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山东省潍坊市高一教学质量检测数学试题


山东省潍坊市高一教学质量检测数学试题
一、选择题: 1. sin(?225 ) 的值是
?

9.根据下面的算法,可知输出的结果 S 为 S1 i = 1; S2 ( ) 如果 i ? 10, 那么i ? i ? 2, S ? 2i ? 3 ,重复 S2;





2 A.

2

2 B. ? 2

1 C. 2

3 D. 2
( D. 6 ) )

S3 输出 S. A.19

B.21

C.25
2 2

D.27

10.在区间[-1,1]上随机地任取两个数 x,y,则满足 x ? y ?

2.数据 99,100,102,99,100,100 的标准差为 A.0 B.1 C. 2

3.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? A.向左平移

?
4

) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点(

( ) 1 , ? ? ? ? A. B. C. D. 3 16 8 4 2 , 11.已知 e1,e2 是夹角为 120°的两个单位向量,则 a = 2e1 + e2 和 b = e2-2e1 的夹角的余弦值是 5 ( ) A. ?

1 的概率是 4

? 个单位长度 4 ? C.向左平移 个单位长度 8

? 个单位长度 4 ? D.向右平移 个单位长度 8
B.向右平移

21 7

B.

21 7

C.

21 14

D. ?

3 5

4.某客运公司为了了解客车的耗油情况,现采用系统抽样方法按 1:10 的比例抽取一个样本进行 检测,将所有 200 辆客车依次编号为 1,2,?,200,则其中抽取的 4 辆客车的编号可能是 ( ) A.3,23,63,102 B.31,61,87,127 C.103,133,153,193 D.57,68,98,108 5.下列函数中,最小正周期是 ?且在区间 ( A. y ? sin 2 x B. y ? sin x

?
2

, ? ) 上是增函数的是
C. y ? tan

( D. y ? cos 2 x



12.为了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》情况,调查部门在某学校进行了如下的随机 调查:向被调查者提出两个问题:①你的学号是奇数吗?②在过路口时你是否闯过红灯?要 求被调查者背对调查人员掷一枚硬币,如果出现正面就回答第①个问题,否则回答第②个问 题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是” ,因为 只有被调查本人知道自己回答了哪个问题,所以都如实作了回答.结果被调查的 600 人中有 180 人回答了“是”.由此估计在这 600 人中闯过红灯的人数大约为 ( ) A.30 B.60 C.120 D.150

x 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. , 13.如图是某班 50 名学生身高的频率分布直方图, 3 , 人. 那么身高在区间 ?150,170?内的学生约有 5 14.一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球, 2 只黑球,从中一次摸出两只球,则摸出的两只球 颜色不同的概率是 . 15.已知圆 C1 : x ? y ? 1与圆C2 : x ? y ? 6x ? 8 y ? F ? 0 相内切,则 F =
2 2 2 2

6.已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1) ,点 M 在 z 轴上且到 A、B 两点的距离相等,则点 M 的坐标为 ( ) A. (-3,0,0) B. (0,-3,0) C. (0,0,-3) D. (0,0,3) 7.在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 3DB, CD ? r AB ? s AC, 则r ? s 的值是( A. )

2 3

B.

4 3
2 2

C.-3

D.0 ( )

.

8.直线 3x ? y ? 2 ? 0截圆x ? y ? 4 得到的劣弧所对的圆周角为 A.

16.在下列结论中: ①函数 y ? sin(k? ? x) (k∈Z)为奇函数;

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

②函数 y ? tan( 2 x ? ③函数 y ? cos( 2 x ?

?

2 )的图象的一条对称轴为 x ? ? ? ; 3 3 1 2 ④若 tan( ? ? x) ? 2, 则 cos x ? . 5
(把所有正确结论的序号都 填上). . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 其中正确结论的序号为

?

)的图象关于点 ( ,0) 对称; 6 12

?

(II)是否存在实数 k 和 x,使(a + d)⊥(b + c)?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在, 请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 设 x∈R,函数 f ( x) ? cos(?x ? ? )(? ? 0,? (I)求 ?和? 的值; (II)在给定坐标系中作出函数 f ( x)在[0, ? ] 上的图象; (III)若 f ( x) ?

?

? 3 ? ? ? 0)的最小正周期为 ? , 且f ( ) ? . 2 4 2

?? ? 已知角 A,B,C 是三角形的内角,向量 m ? (1, 3), n ? (sin A, ? cos A) , m ? n
(1)求角 A 的大小 (2)求函数 y ? 2sin B ? cos( ? 2 B) 的值域 3
2

?

2 , 求x 的取值范围. 2

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (-1,2),b = (1,1), t∈R. (I)求<a,b>; (II)求|a + tb|的最小值及相应的 t 值. 19. (本小题满分 12 分) 做投掷 2 颗骰子试验,用(x,y)表示点 P 的坐标,其中 x 表示第 1 颗骰子出现的点数, y 表示第 2 颗骰子出现的点数. (I)求点 P 在直线 y = x 上的概率; (II)求点 P 不在直线 y = x + 1 上的概率; (III)求点 P 的坐标(x,y)满足 16 ? x ? y ? 25的概率.
2 2

22. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切. (I)求圆 C 的方程; (II)过点 Q(0,-3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A、B,当 OA ? OB ? 3 (O 为坐标 原点)时,求△AOB 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 已知 a = (2 + sinx,1),b = (2,-2),c = (sinx-3,1),d = (1,k) (x∈R,k∈R). (I)若 x ? [ ?

