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【湖南师大附中内部资料】高一数学必修5课件:3.4 基本不等式1(新人教A版)

时间:2017-04-26


高一数学必修5第三章《不等式》 3.4 基本不等式
第1课时

如图是在北京召开 的第24界国际数学 家大会的会标,会 标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图 设计的,颜色的明 暗使它看上去象一 个风车,代表中国 人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系 或不等关系吗?

1.如果设直角三角形的两条直角边的 边长为a和b,你能用a和b表示哪些 面积?这些面积之间有什么关系?
ab 2 2 S直角三角形= ,S正方形=a +b 2

S正方形 ? 4 S直角三角形
2 2

a ? b ? 2ab

新知探究

2.从图形分析,上述不等式在什么情况 下取等号? 当直角三角形为等腰直角三角形,即 a=b时, a2+b2=2ab.
D
G H F E B C

A

新知探究

3.在上面的图形背景中,a,b都是 正数,那么当a,b∈R时,不等式 a2+b2≥2ab成立吗?为什么? 一般地,对于任意实数a,b, 有:a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时 D 等号成立.
A

G H

F E B

C

说明: ① “当且仅当”是充要条件的

表达方式(“当”表示条件是充分 的, “仅当”表示条件是必要的).



a ? b ? 2ab
2 2

的充要条件是

a ?b

新知探究

4.特别地,如果a>0,b>0,我们 用 a 、 b 分别代替a、b ,可得什么 不等式?
a

a?b ? ab (a >0, b>0) 2

当且仅当a=b时等号成立.

新知探究

基本不等式

1. 若 a, b ? R , 则 a ? b ? 2ab , 当 且仅当 a ? b 时取“ = ”号.
2 2

a ? b ? ? ab 2. 若 a, b ? R , 则 2
当且仅当

,

a ? b 时取“ = ”号.

典例讲评

变式:

a?b 2 1. ab ? ( ) , a, b ? R 2
2 2

a?b 2 a ?b 2. ( ) ? , a, b ? R 2 2 a b + 3. ? ? 2, a, b ? R b a

典例讲评

例1 已知x、y都是正数,求证:
2 2 3 3 3 3 (x+y)(x +y )(x +y )≥8x y

例2

已知

2 2 2 a +b +c = 1 ,

2 求证:(a+b+c) ≤3.

典例讲评

?

例3 若正数a,b满足 ab ? a ? b ? 3
求ab的取值范围.

例4.已知x,y∈R+,求证:

(1)若xy为定值P,那么x=y时,和x+y有
最小值2 P ; (2)若x+y为定值S,那么x=y时,积xy有 1 2 最大值 S . 4

典例讲评

例5 已知 lg x ? lg y

? 2,

1 1 ? 求 的最小值 . x y

典例讲评

4 ?5 例6 已知 x ? ?1 , 求 y ? x ? x ?1
的最小值 .

课堂小结

a?b 1.不等式a2+b2≥2ab与 2 ?

ab

都是基本不等式,它们成立的条件不同, 前者a、b可为任意实数,后者要求a、b 都是正数,但二者等号成立的条件相同.

课堂小结

2.基本不等式有多种形式,应用时具有 很大的灵活性,既可直接应用也可变式 应用.一般地,遇到和与积,平方和与积 平方和与和的平方等不等式问题时,常 利用基本不等式处理

课堂小结

3.

a?b ? ab (2) 如果a,b 是正数,那么 2
2 2

(1) a2+b2≥ 2ab (当且仅当a=b时取等号) (当且仅当a=b时取等号)

(3) (4)

(3) (4)

2ab a ?b a ?b (5)设a,b ? R ,则 ? ab ? ? . a ?b 2 2
?

a ?b (当且仅当a=b时取等号) ab ? 2 2 ?a?b? ab ? ? (当且仅当a=b时取等号) ? ? 2 ? 2 2

布置作业

《学海》第10课时

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