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高一数学必修一易错题集锦答案[1]


高一数学必修一易错题集锦答案
1. 已知集合 M={y|y =x +1,x∈R},N={y|y =x+1,x∈R},则 M∩N=( ) 2 解:M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, 2 2 注: 集合是由元素构成的, 认识集合要从认识元素开始,

要注意区分{x|y=x +1}、 {y|y=x 2 +1,x∈R}、{(x,y)|y=x +1,x∈R},这三个集合是不同的. 2 .已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0}且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C. 解:∵A∪B=A ∴B A 又 A={x|x2-3x+2=0}={1,2}∴B= 或 ?? 1 或?2? ∴C={0,1,2}
2

C= ?x | x ? 4a ? 1, a ? Z ?,则有:m+n ? 解:∵m ? A, ∴设 m=2a1,a1 ? Z,

3 。 已 知 m ? A,n ? B, 且 集 合 A= ?x | x ? 2a, a ? Z ? , B= ?x | x ? 2a ? 1, a ? Z ? , 又
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(填 A,B,C 中的一个)

又∵n ? B ,∴n=2a2+1,a2 ? Z ,

∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 ? Z , ∴m+n ? B。 4 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 B A,求实数 p

的取值范围. 解:①当 B≠ 时,即 p+1≤2p-1 p≥2.由 B A 得:-2≤p+1 且 2p-1≤5. 由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当 B= 时,即 p+1>2p-1 p<2. 由①、②得:p≤3. 点评:从以上解答应看到:解决有关 A∩B= 、A∪B= ,A B 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 2 5 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac }.若 A=B,求 c 的值. 分析:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 解:分两种情况进行讨论. 2 2 (1)若 a+b=ac 且 a+2b=ac ,消去 b 得:a+ac -2ac=0, a=0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 a≠0. 2 ∴c -2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解. 2 2 (2)若 a+b=ac 且 a+2b=ac,消去 b 得:2ac -ac-a=0, 2 ∵a≠0,∴2c -c-1=0, 即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故 c=-

1 . 2

点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验. 6 设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

1 ? A, a ? 1 且 1?A. 1? a

⑴若 2∈A, 则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合?请说明 理由. ⑶若 a∈A,证明:1-

1 ∈A.⑷求证:集合 A 中至少含有三个不同的元素. a

1 ∈A ? 2∈A 2 1 ∴ A 中至少还有两个元素:-1 和 2 1 2 ⑵如果 A 为单元素集合,则 a= 即 a ? a ? 1 =0 1? a
解:⑴2∈A ? -1∈A ? 该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能是单元素集 ⑶a∈A ?

1 ∈A ? 1? a

1 1 1? 1? a

∈A?

1? a ? 1 A,即 1- ∈A a 1? a ?1

1 1 1 1 ∈A, 1- ∈A .现在证明 a,1- , 三数互不相等. a a 1? a 1? a 1 1 ①若 a= ,即 a2-a+1=0 ,方程无解,∴a≠ 1? a 1? a 1 1 2 ②若 a=1- ,即 a -a+1=0,方程无解∴a≠1- a a 1 1 1 1 ③若 1- = ,即 a2-a+1=0,方程无解∴1- ≠ . a 1? a a 1? a
⑷由⑶知 a∈A 时, 综上所述,集合 A 中至少有三个不同的元素. 点评:⑷的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠严谨.

7 设 M={a,b,c} ,N={-2,0,2},求(1)从 M 到 N 的映射种数; (2)从 M 到 N 的映射满足 f (a)> f (b)≥f(c),试确定这样的映射 f 的种数. 解: (1)由于 M={a,b,c} ,N={-2,0,2} ,结合映射的概念,有 一共有 27 个映射

?a ? 0 ?a ? 2 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? ? ? (2)符合条件的映射共有 4 个 , ?b ? ?2, ?b ? ?2, ?b ? 0 , ?b ? 0 , ?c ? ?2 ?c ? ?2 ?c ? ?2 ?c ? 0 ? ? ? ?
8.已知函数 f ( x ) 的定义域为[0,1],求函数 f ( x ? 1) 的定义域 解:由于函数 f ( x ) 的定义域为[0,1],即 0 ? x ? 1 ∴ f ( x ? 1) 满足? 0 ? x ? 1 ? 1

