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物理奥赛辅导:第18讲 真空的恒定磁场

时间:2010-07-13


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第十八讲 第十八讲
一,基本要求

真空的恒定磁场

1,确切理解磁感应强度的概念,明确磁感应强度的矢量性和迭加性; 2,掌握毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律,并熟练地运用该定律来计算几何形状比较规则的 载流导线所产生的磁场; 3,掌握磁场的高

斯定理和安培环路定理,并能熟练地运用安培环路定理来计算具有一定 对称性分布的磁场的磁感应强度; 4,掌握洛仑兹公式和安培定律,掌握计算洛仑兹力,安培力(或磁力矩)的方法. 二,基本概念和规律

1.磁感应强度 磁场中某点的磁感应强度 B 的大小定义为 B = Fmax / q0V ,即在磁场中某点磁感应强度 B 的大小等于运动试验电荷在该点所受的最大的力 Fmax 与其所带电量 q0和速度的乘积之比值, B 的方向为置于该点的小磁针北极所指的方向. 应该指出: 1)磁感应强度 B 是描写磁场对运动电荷(或电流)施以作用力—磁场力的性质.它是表 征磁场本身性质的物理量. B 既与在该点上的运动试验电荷所带的电量和速度无关,又与该 点上有无运动试验电荷无关. 2)将磁感应强度和电场强度的定义进行比较,磁感应强度大小不能定义为运动试验电荷 在磁场中所受的力与其所带电量和速度乘积之比值,否则 B 的大小不确定;同样,磁感应强 度 B 的方向也不能定义为运动试验电荷所受磁场力的方向,不然, B 的方向亦不确定. 2,毕奥—萨伐尔—拉普拉定律 真空中 d B = 应该指出:
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0 Id l × r 4π r 3

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1)注意电流元 Id l ,矢径 r 方向的规定, d B 与 Id l 和 r 成右手定则关系. 2)当 Id l 与 r 之间的夹角为零或π,则 dB=0,亦即在电流元 Id l 延长线上各点,电流 元 Id l 并不产生磁场. 3)磁感应强度的迭加原理 载流导线在磁场中某点产生的磁感应强度等于该载流导线上各电流元在该点所产生的磁 感应强度的矢量和,即
→ → → →











B = ∫dB = ∫
L

L

0 Id l × r 4π r 3

4)运动电荷所产生的磁感应强度为
B=

0 qV × r 4π r 3

式中 q 为运动电荷所带的电量, V 为其速度. 若运动电荷为正电荷, q > 0 , B 的方向与 V × r 的方向相同; 若运动电荷为负电荷, q < 0 , B 的方向与 V × r 的方向相反; 5)毕一萨一拉定律只在稳恒电流情况下成立.它是根据大量实验事实进行理论分析的结 果,不能从实验上直接加以证明,但由它所计算出的 B 与实验测定相符合,从而间接证明了 它的正确性.它是电流产生磁场所遵循的基本规律,是稳恒磁场的理论基础. 3,稳恒磁场的基本性质 1)磁场的高斯定理

∫∫ Bd s = 0
S

即通过任意闭合曲面 S 的磁通量等于零. 磁场的高斯定理说明磁场是无源场,磁感应线是闭合曲线. 2)安培环路定理 在真空中 ∮Bd l = 0∑I i L

即磁感应强度沿任何闭合环路 L 的线积分,等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 0 倍. 应该指出:

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a,在环路定理∮Bd l = 0∑I i 中,环路 L 上任一点的 B 应是空间中所有电流在该点所产 L 生的磁感应强度的矢量和,即它既包括环路 L 内的电流,又包括环路 L 外的电流共同产生的. 而 ∑I i 只包括穿过环路 L 的电流.即是说环路 L 外的电流对 B 有贡献,而对 B 沿 l 的环流无贡 献. b,必须注意电流 I 的正负规定. 当穿过环路 L 的电流方向与环路 l 的绕行方向服从右手定则时,I >0,反之 I <0. c,安培环路定理只对稳恒电流产生的稳恒磁场才成立.而对于有限长的载有稳恒电流的 直导线不能用安培环路定理求磁感应强度, 因稳恒电流一定是闭合的, 而安培环路定理中的 B 应是闭合电路中全部电流产生的. d,无论环路 L 外面电流如何分布,只要环路 L 内没有包围电流,或者所包围电流强度的 代数和为零,则∮Bd l = 0 ,但应当注意, B 的环流为零,一般并不意味着环路 L 上各点的 B L 都为零. e,安培环路定理说明磁场是非保守场,亦即是有旋场. 4,磁场对运动电荷,载流导线(或载流线圈)的作用 1)磁场对运动电荷的作用 运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力,由洛仑兹公式计算
F = qV × B

式中 q 为运动电荷所带的电量, V 是它的速度. 洛仑兹力与库仑力是不同的.主要表现在: a,洛仑兹力只作用于运动电荷,而库仑力既作用于运动电荷,又作用于静止电荷; b,洛仑兹力总是垂直于运动电荷的速度,即 F ⊥ V ,所以洛仑兹力只改变运动电荷速度 的方向,而不改变其速度的大小,故洛仑兹力对运动电荷不作功.而库仑力既可改变电荷速 度的方向,又可改变其速度的大小,故库仑力对电荷要做功; c,洛仑兹力与 B 垂直,而库仑力与 E 平行. 在均匀磁场中,带电粒子在洛仑兹力作用下作圆周运动的半径为
R = mv qB v 是与 B 相垂直的速度,带电粒子在均匀磁场中运动的回频共振频率
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ν=

