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魏立国:国际数学奥林匹克竞赛题的证明及其推广


《中学数学研究》2008 年第二期。

国际数学奥林匹克竞赛题的证明及其推广
江苏省响水中学高数组 魏立国

内容摘要:国际数学奥林匹克竞赛题的证明及其推广 1、 (39 届 IMO 预选题 16)设 x、y、z 是正实数,且 xyz=1,
3 x3 y3 z3 证明: + + ≥ 4 (1 ? y)(1 ? z ) (

1 ? z )(1 ? x) (1 ? x)(1 ? y)

本题无论是组委会还是华罗庚数学奥林匹克竞赛教材提供的解答, 无 非是强化命题构造函数求导或者琴生不等式均值不等式联合使用。 这些证 法都是奥赛骄子才能问津, 我们普通中学生看这解答都很吃力。 其实本题, 用最基本的均值不等式很容易得到。 证明:∵
1? y 1? z 3 x3 + + ≥ x 8 4 8 (1 ? y)(1 ? z ) 1? z 1? x 3 y3 + + ≥ y 8 8 4 (1 ? z )(1 ? x) 1? x 1? y 3 z3 + + ≥ z 8 4 8 (1 ? x)(1 ? y)



3 x? y?z 3 x3 y3 z3 + + + + ≥ (x+y+z) 4 4 (1 ? y)(1 ? z ) (1 ? z )(1 ? x) (1 ? x)(1 ? y) 4 1 3 x3 y3 z3 + + ≥ (x+y+z)- 2 4 (1 ? y)(1 ? z ) (1 ? z )(1 ? x) (1 ? x)(1 ? y)
2 4 4



≥ 3 ? 3 xyz ? 3 ? 3 ∴命题得证 推广命题,设 x1、x2…xn 是正实数,且 ? xi ? 1
i ?1 n

-1-

《中学数学研究》2008 年第二期。

证明: ?
i ?1

n

xin (1 ? xi )

? (1 ? x j )
j ?1

n

?

n 2 n ?1

证明:∵

x (1 ? xi )

? (1 ? x )
j j ?1

n i n

?

? (x
j ?1

n

j n

? 1) ?

2

n xi ? 1 x (1 ? xi ) ? n ? n 2 ? (1 ? x j )

n i n

? ?x
n j ?1

j

? 1? ?
n n ?1

1 xi ? 1

(2 )

?

nxi 2 n ?1

j ?1

n ? ? (1 ? x j ) ? ? n n ? xi (1 ? xi ) 1 ? xi ? n nxi j ?1 ? ∴? n ? ? n ? ? n ?1 2n 2 ? i ?1 2 i ?1 ? ? ? (1 ? x j ) ? ? j ?1 ?

∴?
i ?1

n

xin (1 ? xi )

? (1 ? x
j ?1

n

?

n 2
n ?1

j

)

?x
i ?1

n

i

?

? xi
i ?1

n

2

n

?

n? xi
i ?1 n

n

2

?

n(n ? 1) 2n

= =

(n ? 1) n n(n ? 1) xi ? ? ? n 2 2n i ?1
2n n ? n ?1 n 2 2

(n ? 1)n(? xi ) n 2
i ?1 n

n

1

?

n(n ? 1) 2n

2。 (46 届国际数学奥林匹克竞赛题)正实数
x5 ? x 2 y5 ? y 2 z5 ? z 2 ? ? ? 0。 x5 ? y 2 ? z 2 y 5 ? x 2 ? z 2 z 5 ? y 2 ? x 2

x, y , z

满足

xyz ? 1

。证明:

推 广 命 题 :

xi ? R ? (i ? 1,2,? ? ?, m ? 1),
-2-



?x
i ?1

m ?1

i

? 1.







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?
i ?1

m ?1
m ?1 k ?1

xi2 m ?1 ? xim

? xkm ? xim ? xi2 m ?1

? 0, (m ? N ? )

证明:

? m?1 ? m m 2 m?1 ? xi ? xi ? xk
k ?1
m ?1 xi m ?1

2 m?1 m xi ? xi

2 m?1 m xi ? xi m?1 xi j ? xm j ?1 m?1

?
j ?1

xm j ?(

m ?1 k ?1

m m 2 m ?1 ? xi ? xi ) ? xk m ?1 j ?1

=( x

2 m?1 i

?x ) ( m m 2 m ?1 m ?1 ? xi ? xi ) xi j ? xk ? xm
m i
k ?1

m ?1

( xim?1 ?1)(

m ? xim ) ? xk k ?1 j ? xm j ?1 m ?1

m ?1

=( x

2 m?1 i

?x )
m i

(

?
k ?1

m ?1

m xk ? xim ? xi2 m?1 )xim?1

( xim?1 ?1) 2 ( xi (

? xkm ? xim )
k ?1

m ?1

?
k ?1

m ?1

m xk

? xim

? xi2 m?1 )
m ?1 k ?1

?
j ?1

m ?1

?0

xm j

?

xim ( xim?1 ?1) 2 ( xim ?1 (

? xkm ? xim ) ?
j ?1 m ?1

?
k ?1

m ?1

m xk

? xim

? xi2 m ?1 )

?

xm j

? m?1 ? m?1 m m 2 m?1 xim?1 ? xm j ? xk ? xi ? xi
k ?1 j ?1

xi2 m?1 ? xim

xi2 m?1 ? xim



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《中学数学研究》2008 年第二期。

?

m ?1

xi2 m ?1 ? xim
m ?1 j ?1 j ? xm

m ?1 i ?1 xi

? m?11 ? ( xim ? x1i ) ? m?11 (? xim ? ? x1i ) i ?1 i ?1 j i ?1 j ? xm ? xm
j ?1 j ?1

m ?1

m ?1

m ?1

??x
i ?1

m ?1

i

? 1.
m ?1 i ?1

??x ??
1

m ?1 i ?1

m ?1 i ?1

? xkm
k ?1

m ?1

i

xi
m ?1

?
m ?1 i ?1

m ?1

1 xm j

?
j ?1

1 (? xim ? ? x )? i i ?1

m ?1

m ?1 j ?1

1

j ? xm

m ? ? m?1 m ?1 ? xk ?? xim ? ? k ?1 ? xi ? i ?1 ? i ?1 ? ?

m m m m m m m m m 1 1 ? x2 ? x3 ? ? ? ? ? xm ? xim ? m ? mxim ? m ?1 ? x1 ? x3 ? ? ? ? ? xm ?1 ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm i ?1

m ?1

??

? ?

?

?

??

?

1 m

?m x2 x3 ? ? ? xm?1 ? m x1 x3 ? ? ? xm?1 ? ? ? ? ? m x1 x2 ? ? ? xm ?
m ?1 i ?1

? x 2 x3 ? ? ? x m?1 ? x1 x3 ? ? ? xm?1 ? ? ? ? ? x1 x 2 ? ? ? xm ? ? k ?1xi
1 ? m?11 ? ( x ? x ) ? 0? i j i ?1 ? xm m i
j ?1

? xkm

m ?1

m ?1

?
i ?1

m ?1

xi2 m?1 ? xim

?
k ?1

m?1

m xk ? xim ? xi2 m?1

?0

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