?1 ? x ? 0 ,∴ f ( x ? 1) 的定义域是[-1,0]
9 根据条件求下列各函数的解析式: (1)已知 f ( x ) 是二次函数,若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,求 f ( x ) . (2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x )

(3)若 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? ax, 求 f ( x ) 解: (1)本题知道函数的类型,可采用待定系数法求解 设 f ( x ) = ax2 ? bx ? c

1 x

(a ? 0) 由于 f (0) ? 0 得 f ( x) ? ax2 ? bx ,

又由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,∴ a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? ax2 ? bx ? x ? 1 即

ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? ax2 ? (b ? 1) x ? 1
1 2
1 2 1 x ? x 2 2

? 2a ? b ? b ? 1 ? ? ?a ? 0 ?a ? b ? 1 ?

?a ? b ?

因此: f ( x ) =

(2)本题属于复合函数解析式问题,可采用换元法求解 设 u ? x ? 1 ( x ? 0),? x ? u ? 1 (u ? 1)

? f (u) ? (u ? 1)2 ? 2(u ? 1) ? u 2 ? 1

( u ? 1) ∴ f ( x) = x2 ? 1

( x ? 1)

(3)由于 f ( x ) 为抽象函数,可以用消参法求解

1 1 1 1 代 x 可得: f ( ) ? 2 f ( x) ? a , 与 f ( x) ? 2 f ( ) ? ax x x x x 1 2a ax ? 联列可消去 f ( ) 得: f ( x ) = . x 3x 3 点评: 求函数解析式 (1) 若已知函数 f ( x ) 的类型, 常采用待定系数法; (2) 若已知 f [ g ( x)]
用 表达式,常采用换元法或采用凑合法; (3)若为抽象函数,常采用代换后消参法. 10 已知 3x ? 2 y ? 6 x ,试求 x ? y 的最大值.
2 2 2 2

分析:要求 x ? y 的最大值,由已知条件很快将 x ? y 变为一元二次函数
2 2 2 2

1 9 f ( x) ? ? ( x ? 3) 2 ? , 然后求极值点的 x 值,联系到 y 2 ? 0 ,这一条件,既快又准地求 2 2
出最大值.

解 由

3x 2 ? 2 y 2

3 y 2 ? ? x 2 ? 3 x. 2 ? 6x 得 3 ? y 2 ? 0,? ? x 2 ? 3 x ? 0,? 0 ? x ? 2. 2

3 2 1 9 x ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2 1 9 ? 当 x ? 2 时, x 2 ? y 2 有最大值,最大值为 ? (2 ? 3) 2 ? ? 4. 2 2
又x ? y ? x ?
2 2 2

点评:上述解法观察到了隐蔽条件,体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下:
2 2 由 3x ? 2 y ? 6 x 得 y ? ?
2

3 2 x ? 3 x, 2

? x2 ? y2 ? x2 ?

?

3 2 1 9 x ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2 9 当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 取最大值,最大值为 2

这种解法由于忽略了 y 2 ? 0 这一条件,致使计算结果出现错误.因此,要注意审题,不仅能 从表面形式上发现特点, 而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件, 既要注意主要的已知条件, 又要注意次要条件,甚至有些问题的观察要从相应的图像着手,这样才能正确地解题.. 11 设 f ( x ) 是 R 上的函数,且满足 f (0) ? 1, 并且对任意的实数 x , y 都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) ,求 f ( x) 的表达式.
解法一:由 f (0) ? 1, f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) ,设 x ? y , 得 f (0) ? f ( x) ? x(2 x ? x ? 1) ,所以 f ( x ) = x ? x ? 1
2

解法二:令 x ? 0 ,得 f (0 ? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) 即 f (? y) ? 1 ? y(? y ? 1) 又将 ? y 用 x 代换到上式中得 f ( x ) = x ? x ? 1
2

点评:所给函数中含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相 等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.具体取什么特殊值,根据题目特征而定. 12 判断函数 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 的奇偶性. 1? x

解: f ( x) ? (1 ? x)

1? x 1? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 有意义时必须满足 1? x 1? x

即函数的定义域是{ x | ?1 ? x ? 1 } ,由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇 函数也不是偶函数 13 判断 f ( x ) ? log 2 ( x ?

x 2 ? 1) 的奇偶性. x 2 ? 1)

2 正解:方法一:∵ f (? x) ? log 2 (? x ? (? x) ? 1) ? log 2 (? x ?