1 qB = T 2πm

它与粒子的速率及回旋半径无关. 2)磁场对载流导线的作用 电流元 Id l 在磁场中所受到的安培力 d F 由安培定律计算
d F = Id l × B
→ → →

载流导线所受到的安培为 F = Id l × B





L

在稳恒电流情况下,载流导线在磁场中运动时,磁力所作的功为
A = IΦ

△Φ是闭合电流回路所包围面积内磁通量的增量. 磁场对载流平面线圈的作用 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩为
M = Pm × B


式中 P m = NIS n 为载流平面线圈的磁矩.I 是线圈中的电流强度,N 是线圈的匝数,S 为线 圈每匝所包围的面积, n 的方向与电流 I 的方向成右手定则关系. 上式表明,对于任意形状的载流平面线圈(或闭合电路)在均匀磁场中所受合力为零(不 考虑线圈变形) ,但受到一个力矩,这力矩总是力图使这线圈的磁矩 P m 转到磁感应强度 B 的 方向,当 P m 与 B 的夹角 θ =

π
2

时,线圈所受的力矩最大;当 θ = 0 或 π 时,线圈所受的力矩为

零.当 θ = 0 时,线圈处于稳定平衡状态; θ = π 时,线圈处于非稳定平衡状态. 上式只对在同一平面上的任意形状的载流线圈在均匀磁场中成立. 三,解题方法 本章的内容分两个方面:一是稳恒电流所产生的磁场;二是磁场对电流(或运动电荷) 的作用.虽然稳恒磁场与静电场的基本性质不同,但分析和处理问题的方法与静电场有很多 相似之处. 1,求磁场分布的方法 已知电流分布,求磁感应强度的方法有两种.

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1)利用毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律和磁场的迭加原理求磁感应强度,即

B=∫
求B

L

0 Id l × r 4π r 3



从原则上讲,在已知电流分布的情况下,可利用此种方法求任何载流导体所产生的磁场, 因此,这是求 B 的一种普遍方法. 这种方法还应包括利用已知的载流导体的磁感应强度公式和磁场的迭加原理求磁感应强 度.例如将无限长的载流导线弯成几何形状比较规则的各种形状的载流导线(由若干段直线 和圆弧组成) ,在求其它们所产生的磁场时,就是利用载流导线和圆形电流在其圆心处的磁感 应强度公式和磁场的迭加原理求 B . 2)利用安培环路定理求磁感应强度 利用安培环路定理求磁感应强度与用静电场的高斯定理求电场强度的方法相类似,其步 骤如下: a,首先分析磁场分布的对称性,这是判断能否用安培环路定理求磁感应强度的关键. 只有当磁场分布具有一定的对称性时,才能用安培环路定理求 B ,否则不能用.这并不 意味着安培环路定理对非对称性磁场不适用,而是用它求不出 B .这是因为安培环路定理只 是反映了稳恒磁场性质的一个侧面(有旋场) ,它对磁场性质的描述是不完全的,只有在磁场 分布具有高度对称性的情形下,才能根据这种不完全的描述来确定磁场的分布,在一般情况 下,应当配合反映磁场性质的另一个侧面(无源场)的高斯定理,才能充分描述稳恒磁场, 并由它们确定普遍情形下稳恒磁场的分布. b,若能用安培环路定理,则选取适当的闭合环路(又称安培环路)通过拟求 B 的场点, 并规定安培环路的绕行方向. 选取安培环路的原则是使 B 能从∮Bd l 中积分号内提出来,以便能算出 B,通常选用的 L 安培环路为圆周和矩形. c,分别计算所选取的安培环路 B 的环流和安培环路所包围的电流的代数和,应用安培环 路定理求出 B,并指出 B 的方向. 2,磁场对电流,运动电荷的作用
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1)利用安培定律求磁场对载流导线的作用,即

F = ∫ Id l × B
L



其步骤如下: a,根据问题的性质,选取适当的坐标系,首先求出在载流导线分布区域内 B 的分布. 若题中已给出 B 的分布,则此步骤求 B 可省略. b,将载流导线分成无限多个电流元 Id l ,利用安培定律,写出某一电流元 Id l (所在位置 不能选得特殊)所受的安培力 d F = Id l × B ,由右手定则确定 d F 的方向,然后根据所选择的 坐标系将 d F 沿坐标轴进行正交分解,亦即将 d F 的矢量式用其分量式表示,以便把矢性函数 的运算化成数性函数的运算. c,对电流元所受的安培力 d F 的诸分量分别积分,积分遍及整个载流导体. 注意:应根据所选取的坐标系,载流导线的几何形状,电流 I 的方向,积分变量正确确定 积分上,下限. 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩,由
M = Pm × B


求之, M 与P和B 成右手定则关系 2)磁场对运动电荷的作用
利用络仑兹公式 F = qV × B 求磁场对运动电荷所作用的磁力.