? ?

, ] ,且 a// (b + c),求 x 的值; 2 2

参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,共 60 分. ABDCD CDCCA AB 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,共 16 分. 13.20 14.

? P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

5 31 ? . 36 36

????8 分

(III)记“点 P 坐标满足 16 ? x 2 ? y 2 ? 25”为事件 C,则事件 C 有 7 个基本事件. 即 C = {(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},

3 5

15.-11

16.①③④

? P (C ) ?

7 . 36
∵a∥(b + c),

????12 分

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 18. (本小题满分 12 分) 解: (I) cos ? a ? b ?

20. (本小题满分 12 分) 解: (I) b ? c ? (sin x ? 1,?1) ,

? ?(2 ? s i n x) ? s i n x ?1,

????2 分

a?b ?1? 2 1 10 ????2 分 ? ? ? |a|?|b| 1? 4 ? 1?1 10 10

1 ? 2 sin x ? ?1, sin x ? ? , 2 ? x ? [?

? ?

? a, b ? ? (0, ? )
?x ? ?

, ], 2 2

?
6

.

????5 分 ????6 分

? a, b ?? arccos

10 10

????4 分

(II) a ? d ? (3 ? sin x,1 ? k ), b ? c ? (sin x ? 1,?1) 若(a + d)⊥(b + c) , 则(a + d) · (b + c)=0,

1 2 9 (II) | a ? tb | ? 2(t ? ) ? , 2 2
当 t ? ? 时, | a ? tb | 取最小值

????10 分

即 (3 ? sin x)(sin x ? 1) ? (1 ? k ) ? 0 ,
2 k ?sin x ? 2s i n x?4 ?( sin x ? 1) 2 ? 5 ,x∈R,

1 2

9 3 2 ? . 2 2

????12 分

????9 分

sin x ? [?1,1], sin x ? 1 ? [0,2], (sin x ? 1) 2 ? [0,4], k ? [?5,?1],
存在 k ? [?5,?1]使(a ? d) ? (b ? c). 21. (本小题满分 12 分) 解: (I)周期 T ? ????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解:每颗骰子出现的点数都有 6 种情况,所以基本事件总数为 6×6=36 个. (I)记“点 P 在直线 y = x 上”为事件 A,则事件 A 有 6 个基本事件, 即 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},

? P ( A) ?

6 1 ? . 36 6

????4 分

(II)记“点 P 在直线 y = x + 1 上”为事件 B,则“点 P 在直线 y = x + 1 上”为事件 B ,其 中事件 B 有 5 个基本事件. 即 B ? {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)},

2?

?

? ? ,? ? ? 2 ,

????2 分

? ? ? 3 ? f ( ) ? cos(2 ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? , 4 4 2 2
??

?

2

? ? ? 0,

?? ? ?

?
3

.

????4 分

解得 a ? 2或a ? ?

(II)? f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

14 (舍去) , 3

????3 分 ????4 分

) ,列表如下:
0

所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4. π

2x ?
x f(x)

? 3

?

?
3
0

? 6
1

? 2 5 ? 12
0

2 ? 3
-1

3 ? 2 11 ? 12
0

5 ? 3
π

(II)显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 ,

由?

? y ? kx ? 3
2

1 2

1 2

得(1 ? k 2 ) x 2 ? (4 ? 6k ) x ? 9 ? 0 , ?( x ? 2) ? y ? 4
2

????5 分

∵直线 l 与圆相交于不同两点

图象如图:

? ? ? (4 ? 6k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0, 解得 k ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

5 , 12

????6 分

x1 ? x 2 ?

4 ? 6k 9 , x1 x 2 ? , 2 1? k 1? k 2

① ????8 分

y1 y2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ,
????8 分 (III) cos(2 x ?

因为OA ? OB ? 3, 所以x1 x 2 ? y1 y 2 ? 3. 即(1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 6 ? 0,

?
3

)?

2 , 2
? 2k? ?

? 2k? ? 2k? ? k? ?

?
4

? 2x ?

?
3

?
4

将①代入并整理得 k ? 4k ? 5 ? 0 ,
2

????10 分

解得 k = 1 或 k =-5(舍去) , 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 3. ????10 分

?
12

? 2 x ? 2k? ?

?

7 ?, 12
????11 分

24

? x ? k? ?

7 ,k ? Z , 24

圆心 C 到 l 的距离 d ?

| 2?3| 2

?

? x的范围是 {x | k? ?
22. (本小题满分 14 分)

?

24

? x ? k? ?

7 ? , k ? Z}. 24
2

2 , 2

????12 分

在?ACB中, | AB |? 2 ? 2 2 ?
2

1 ? 14, 2 3 2 ? 3 2 , 2
????14

解: (I)设圆心为 C(a,0)(a ? 0),则圆C的方程为 ( x ? a) ? y ? 4 , ????1 分 因为圆 C 与 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切,所以

原点O到直线l的距离,即?AOB底边AB上的高h ?
1 1 3 2 3 7 | AB | ?h ? ? 14 ? ? . 2 2 2 2

| 3a ? 4 | 32 ? 4 2

? 2,即 | 3a ? 4 |? 10 ,

? S ?AOB ?


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