= log2

1 x ? x ?1
2

= ? log2 ( x ?

x 2 ? 1) =- f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数
x 2 ? 1) ? log 2 (? x ? x 2 ? 1)

方法二:∵ f ( x) ? f ( ? x) ? log 2 ( x ? = log 2 [( x ?

x 2 ? 1) ? (? x ? x 2 ? 1) ? log 2 1 ? 0
∴ f ( x) 是奇函数

f ( ? x ) ? ? f ( x)

14 函数 y= 5 ? 4x ? x 2 的单调增区间是_________. 解:y= 5 ? 4x ? x 2 的定义域是 [?5,1] ,又 g ( x) ? 5 ? 4x ? x2 在区间 [?5, ?2] 上增函数, 在区间 [?2,1] 是减函数,所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区间是 [?5, ?2] 15 已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-3)+f(x -3)<0,求 x 的取值范围. 解:由 ?
2

?0 ? x ? 6 ,故 0<x< 6 , 得? ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6 ?? 3 ? x ? 3 ? 3
2
2 2

又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x -3)=f(3-x ),又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x ,即 x +x-6>0,解得 x>2 或 x<-3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, 16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x+1);(2) y ? 10|lg x| . 分析:显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难,除去对其函数性质分析外,我们还 应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思 想. 解: (1)当 x≥2 时, 即 x-2≥0 时,
2 2

当 x<2 时,即 x-2<0 时,

1 9 ? (x ? )2 ? ( x ? 2) ? ? 2 4 所以 y ? ? ?? ( x ? 1 ) 2 ? 9 ( x ? 2) ? 2 4 ?

这是分段函数,每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)

(2)当 x≥1 时,lgx≥0,y =10lgx=x;

当 0<x<1 时,lgx<0,

所以 这是分段函数,每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评:作不熟悉的函数图像,可以变形成基本函数再作图,但要注意变形过程是否等价,要 特别注意 x,y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如:一次函数、反比例函数、 二次函数、指数函数、对数函数,及三角函数、反三角函数的图像.

17 若 f(x)=

ax ? 1 在区间(-2,+ ? )上是增函数,求 a 的取值范围 x?2

解:设 ?2 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? 2

? ? ?

(ax1 ? 1)( x 2? 2) ? (ax ? 2 1)( x ?12) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) (ax1 x2 ? 2ax1 ? x2 ? 2) ? (ax1 x2 ? 2ax2 ? x1 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 2ax1 ? x1 ? 2ax2 ? x2 (2a ? 1)( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

ax ? 1 在区间(-2,+ ? )上是增函数得 x?2 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 2a ? 1 ? 0 ∴a> 2
由 f(x)=

点评:有关于单调性的问题,当我们感觉陌生,不熟悉或走投无路时,回到单调性的定义上 去,往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 18 已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f(

1 )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、 2

y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

x? y ),试证明: 1 ? xy x? y ), 令 x=y=0, 得 f(0)=0, 令 y= - x, 得 f(x)+f( - 1 ? xy

(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减 解:证明: (1) 由 f(x)+f(y)=f(

x)=f(

x?x )=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. 1? x2 (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减.
令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴

x2 ? x1 >0, 1 ? x1 x 2

又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<

x 2 ? x1 x ? x1 <1,由题意知 f( 2 )<0 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. 点评:本题知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、 单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确,运算技能不 过关,结果很难获得. 对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;对于(2),判定

x 2 ? x1 的范围是解题的焦点. 1 ? x1 x 2
19 已知 log18 9 ? a,18b ? 5, 求 log36 45 解:∵ 18 ? 5, ∴ log18 5 ? b
b