3,常用例题公式 1)载流直导线的磁场
B=

O I (Cosθ1 Cosθ 2 ) 4πr

式中 r 为场点到直导线之垂直距离, 1 为始端电流元方向与其矢径方向之间的夹角. 2 为 θ θ 末端电流的方向与其矢径方向之间的夹角, B 的方向由右手定则确定之. 若载流直导线为无限长,即 θ1 = 0,θ 2 = π ,则有

B=

O I 2πr

2)载流圆线圈轴线上的磁场

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B=

O IR 2
2( R 2 + x 2 ) 3 2

式中 R 为圆线圈的半径,x 为轴线上的场点到圆线圈的圆心的距离. 当 x = 0 时,即在圆心处
B = O I 2 R

3)载流长直螺线管内的磁场
B = O nI

式中 n 为单位长度的线圈匝数 4)载流螺绕环内的磁场 当螺绕环横截面积很小时,环的平均周长为 l,则环内的磁感应强度
B = O N I = O nI l

式中 N 为螺绕环的总匝数 四,解题示例 例 1,将一根载流导线弯成如图所示的形状,已知 导线中的电流为 I,正方形的边长为 a,圆的半径为 R, 求圆心 O 点的磁感应强度. 解:利用载流直导线和载流圆线圈圆心处的磁感应 强度公式和磁场迭加原理求圆心 O 点的磁感应强度. 由于圆心 O 点在载流直导线 AC 之延长线上,所以 载流直导线 AC 在 O 点产生的磁感应强度 B1=0. 例1图

载流圆弧 CDE 在 O 点产生的磁感应强度 B2 是载流圆线圈中心磁感应强度
B2 =

O I
2R



3 ,即 4

O I
2R

×

3 3O I = 4 8R

B 2 的方向由右手定则可得,垂直于纸面向外.

由于圆心 O 点在载流直导线 EF 延长线上,所以载流直导线 EF 在 O 点产生的磁感应强度 B3=0. 由载流直导线的磁感应强度公式可得载流直导线 FG 在 O 点产生的磁感应强度为:
B4 = 2 O I O I 3π π (Cos Cos ) = 8πa 4πa 2 4
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B 4 的方向垂直于纸面向外,

同理可得载流直导线 GA 在 O 点产生的磁感应强度为
B5 = 2 O I O I π π (Cos Cos ) = 8πa 4πa 4 2

B 5 的方向垂直于纸面向外,

选取通过 O 点垂直于纸面向外为正方向,由磁场的迭加原理得圆心 O 点的磁感应强度为
B = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 = B 的方向垂直于纸面向外. 3 O I + 8R 2 O I a

例 2,两根长直导线沿半径方向接到一半径为 r1 的导电圆环上,其中圆弧 AEC 是铝导线, 电阻率为 ρ1 ,圆弧 ADC 是铜导线,电阻率为 ρ 2 .两种导线截面相同,圆弧 ADC 的弧长是圆 周长的
1

π

.直导线在很远处与电源相接,其上的电流强

度为 I,如图所示.求圆心 O 点处的磁感应强度. 解:由磁场的迭加原理,圆心 O 点的磁感应强度是 由三段载流直导线 CC ′, A′A, A′C ′ 和两段载流圆弧 AEC, ADC 在 O 点所产生的磁感应强度的迭加.因此先分别计 算各段载流导线在 O 点的磁感应强度. 由于 O 点在载流直导线 CC ′和A′A 的延长线上,所以它们在圆心 O 点所产生的磁感应强度 均为零.即
Bc′c = 0 B A′A = 0

而载流直导线 C ′A′ 距圆心 O 点无限远,所以,在 O 点所产生的磁感应强度 BC′A′ = 0 . ,弧长分别为 L1 和 L2, 设载流圆弧 AEC 和 ADC 上的电流强度分别为 I1 和 I2(如图)
L1 = 2πr1

2πr1

π

= 2r1 (π 1), L2 = 2r1 .利用载流圆线圈在圆心的磁感应强度公式可得载流圆弧

AEC 在 O 点所产生的磁感应强度 B1 为
B1 =

O I 1 L1 O I 1 = (π 1) 2r1 2πr1 2πr1

B1 的方向垂直于纸面向外

同理可得载流圆弧 ADC 在 O 点所产生的磁感应强度 B2 为
B2 =

O I 2 L2 O I 2 = 2r1 2πr1 2πr1
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B 2 的方向垂直于纸面向里

选取通过 O 点垂直于纸面向外为正方向,则 O 点之磁感应强度为
B = BCC ′ + BC ′A′ + B A′A + B1 B2 = B1 B2 =

O I 1 I (π 1) O 2 ① 2πr1 2πr1

设圆环的横截面积为 S,因圆弧 AEC 和 ADC 为并联,得 I1 + I2 = I
I 1 ρ1



L1 L = I 2 ρ2 2 ③ S S

而 L1 = 2r1 (π 1)
L2 = 2r1





联立求解①~⑤式得
B=

O I (π 1) ( ρ 2 ρ1 ) 2πr1 [ ρ (π 1) + ρ 2 ]

讨论: 1)因铜导线的电阻率 ρ 2 小于铝导线的电阻率 ρ1 ,即 ρ 2 ρ1 < 0 ,即 B 的方向与规定的正 方向相反,即 B 的实际方向为垂直于纸面向里. 2)若圆环由横截面积相同的同种材料导线制成,即 ρ1 = ρ 2 ,则圆心 O 点的磁感应强度 由上式可得,B=0. 例 3,如图所示,一无限大的平面上有均匀分布的面电流,其面电流密度为 i(在平面内 垂直于电流方向上,单位长度上的电流强度,称为面电流密度) .求其在空间中所产生的磁感 应强度的分布.

