织 标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的 探 图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 究 生: 认真理解函数零点 的意义, 并根据函数零 点的意义探索其求法: 1 代数法; ○ 2 几何法. ○

函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可 ○ 以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函 数的性质找出零点.

二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等
2

师: 引导学生运用函数 零点的意义探索二次 函数零点的情况.

环节

教学内容设置 实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二 次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实
2

师生双边互动 生: 根据函数零点的意 义探索研究二次函数 的零点情况, 并进行交 流,总结概括形成结 论.

根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交 点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二
2

次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图 组 象: 1 在区间 [?2,1] 上有零点______; ○ 织 生:分析函数,按提示 探索,完成解答,并认 真思考.

f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
f (?2) · f (1) _____0(<或>) .

探 2 在区间 [2,4] 上有零点______; ○ 究

师: 引导学生结合函数 图象, 分析函数在区间 端点上的函数值的符 号情况, 与函数零点是 否存在之间的关系.

f (2) · f (4) ____0(<或>) .
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

生:结合函数图象,思 考、讨论、总结归纳得 出函数零点存在的条 件, 并进行交流、 评析.

1 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; ○

师: 引导学生理解函数 零点存在定理, 分析其 中各条件的作用.

f (a ) · f (b) _____0(<或>) .
2 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; ○

. f (b) · f (c) _____0(<或>) 3 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; ○ . f (c) · f ( d ) _____0(<或>)

由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某 给定区间上是否存在零点.

环节

教学内容设置

师生互动设计

例 题 研 究

师: 引导学生探索判断 函数零点的方法, 指出 可以借助计算机或计 例 1. 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 算器来画函数的图象, 问题: 结合图象对函数有一 1) 你可以想到什么方法来判断函数零点个数? 个零点形成直观的认 2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数 识. 的单调性具有什么特性? 生: 借助计算机或计算 器画出函数的图象, 结 3 2 例 2.求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 ,并画出它 合图象确定零点所在 的大致图象. 的区间, 然后利用函数 单调性判断零点的个 数.

尝 试 练 习

1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几 个根: 师: 结合图象考察零点 所在的大致区间与个 2 (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ; 数, 结合函数的单调性 说明零点的个数; 让学 (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; 生认识到函数的图象 及基本性质 (特别是单 2 (3) x ? 4 x ? 4 ; 调性) 在确定函数零点 中的重要作用. 2 2 (4) 5x ? 2 x ? 3x ? 5 . 2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的 大致区间: (1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5 ; (2) f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ; (3) f ( x) ? e x?1 ? 4x ? 4 ; (4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x .

1. 已知 f ( x) ? 2x 4 ? 7 x 3 ? 17x 2 ? 58x ? 24 , 请探究方程 f ( x) ? 0 的根.如果方程有根,指出每 个根所在的区间(区间长度不超过 1) . 探 究 与 发 现 2.设函数 f ( x) ? 2 ? ax ? 1 .
x

( 1 )利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数

f ( x) 的零点个数;
(2)当 a ? R 时,函数 f ( x) 的零点是怎样分 布的?

环节

教学内容设置

师生互动设计

1. 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 2. 求下列函数的零点: (1) y ? x 2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ? x 2 ? x ? 20 ; (3) y ? ( x ? 1)(x 2 ? 3x ? 1) ; (4) f ( x) ? ( x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) . 3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画 出各自的简图,并指出函数值在哪些区间 上大于零,哪些区间上小于零: 作 业 回 馈 (1) y ?

1 2 x ? 2x ? 1; 3

(2) y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1 . 4. 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个 零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 5. 求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ? (3) y ?

x2 ? 9 ; x 2 ? 3x ? 4 ; ? x 2 ? 4 x ? 12
2

课 外 活 动

2 研究 y ? ax ? bx ? c , ax ? bx ? c ? 0 ,

ax2 ? bx ? c ? 0 ,ax2 ? bx ? c ? 0 的相互关系, 以
零点作为研究出发点,并将研究结果尝试用一种系 统的、简洁的方式总结表达.

考虑列表, 建议画出图 象帮助分析.

收 获 与 体 会

说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判 定方程在某个区产存在根的基本步骤.


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