∴ log 36 45 ?

log18 45 log18 5 ? log18 9 ? ? log18 36 log18 4 ? log18 9

b?a b?a b?a ? ? 18 18 2?a log18 ( ) 2 ? a 2 log18 ( ) ? a 9 9

20 知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 解:∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u , u ? 2 ? ax 复合而成,又 a >0 ∴ u ? 2 ? ax 在[0,1]上是 x 的减函数,由复合函数关系知

y ? loga u 应为增函数,∴ a >1
又由于 x 在[0,1]上时 y ? loga (2 ? ax) 有意义, u ? 2 ? ax 又是减函数,∴ x =1 时,

u ? 2 ? ax 取最小值是 u min ? 2 ? a >0 即可,
综上可知所求的取值范围是 1< a <2 21 已知函数 f ( x) ? log a (3 ? ax) .

∴ a <2

(1)当 x ? [0, 2] 时 f ( x ) 恒有意义,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在这样的实数 a 使得函数 f ( x ) 在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1,如

果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 分析:函数 f ( x ) 为复合函数,且含参数,要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题 思路,是否存在性问题,分析时一般先假设存在后再证明. 解: (1)由假设, 3 ? ax >0,对一切 x ? [0, 2] 恒成立, a ? 0, a ? 1 显然,函数 g(x)= 3 ? ax 在[0,2]上为减函数,从而 g(2)= 3 ? 2a >0 得到 a < ∴ a 的取值范围是(0,1)∪(1,

3 2

3 ) 2

(2)假设存在这样的实数 a ,由题设知 f (1) ? 1 ,即 f (1) ? loga (3 ? a) =1 ∴a=

3 3 此时 f ( x) ? log a (3 ? x) 2 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 没有意义,故这样的实数不存在. 点评:本题为探索性问题,应用函数、方程、不等式之间的相互转化,存在性问题一般的处 理方法是先假设存在,结合已知条件进行推理和等价转化,若推出矛盾,说明假设不成立. 即不存在,反之没有矛盾,则问题解决.

1? 2x ? 4x ? a 22 已知函数 f(x)= lg , 其中 a 为常数,若当 x∈(-∞, 1]时, f(x)有意义, a2 ? a ?1
求实数 a 的取值范围. 分析:参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于 a 的不等式(组)非常 困难,故应转换思维角度,设法从原式中把 a 分离出来,重新认识 a 与其它变元(x)的依存 关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”. 解:

1 2 3 1? 2x ? 4x ? a 2 >0, 且 a -a+1=(a- ) + >0, 2 2 4 a ? a ?1

1 1 ? x ), x 4 2 1 1 当 x∈(-∞, 1]时, y= x 与 y= x 都是减函数, 4 2 3 1 1 1 1 ∴ y= ? ( x ? x ) 在(-∞, 1]上是增函数, ? ( x ? x ) max=- , 4 4 2 4 2 3 3 ∴ a>- , 故 a 的取值范围是(- , +∞). 4 4
∴ 1+2 +4 ·a>0, a> ? (
x x

点评:发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主,主客换 位,创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表 现.本题主客换位后,利用新建函数 y= ? ( 实数 a 的取值范围.此法也叫主元法. 23 若 (a ? 1)
? 1 3

1 1 ? x ) 的单调性转换为函数最值巧妙地求出了 x 4 2

? (3 ? 2a)

?

1 3

,试求 a 的取值范围.

解:∵幂函数 y ? x

?

1 3

有两个单调区间,

∴根据 a ? 1 和 3 ? 2a 的正、负情况,有以下关系

?a ? 1 ? 0 ? ?3 ? 2 a ? 0 . ① ? a ? 1 ? 3 ? 2a ?
解三个不等式组:①得

?a ? 1 ? 0 ? ?3 ? 2 a ? 0 . ② ? a ? 1 ? 3 ? 2a ?