例3图

例3图a

解:根据对称性分析,无限大平面的两侧与平面等距离之点的磁感应强度 B 的大小相等, 方向相反,它们均平行于平面,且与电流方向垂直,方向如例 3 图 a 所示.现取图示矩形回

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路 abcd,ab,cd 平行于平面,且与电流方向垂直,ab 和 cd 到平面的距离相等,取回路的绕 行方向沿 abcda. 于是

∫ Bd l = ∫ Bd l + ∫ Bd l + ∫ Bd l + ∫ Bd l = B ab + Bcd
L ab bc cd da

用 ab = cd = l ∴ Bd l = 2 BL



而 ∑I i = il

L

根据安培环路定理
2 BL = 0il

∴ B = 0i 2 例 4,如图所示,长直导线和长方形线框 ACDE 在同一平面内,分别载有电流 I1 和 I2,电 流方向如图所示.长方形线框边长分别为 a 和 b,它的 AE 边长与直导线的距离为 C,求每条 边所受的力及线框所受的合力. 解:首先应求出在线框区域中的磁场分布,然后用安培定律求各边所受的安培力及线框 所受的合力.

I1 A F4 I2 o c F1 C F2 F3 D a b x

例4图 选取如图所示坐标系,长直载流导线产生的磁感应强度 B1 的方向垂直纸面向内,大小为:
B1 =

O I 1 2πx

根据安培定律线框每边受力的方向如图所示. AC 边所受的力的大小为

F1 = ∫

c+a

C

O I1 II c+a I 2dx = O 1 2 Ln 2πx 2π c
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用同样的方法,可得 DE 边所受力的大小为
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F3 =

O I 1I 2 c+a Ln 2π c O I 1I 2 b 2πc

EA 边上各点的磁感应强度大小相等,方向相同,因此,EA 边所受力的大小为
F4 =

同理可得 CD 边所受力的大小为

F2 =

O I 1I 2b 2π (c + a )

因 F 1和F 3 大小相等,方向相反,所以线框所受合力为
F = F4 + F2 =

0 I 1 I 2 ab 2πc( a + c )

负号表示 F 的方向与 x 轴正向相反,即 F 的方向为水平向左. 例 5,一半径为 R 的半圆形闭合线圈载有电流 I.线圈放在均匀外磁场 B 中, B 的方向与 线圈平面平行,如图所示.

(1) 求此时线圈所受力矩的大小和方向; (2) 在这力矩作用下, 线圈转 (即转到线圈平面与 B 垂直) , 2
矩所作的功. 解:(1)线圈的磁矩 P m 的方向垂直纸面向外,大小为 例5图

π

求力

1 Pm = πR 2 I 2
所以线圈所受的力矩 M 的大小为

1 M = Pm B = πR 2 IB 2 M 的方向由 P m × B 可知为铅直向上.

(2) 线圈转到

π
2

时,力矩所作的功为

1 1 A = IΦ = I (Φ 2 Φ 1 ) = I ( πR 2 B 0) = πR 2 IB 2 2

一,

选择题:

1,取一闭合积分回路 L,使三根载流导线穿过它所围成的面,现改变三根导线之间的相互间
距,但不越出积分回路,则:
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A:回路 L 内的 B:回路 L 内的 C:回路 L 内的 D:回路 L 内的

∑ I 不变,L 上各点的 B 不变; ∑ I 不变,L 上各点的 B 改变; ∑ I 改变,L 上各点的 B 不变; ∑ I 改变,L 上各点的 B 改变.
[ ]

2,图示为载流铁芯螺线管,其中哪 个图画得正确?(即电源的正负极, 铁芯的磁性,磁感应线方向相互不矛盾) : [ ]

3,在磁感应强度为 B 的均匀磁场中作一半径为 r 的半球面 S, S 边线所在平面的法线方向单位矢量 n 与 B 的夹角为α,则通 过半球面S的磁通量为 (A)πr B (B)2πr B (C)-πr Bsinα (D)-πr Bcosα
2 2 2 2

[

]

4,在匀强磁场中,有两个平面线圈,其面积 A1 = 2A2 ,通有电流 I 1 = 2I 2 ,它们所受的最大 磁力矩之比

M1

M2

等于 (B)2 (C)4 (D)1/4 [ ]

(A)1

5,用细导线均匀密绕成长为 l,半径为 a(l>>a) ,总匝数为N的螺线管,管内充满相对磁导率 为μr 的均匀磁介质,若线圈中载有稳恒电流I,则管中任意一点的 (A)磁感应强度大小为 B = (C) 磁感应强度大小为 B =

O r NI
l

(B)磁感应强度大小为 B =

r NI

l
[ ]

o NI

(D) 磁感应强度大小为 B = NI

l

6,α粒子与质子以同一速率垂直于磁场方向入射到均匀磁场中,它们各自作圆周运动的半经
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比 Rα/ RP 和周期比 Tα/ TP 分别为: (A)1 和 2; (C)2 和 2; (B)1 和 1; (D)2 和 1. [ ]

7,如图,在一圆形电流 I 所在的平面内,选取一个同心圆形闭合回路 L,则由安培环路定理 可知 (A) (B) (C) (D)



B d l =0,且环路上任意一点 B=0.