?a ? 1 ? 0 .③ ? ?3 ? 2a ? 0

2 3 < a < ,②无解,③ a <-1 3 2 2 3 ∴ a 的取值范围是(-∞,-1)∪( , ) 3 2
点评:幂函数 y ? x
? 1 3

有两个单调区间,在本题中相当重要,不少学生可能在解题中误认

为 a ? 1 ? 3 ? 2a ,从而导致解题错误. 24 已知 a>0 且 a≠1 ,f (log
a

x ) =

a 1 (x - ) x a ?1
2

(1)求 f(x); (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性; 2 (3)对于 f(x) ,当 x ∈(-1 , 1)时 , 有 f( 1-m ) +f (1- m ) < 0 ,求 m 的集合 M . 分析:先用换元法求出 f(x)的表达式;再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性;然 后利用以上结论解第三问. 解:(1)令 t=logax(t∈R),则

x ? a t , f (t ) ?
(2) ? f (? x) ?
2

a a (a t ? a ?t ),? f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ), ( x ? R). a ?1 a ?1
2

a a (a ? x ? a x ) ? ? f ( x), 且x ? R,? f ( x)为奇函数.当a ? 1时, 2 ? 0, a ?1 a ?1 u ( x) ? a x ? a ? x 为增函数, 当0 ? a ? 1时, 类似可判断f ( x)为增函数.综上, 无论a ? 1或0 ? a ? 1,
f(x)在 R 上都是增函数. (3) ? f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0, f ( x)是奇函数且在 R上是增函数 ,? f (1 ? m) ? f (m2 ? 1).又 ? x ? (?1,1)

?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? ? ?? 1 ? m 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? m ? 2 . ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
点评:对含字母指数的单调性,要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入 f(x)的表达式 可求出 m 的取值范围,请同学们细心体会.
2 25 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a 若 x ? [?2, 2] 时, f ( x ) ≥0 恒成立,求 a 的取值范围.

解:设 f ( x ) 的最小值为 g (a ) (1)当 ?

7 a ? ? 2 即 a >4 时, g (a ) = f (?2) =7-3 a ≥0,得 a ? 故此时 a 不存在; 3 2

(2) 当 ?

a a2 ? [?2, 2] 即-4≤ a ≤4 时, g (a ) =3- a - ≥0,得-6≤ a ≤2 2 4

又-4≤ a ≤4,故-4≤ a ≤2; (3) ?

a ? 2 即 a <-4 时, g (a ) = f (2) =7+ a ≥0,得 a ≥-7,又 a <-4 2

故-7≤ a <-4 综上,得-7≤ a ≤2 26 已知 mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.
2

解:设 f ( x) ? mx2 ? x ? 1 , (1)当 m =0 时方程的根为-1,不满足条件. (2)当 m ≠0∵ mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间(0,1)内
2

又 f (0) =1>0 ∴有两种可能情形① f (1) ? 0 得 m <-2 或者② f (1) ? 0且0< ? 综上所得, m <-2 27.是否存在这样的实数 k,使得关于 x 的方程 x 2+(2k-3) x -(3k-1)=0 有两个实数根,且两根都在 0 与 2 之间?如果有,试确定 k 的取值范围;如果没有,试说明理由. 解:令 f ( x) ? x ? (2k ? 3) x ? (3k ?1) 那么由条件得到
2

1 <1 得 m 不存在 2m

? 4k 2 ? 5 ? 0 ?? ? (2k ? 3)2 ? 4(3k ? 1) ? 0 ? ? ?k ? 1 f (0) ? 1 ? 3 k ? 0 ? ? ? 3 即此不等式无解 ? f (2) ? 4 ? 2(2k ? 3) ? (3k ? 1) ? 0 即 ? k ? 1 ? ? ?3 ?0 ? 2k ? 3 ? 2 7 ? ? ?k? ? 2 ?2 2
即不存在满足条件的 k 值. 28 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 对于 x 1、 x 2 ? R,且 x 1< x 2 时
2

1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证:方程 f ( x) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 有不等实根,且必有一根属于区间 2 ( x 1, x 2). 1 解:设 F( x )= f ( x ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] , 2 1 f ( x) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 则方程 ① 2