L

∫ ∫ ∫

B d l =0,且环路上任意一点 B≠0. B d l ≠0,且环路上任意一点 B≠0. B d l ≠0,且环路上任意一点 B=0.
[ ]

L

L

L

8,一张气泡室照片表明,质子的运动轨迹是—半径为 10cm 的圆弧,运动轨迹平面与磁感应 强度大小为 0.3 Wb/m 的磁场垂直.该质子动能的数量级为 (A) 0. 01MeV (B) 0. MeV. 1 (C) 1 MeV. (D) 10 MeV. (E) 100 MeV. [ ]
2

9,如图,流出纸面的电流为 2I,流进纸面的电流为 I,则下述各式中哪个是正确的? (A) H dl = 2 I ; (B) H dl = I ; (C) H dl = I ; (D) H dl = I



L1



L2



L3



L4

10,若空间存在两根无限长直载流导线,空间的磁场分布就不具有简单的对称性,则该磁场 分布 (A) 不能用安培环路定理来计算. (B) 可以直接用安培环路定理求出. (C) 只能用毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律求出. (D) 可以用安培环路定理和磁感应强度叠加原理求出. [ ]

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11.

如图,边长为 a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均 A q O q q C q

为 q 的点电荷.此正方形以角速度ω 绕 AC 轴旋转时,在中心 O 点产生的磁感强度大小为 B1;此正方形同样以角速度ω 绕过 O 点垂直于正方形平面的轴旋转时,在 O 点产生的磁感强度的大 小为 B2,则 B1 与 B2 间的关系为 (A) B1 = B2. (C) B1 = (B) (D) B1 = 2B2. B1 = B2 /4. [

1 B2. 2

]

12,如图一固定的载流大平板,在其附近,有一载流小线框能自由转动或平动,线框平面与 大平板垂直,大平板的电流与线框中电流方向如图所示,则 线框的运动情况从大平板向外看是: (A) 靠近大平板 AB; (B) 顺时针转动 (C) 逆时针转动 (D) 离开大平板向外运动. [ ] 通 电

13, 一载有电流 I 的细导线分别均匀密绕在半径为 R 和 r 的长直圆筒上形成两个螺线管 (R=2r) , 两螺线管单位长度上的匝数相等.两螺线管中的磁感应强度大小 BR 和 Br 应满足: (A)BR=2Br ; (B)BR =Br; (C)2BR =Br; (D)BR =4Br [ ]

14. 磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生,圆筒半径为R,X坐标轴垂直圆筒轴 线,原点在中心轴线上,图(A)~(E)哪一条曲线表示B~X的关系? [ ]

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15. 如图所示,螺线管内轴上放一小磁针,当电键 K 闭合时,小磁针 N 级的指向是: (A)向外转 90o (C) 保持图示位置不动 (E)不能确定 (B) 向里转 90o (D)旋转 180o [ ]

16,如图所示导线框 a b c d 置于均衡磁场中( B 的方向竖直向上) ,线框可绕 A B 周转动. 导线通电时,转过α角后,达到稳定平衡.如果导线改用密度为原来 1/2 的材料做,与保持原 来的稳定平衡位置(即α不变) ,可以采用哪一种办法?(导线是均匀的) (A)将磁场 B 减为原来的 1/2 或线框中电流强度减为原来的 1/2 (B) 将导线 b c 部分长度减小为原来的 1/2 (C) 将导线 a b 和 c d 部分长度减小为原来的 1/2 (D)将磁场 B 减少 1/4 ,线框中电流强度减小 1/4 [ ]

17,有一无限长通电流的扁平铜片,宽度为 a,厚度不计,电流 I 在铜片上均匀分布,在铜片 外与铜片共面,离铜片右边缘为 b 处的 P 点(如图)的磁感应强度 B 的大小为: (A)

2π ( a + b)

0 I

(B)

O I a + b ln 2πa b

(C)

0 I a + b ln 2πb a

(D)

0 I
1 2π ( a + b) 2
I

[

]

18, 通有电流 I 的无限长直导线有如图三种形状, 则 P,Q,O 各点磁感强度的大小 BP,BQ,BO 间的关系 为: (A) BP > BQ > BO . (C) B Q > B O > B P. (B) BQ > BP > BO. (D) BO > BQ > BP.

a P a I a a I

Q a

I

2a aO I

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[ 19, 电流由长直导线 1 沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀的圆

]
1 a O 2 b a

环, 再由 b 点沿切向从圆环流出, 经长直导线 2 返回电源(如图). 已 知直导线上电流为 I,∠aOb = π / 2 .若载流长直导线 1,2 以及圆 环中的电流在圆心 O 点所产生的磁感强度分别用 B1 , 2 , B3 表示, B 则 O 点的磁感强度大小 (A) B = 0,因为 B1 = B2 = B3 = 0.

(B) B = 0,因为 B1 + B2 = 0 ,B3 = 0. (C) B ≠ 0,因为虽然 B1 + B2 = 0 ,但 B3≠ 0. (D) B ≠ 0,因为虽然 B1 = B3 = 0,但 B2≠ 0. (E) B ≠ 0,因为虽然 B2 = B3 = 0,但 B1≠ 0. 20, 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为 a, b,
B

[
(A) r O B a b (C) r O a b O B a B

]
(B) r b (D) r O a b

电流在导体截面上均匀分布,则空间各处的 B 的大小与场 点到圆柱中心轴线的距离 r 的关系定性地如图所示. 正确的 图是 [ ]

21, 按玻尔的氢原子理论,电子在以质子为中心,半径为 r 的圆形轨道上运动.如果把这样一个原子放在均匀的外磁场中, 使电子轨道平面与 B 垂直,如图所示,则在 r 不变的情况下, 电子轨道运动的角速度将: (A) 增加. (C) 不变. 22, (B) 减小. (D) 改变方向. [
y

e p

]

如图,一个电荷为+q,质量为 m 的质点,以速度 v 沿 x
+q, m

轴射入磁感强度为 B 的均匀磁场中,磁场方向垂直纸面向里,其 范围从 x = 0 延伸到无限远,如果质点在 x = 0 和 y = 0 处进入磁场, 则它将以速度 - v 从磁场中某一点出来,这点坐标是 x = 0 和 (A)

B
x

v O

y=+ y=

mv . qB

(B)

y=+ y=

2mv . qB
mv . qB
[ ]

(C)

2mv . qB

(D)

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23,

如图,无限长直载流导线与正三角形载流线圈在同一平面内,若长直
I1 I2

导线固定不动,则载流三角形线圈将 (A) 向着长直导线平移. (C) 转动. 24, (B) 离开长直导线平移. (D) 不动. [ ]

无限长直导线在 P 处弯成半径为 R 的圆,当通以电流 I 时,则在圆心 O 点的磁感强度
I R O P

大小等于 (A)

0 I
2πR

.

(B)

0 I
4R

.

(C) 0.

(D)

0 I

1 (1 ) . 2R π
[ ]
2a O I

(E) 25,

0 I

1 (1 + ) . 4R π

四条皆垂直于纸面的载流细长直导线, 每条中的电流皆为 I. 这

I

I 2a I

四条导线被纸面截得的断面,如图所示,它们组成了边长为 2a 的正方 形的四个角顶,每条导线中的电流流向亦如图所示.则在图中正方形中 心点 O 的磁感强度的大小为 (A)

B=

2 0 I . πa

(B)

B= B=

20 I. 2πa I.
Φm
B O (A) O

(C) B = 0.

(D)

0
πa

[

]

26,

一质量为 m,电荷为 q 的粒子,以与均匀磁场 B 垂

Φm
B (B) O

Φm
B (C)

直的速度 v 射入磁场内,则粒子运动轨道所包围范围内的磁 通量Φm 与磁场磁感强度 B 大小的关系曲线是(A)~(E)中的哪 一条? [ ]

Φm

Φm

B O (D) O (E)

B

二,填空题: 1,磁场中任意一点放一个小的载流实验线圈可以确定该点的磁感应强度,其大小等于放在该 点处实验线圈所受的____________和线圈的________的比值. 2,在同一平面上有两个同心的圆线圈,大线圈半径为 R,通有电流 I 1 , 小线圈半径为 r,通有电流 I 2 ,如图.则小线圈所受的磁力矩为_____, 同时小线圈还受到使它_____的力.
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3,如图,平行的无限长直截流导线 A 和 B,电流强度均为 I,垂直纸面向外,两根截流导线之 间相距为 a,则 (1) AB 中点(p 点)的磁感应强度 B p = _____________. (2) 磁感应强度 B 沿图中环路 l 的线积分 B dl = ______.



l

4,电子质量 m,电量 e,以速度 v 飞入磁感应强度为 B 的匀强磁场中, v 与 B 的夹角为θ, 电子作螺旋运动,螺旋线的螺距 h=____________,半径 R=______________. 5,一平面实验线圈的磁矩大小 pm 为 1× 10 A m
8 2

,把它放入待测磁场中的 A 处,实验线圈

如此之小,以致可以认为它所占据的空间内场是均匀的.当此线圈的 Pm 与 z 轴平行时,所 受磁力矩大小为 M=5×10 N m ,方向沿 x 轴负方向;当此线圈的 Pm 与 y 轴平行时,所 受磁力矩为零.则空间 A 点处的磁感应强度 B 的大小为_______,方向为_______. 6, 载有一定电流的圆线圈在周围空间产生的磁场与圆线圈半径 R 有关, 当圆线圈半径增大时, (1) 圆线圈中心点(即圆心)的磁场__________. (2) 圆线圈轴线上各点的磁场_____________________________________. 7,有两个竖直放置彼此绝缘的环形钢性导线(它们的直径几乎相等) ,可以绕它们的共同直 径自由转动.把它们放在互相垂直的位置上.若给它们通以电流,则它们转动的最后状态是: _________________.
-9

8,在国际单位制中,磁场强度的单位是__________. 磁感应强度的单位是__________. 用

1 B H 表示的单位体积内储存的磁能的单位是__________. 2
9, 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩大小与线圈所围面积____________; 在面积一定时, 与线圈的形状________;与线圈相对于磁场的方向__________. (填:有关,无关)
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10,半径为 0.5cm 的无限长直圆柱形导体上,沿轴线方向均匀地流着 I=3A 的电流.作一个半 径 r=5cm,长 L=5cm 且与电流同轴的圆柱形闭合曲 面 S,则该曲面的磁感应强度 B 沿曲面的积分

∫∫ B d S =____________.