与方程

F( x )=0

② 等价

∵F( x 1)= f ( x1 ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] F( x 2)= f ( x2 ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] = [? f ( x1 ) ? f ( x2 )] ∴ F( x 1) ·F( x 2)=- [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,又 f ( x1 ) ? f ( x2 )
2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

∴F( x 1) ·F( x 2)<0 故方程②必有一根在区间( x 1, x 2)内.由于抛物线 y=F( x )在 x 轴上、下方均有分布, 所以此抛物线与 x 轴相交于两个不同的交点, 即方程②有两个不等的实根, 从而方程①有两 个不等的实根,且必有一根属于区间( x 1, x 2). 点评:本题由于方程是 f ( x ) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,其中因为有 f ( x ) 表达式,所以解题中 有的学生不理解函数图像与方程的根的联系,误认为证明 f ( x ) 的图像与 x 轴相交于两个不 同的点,从而证题中着眼于证 f ( x1 ) f ( x2 ) <0,使本题没法解决. 本题中将问题转化为 F (x) = f ( x ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 的图像与 x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29 试确定方程 2 x ? x ? 4 x ? 2 ? 0 最小根所在的区间, 并使区间两个端点是两个连续的整
3 2

1 2

1 2

数. 分析: 只要构造函数 f ( x ) = 2 x ? x ? 4 x ? 2 , 计算 f ( x ) 的自变量 x 取整数值时的函数值,
3 2

根据其符号,确定方程根的个数及根的分布. 解:令 f ( x ) = 2 x ? x ? 4 x ? 2
3 2

∵ f (?3) =-54-9+12+2=-49<0

f (?2) =-16-4+8+2=-10<0

f (?1) =-2-1+4+2=3>0, ) ( =0-0-0+2=2>0 , f0 f (1) =2-1-4+2=-1<0, f (2) =16-4-8+2=6>0
根据 f (?2) · f (?1) <0, f (0) · f (1) <0, f (1) · f (2) <0 可知 f ( x ) 的零点分别在区间(-2,-1) , (0,1) , (1,2)内. 因为方程是一个一元三次方程,所以它最多有三个根,所以原方程的最小根在区间(-2, -1)内. 点评:计算一元高次函数值可借助于计算器来完成,在实数范围内一元 n 次方程最多有 n 个实根,当然本题也可以用因式分解方法来解.

2 x3 ? x 2 ? 4 x ? 2

1 ? x 2 (2 x ? 1) ? 2(2 x ? 1) ? 2( x ? )( x 2 ? 2) 2 1 ? 2( x ? )( x ? 2)( x ? 2) 2
所以 2 x ? x ? 4 x ? 2 =0 有三个根:
3 2

1 , 2, ? 2 2

30 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), 方 程 f ( x) ? x ? 0 的 两 个 根 x1 , x 2 , 满 足 0 ? x1 ? x 2 ?

1 . a

(1)当 x ? (0, x1 ) 时,证明 x ? f ( x) ? x1 ; (2)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明:
2

x0 ?

x1 . 2

分析: (1)用作差比较法证明不等式 x ? f ( x) ? x1 ; (2)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), 图像关于直线 x ? x0 对称,实际直线 x ? x0 就是二
2

次函数的对称轴,即 x 0 ? ?

b ,然后用已知条件证明不等式即可. 2a

证明: (1)依题意,设 F ( x) ? f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 当 x ? (0, x1 ) 时,由于 x1 ? x 2 ,∴ ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 ,又 a ? 0 ∴ F ( x) ? f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) >0 即 x ? f ( x)

x1 ? f ( x) ? x1 ? [ x ? F ( x)] ? x1 ? x ? F ( x) ? ( x1 ? x)(1 ? ax ? ax2 ) ? ( x1 ? x)(1 ? ax2 )
∵0 ? x ? x1 ? x2 ? ∴ x1 ? f ( x) ? 0 综合得 x ? f ( x) ? x1 (2)依题意知 x 0 ? ? ∴ x0 ? ?