11,在磁感应强度 B = 1.5 × 10 T 的均匀磁场中,一以垂直于磁场的速度 V = 2 × 10 m / s 飞
6

4

行的电子,其圆弧轨迹的半径 R=______________. (电子电量 e = 1.60 × 10

19

C ,电子质量

m = 9.11 × 10 31 kg )
12,两根长直导线通有电流 I,图示有三种环路,在每种情况下, B dl 等于:



___________(对环路 a) ;________(对环路 b) ;_________(对环路 c) .

13 一面积为 S,载有电流 I 的平面闭合线圈置于磁感应强度为 B 的均匀磁场中,此线圈受到 的最大磁力矩的大小为___________________,此时通过线圈的磁通量为________________. 当此线圈受到最小的磁力矩作用时通过线圈的磁通量为_______________________. 14,一个带电粒子以某一速度射入均匀磁场中,当粒子速度方向与磁场方向间有一角度 α0 <α< π 且 α≠ π /2)时,该粒子的运动轨道是_______________. 15,在匀强磁场 B 中,取一半径为 R 的圆,圆面的法线 n 与 B 成 60°角,如图所示,则通过 以该圆周为边线的如图所示的任意曲面 S 的磁通量 Φ m =

∫∫ B dS =
S

________.

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16,有一长直金属圆筒,沿长度方向有稳恒电流 I 流过,在横截面上电流均匀分布.筒内空 腔各处的磁感应强度为__________,筒外空间中离轴线 r 处的磁感应强度为____________. 17,在电场强度 E 和磁感应强度 B 方向一致的匀强电场和匀强磁场中,有一运动着的电子, 某一时刻其速度 v 的方向如图(1)和图(2)所示,则该时刻运动电子的法向和切向加速度的 大小分别为(设电子的质量为 m,电量为 e) an=_____________________________, (图 1) an=_____________________________, (图 2) at=__________________, (图 1) at=__________________. (图 2)

18,空间某处有互相垂直的两个水平磁场 B1 和 B2 , B1 向北, B2 向东.现在该处有一段载流 直导线,只有当这段导线____________放置时,才有可能使两磁场作用在它上面的合力为零. 当这段导线与 B2 的夹角为 60°时,欲使导线所受合力为零,则两个水平磁场 B1 与 B2 的大小必 须满足的关系为________________. 19, 长为 L=40cm 的直导线, 在均匀磁场中以 v=5ms-1 的速度沿垂直于磁力线的方向运动时, 导线两端的电势差 U=0.3V.该磁场的磁感应强度 B=___________. 20. 电子在磁感应强度为 B 的均匀磁场中沿半径为 R的圆周运动,电子运动所形成的等效圆 电流强度I= ;等效圆电流的磁距Pm= .已知电子电量的大

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小为 e ,电子的质量为 me . 21. 将一个通过电流强度为I的闭合回路置于均匀磁场中, 回路所围面积的法线方向与磁场方 向的夹角为α.若均匀磁场通过此回路的磁通量为φ,则回路所受力距的大小为_______. 22.在安培环路定理



L

B dl = 0 ∑ I i 中 ∑ I i 是指____________________________;B

是指_____________________________;它是由______________________________决定的.

23.如图,半圆形线圈(半径为 R)通有电流 I.线圈处在与线圈平面 平行向右的均匀磁场 B 中.线圈所受磁力矩的大小为 R

O

B
I O′

__________,方向为____________.把线圈绕 OO'轴转过角

度____________时,磁力矩恰为零. 24.如图所示, 在真空中有一半径为 a 的 3/4 圆弧形的导线, 其中通 以稳恒电流 I,导线置于均匀外磁场 B 中,且 B 与导线所在平 I 面垂直.则该载流导线 bc 所受的磁力大小为_________________. 25. A,B,C 为三根平行共面的长直导线,导线间距 d =10 cm,它们通过的电流分别为 IA = c a O a

B
b

IB = 5 A,IC = 10 A,其中 IC 与 IB,IA 的方向相反,每根导线每厘 米所受的力的大小为 IA IB d IC d

d FA = ______________________, dl d FB = ______________________, dl d FC = ______________________. dl
(0 =4π×10-7 N/A2)

26.将同样的几根导线焊成立方体,并在其对顶角 A,B 上接上电 源,则立方体框架中的电流在其中心处所产生的磁感强度等于
A O

B

________________.

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三,计算题: 1,两根长直导线沿半径方向引到铁环上 A,B 两点,并与很远的电源相连,如图所示, 已知直导线上的电流为 I,铁环半径为 R ,铁环上电阻均匀分布,求环中心的磁感应强度.

2,电流均匀地渡过无限大干面导体薄板,面电流密度为 j,设板的厚度可以忽略不计,试用 毕奥—萨伐尔定律求板外任意一点的磁感应强度.

3,氢原子可以看成电子在平面内绕核作匀速圆周运动的带电系统.已知电子电量为 e,质量为 m e ,圆周运动的速率为 v,求圆心处的磁感应强度的值 B. 4,在一半径 R=1.0 cm 的无限长半圆桶形金属薄片中,沿长度方向有电流 I=5.0 A 通过, 且横截面上电流分布均匀.试求圆柱轴线任一点的磁感应强度. 0=4π×10 (μ
-7

N/A )

2

5,用两根彼此平行的半无限长直导线 L1,L2 把半径为 R 的均匀导体圆环联到电源上,如图所 示.已知直导线上的电流为 I.求圆环中心 O 点的磁感应强度.

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6,有一闭合回路由半径为 a 和 b 的两个同心共面半圆连接而成,如图其上均匀分布线密度为 λ 的电荷,当回路以匀角速度 ω 绕过 O 点垂直于回路平面的轴转动时,求圆心 O 点处的磁感 应强度的大小. 7.无限长直导线折成 V 形,顶角为θ,置于 X-Y 平面内,且一个角边与 X 轴重合,如图.当 导线中有电流 I 时,求 Y 轴上一点 P(o,a)处的磁 感应强度大小.

8.假定地球的磁场是由地球中心的小电流环产生,已知地极附近磁感应强度 B 为 6.27*10-5T, 地球半径为 R=6.35*106m.o=4π*10-7H/m.试用毕奥-萨伐尔定律求小电流环的磁矩大 小? 9. 如图所示, xOy 平面(即纸面)内有一载流线圈 abcda, 在 y Il1 R a O 30° c 45° x R I Il2 d I . (1) 图中电流元 Il1 和 Il2 所受安培力 F1 和 F2 的大小 和方向,设l1 = l2 =0.10 mm; (2) 线圈上直线段 ab 和 cd 所受到的安培力 Fab 和 Fcd 的大小和方向; (3) 线圈上圆弧段 bc 弧和 da 弧所受到的安培力 Fbc 和 b

其中 bc 弧和 da 弧皆为以 O 为圆心半径 R =20 cm 的 1/4 圆弧,

ab 和 cd 皆为直线, 电流 I =20 A, 其流向沿 abcda 的绕向. 设
该线圈处于磁感强度 B = 8.0×10-2 T 的均匀磁场中, B 方向 沿 x 轴正方向.试求:

Fda 的大小和方向.

I1 R1

I2
OP x 2b

R2 x

10. 如图两共轴线圈,半径分别为 R1,R2,电流为 I1,I2.电 流的方向相反,求轴线上相距中点 O 为 x 处的 P 点的磁感强度.
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四,证明题 1. 一圆形电流,半径为 R,电流为 I.试推导此圆电流轴线上距离圆电流中心 x 处的磁感 强度 B 的公式, 并计算 R =12 cm, = 1 A 的圆电流在 x =10 cm 处的 B 的值.0 =4π×10-7 I ( N /A2 ) 2. 在相距为 d 的两块大平行板中间,存在均匀电场 E = Ei , 和均匀磁场 B = Bk , i , k 分别为 x,z 方向的单位矢量.今有 一质量为 m,电荷为+q 的粒子从缝隙 A 以初速 v 0 i 进入平行板 间.假定此粒子的初速 v0 能保证它靠近右侧平板而又不与板相 碰,试证明此粒子在运动轨迹的最右端 P 点的曲率半径为
A y d

B v0
O

P

x

r=
式中

2 v 0 + 2 βEd 2 βB v 0 + 2 βEd βE

β = q/m
b

3. 如图,一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中,试 证明导线 a 到 b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流 的直导线 ab 所受的安培力. 五,问答题

I a

B

1. 将一长直细螺线管弯成环形螺线管,问管内磁场有何变化? 2.根据毕奥-萨伐定律, 求得真空中有限长载流直导线 AB 在空间 P 点产生的磁感强度大小为
L O d

β1

P

B=

0 I
4πd

(sin β 2 sin β 1 )

A β2 I B

现以O点为圆心,d 为半径,在垂直于电流的平面内作一圆,并以 此为回路计算 B 的环路积分,得

∫ B d l
L

=

1 0 I (sin β 2 sin β 1 ) 2

为什么这与安培环路定理的结论

∫ B d l
L

= 0 I

不一致?

3.

空间某区域有均匀的,相互垂直的电场 E 和磁场 B ,

B

v

E

有一粒子沿与 E ,B 垂直的方向笔直地通过该区域, 如图. 根 据上述情况,能否断定该粒子是否带电,带何种电荷?如能断定请给出结论;如不能断定,
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请说明理由. 六,改错题 1. 在稳恒电流的磁场中,任意选取的闭合积分回路,安培环路定理 H d l =
L



∑I

i

都能

成立,因此利用安培环路定理可以求出任何电流回路在空间任一处产生的磁场强度.以上看 法如有错请指出并改正. 2. 一段导线 AB 长 L,通有电流 I,有人求解 AB 的中垂线上离垂足 O 距离 A I P O a B

为 a 处的 P 点的磁感强度如下:以 O 为圆心,a 为半径在垂直于 L 的平面上作 圆(P 在圆上).以该圆为积分回路,由安培环路定律,则可得 P 处的磁感强度 为

B=

0 I
2πa

请指出以上解法的错误,并给出正确答案.

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