1 .∴ x1 ? x ? 0,1 ? ax2 ? 0 a

b b ?1 ,又 x1 ? x 2 ? ? 2a a

a( x1 ? x 2 ) ? 1 ax1 ? ax2 ? 1 b ? ? 2a 2a 2a

∵ ax2 ? 1 ? 0, ∴ x 0 ?

ax1 x1 ? 2a 2

点评:解决本题的关健有三:一是用作差比较法证明不等式;二是正确选择二次函数的表达 式,即本题选用两根式表示;三要知道二次函数的图像关于直线对称,此直线为二次函数的 对称轴,即 x 0 ? ?

b 2a

31 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c(c ? b ? 1), f (1) ? 0 ,且方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根. (1)求证:-3<c≤-1,b≥0. (2)若 m 是方程 f ( x) ? 1 ? 0 的一个实根,判断 f (m ? 4) 的正负并加以证明 分析: (1)题中条件涉及不等关系的有 c ? b ? 1 和方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根. 及一个等式 f (1) ? 0 ,通过适当代换及不等式性质可解得; (2)本小题只要判断 f (m ? 4) 的符号,因而只要研究出 m ? 4 值的范围即可定出 f (m ? 4) 符号. (1)证明:由 f (1) ? 0 ,得 1+2b+c=0,解得 b ? ? 1? ?

c ?1 ?c 2 1 , 3
2

c ?1 ,又 c ? b ? 1 , 2

解得 ? 3 ? c ? ?

又由于方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根,即 x ? 2bx ? c ? 1 ? 0 有实根,
2 2 故 ? ? 4b ? 4(c ? 1) ? 0 即 (c ? 1) ? 4(c ? 1) ? 0 解得 c ? 3 或 c ? ?1

∴ ? 3 ? c ? 1 ,由 b ? ?
2

c ?1 ,得 b ≥0. 2
2

(2) f ( x) ? x ? 2bx ? c = x ? (c ? 1) x ? c ? ( x ? c)(x ? 1) ∵ f (m) ? ?1 ? 0 ,∴c<m<1(如图) ∴c—4<m—4<—3<c. ∴ f (m ? 4) 的符号为正. 点评:二次函数值的符号,可以求出其值判断,也可以灵活运 用二次函数的图像及性质解题. 32 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ,且当

x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1.

(1)试求 f ? 0 ? 的值; (2)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论; (3)设 A ?

?? x, y ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1??, B ? ?? x, y ? f ?ax ? y ? 2 ? ? 1, a ? R? , 若
2 2

A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围.
(4)试举出一个满足条件的函数 f ? x ? . 解: (1)在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? 1, n ? 0 .得: f ?1? ? f ?1? ? f ? 0? . 因为 f ?1? ? 0 ,所以, f ? 0? ? 1. (2)要判断 f ? x ? 的单调性,可任取 x1 , x2 ? R ,且设 x1 ? x2 . 在已知条件 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中, 若取 m ? n ? x2 , m ? x1 , 则已知条件可化为:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ?

.

由于 x2 ? x1 ? 0 ,所以 1 ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 . 为比较 f ? x2 ?、f ? x1 ? 的大小,只需考虑 f ? x1 ? 的正负即可. 在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? x , n ? ?x ,则得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 1 . ∵ x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1, ∴ 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 ?1? 0 . f ??x?

又 f ? 0? ? 1,所以,综上,可知,对于任意 x1 ? R ,均有 f ? x1 ? ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? ? 0. ∴ 函数 f ? x ? 在 R 上单调递减. (3)首先利用 f ? x ? 的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含 f 的式子.

f ? x 2 ? ? f ? y 2 ? ? f ?1? 即x 2 ? y 2 ? 1 ,

f ax ? y ? 2 ? 1 ? f ? 0 ? ,即 ax ? y ? 2 ? 0 .
由 A ? B ? ? ,所以,直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x ? y ? 1无公共点.所以,
2 2

?

?

2 a2 ? 1
解得

?1.

?1 ? a ? 1 .
x

?1? (4)如 f ? x ? ? ? ? . ? 2?
点评:根据题意,将一般问题特殊化,也即选取适当的特值(如本题中令 m ? 1, n ? 0 ;以 及 m ? n ? x2 , m ? x1 等)是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段;另外,如果能找到 一个适合题目条件的函数,则有助于问题的思考和解决. 33 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值. 解: (1)当 a ? 0 时,函数 f (? x) ? (? x) 2 ? | ? x | ?1 ? f ( x) 此时, f ( x) 为偶函数 当 a ? 0 时, f (a) ? a 2 ? 1 , f (?a) ? a 2 ? 2 | a | ?1 ,

f ( a ) ? f ( ? a ) , f ( a ) ? ? f ( ?a)
此时 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数
2 2 (2) (i)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 4

当a ?

1 ,则函数 f ( x) 在 ( ??, a ] 上单调递减,从而函数 f ( x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 2

f (a) ? a 2 ? 1.
1 1 3 1 ,则函数 f ( x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f (a ) . 2 2 4 2 1 2 3 2 (ii)当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? 2 4 1 1 3 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 f (? ) ? ? a ,且 f (? ) ? f (a ) 2 2 4 2 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x) 在 [a,??) 上单调递增,从而函数 f ( x) 在 [a,??) 上的最小值为 2
若a ?

f (a) ? a 2 ? 1.

综上,当 a ? ?

1 3 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? a 2 4 1 1 2 当 ? ? a ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? 1 2 2 1 3 当 a ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? a . 2 4

点评: (1)探索函数的奇偶性,可依据定义,通过 f (? x) ? f ( x) 代入有

(? x) 2 ? | ? x ? a | ?1 ? x 2 ? | x ? a | ?1,即 | x ? a |?| x ? a |
可得,当 a ? 0 时, | x ? a |?| x ? a | ,函数 f (? x) ? f ( x) 函数为偶函数. 通过 f (? x) ? ? f ( x) 可得 化得

(? x) 2 ? | ? x ? a | ?1 ? ? x 2 ? | x ? a | ?1

2x 2 ? 2 ?| x ? a | ? | x ? a | 此式不管 a ? 0 还是 a ? 0 都不恒成立,

所以函数不可能是奇函数. (2)由于本题中含有绝对值,需要去掉,故分类讨论,既要对二次函数值域的研究方法熟 练掌握,又要将结论综合,对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查. 34 某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改 建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务 均不计利息). q 已知该种消费品的进价为每件 40 元; 该店每月销售 量 q(百件)与销售价 p(元/件)之间的关系用右图中 60 的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元, 该店应交付的其它费用为每月 130 元. (1) 若当销售价 p 为 52 元/件时, 该店正好收支平衡, 求该店的职工人数; 24 (2)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后 1 还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元?
40 58 81 p

分析:本题题目的篇幅较长,所给条件零散杂乱,为此, 不仅需要划分段落层次, 弄清每一层次独立的含义和相互间的关系, 更需要抓住矛盾的主要 方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡” 、 “还清所有债务” ,不难想到, 均与“利润” 相关. 从阅读和以上分析,可以达成我们对题目的整体理解,明确这是一道函数型应用题.为 此,首先应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系,然后, 通过研究解析式,来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量,所以,先考虑月利润. 解: (1)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则

S ? q ? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 .

又由图可知: q ? ?

? ??2 p ? 140, ? ?? p ? 82

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81? ? 40 ? p ? 58 ? ?58<p ? 81?

所以, S ? ?

? ?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200

由已知,当 p ? 52 时, S ? 0 ,即

? ?2 p ?140?? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 ? 0 ,
解得 m ? 50 .即此时该店有 50 名职工. (2)若该店只安排 40 名职工,则月利润

? ?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 S ?? ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200

? 40 ? p ? 58? . ? 58<p ? 81?

当 40 ? p ? 58 时,求得 p ? 55 时,S 取最大值 7800 元. 当 58 ? p ? 81 时,求得 p ? 61 时,S 取最大值 6900 元. 综上,当 p ? 55 时,S 有最大值 7800 元. 设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n ? 7800 ? 268000 ? 200000 ? 0 . 解得 n ? 5 . 所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. 点评:求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关 键词、句,理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.


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