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2014-2015学年江苏省扬州市高邮市界首中学高一(上)期末数学模拟试卷(三)

时间:2015-09-14


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2014-2015 学年江苏省扬州市高邮市界首中学高一 (上)期末数学模拟试卷(三)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)tan600°的值是 _________ . 2. (5 分)函数 的周期是 _________ .

3. (5 分)若角 θ 的终边过点 P(4a,﹣3a) (a<0) ,则 cosθ= 4. (5 分)若 cosθ>0,sin2θ<0,则角 θ 的终边位于第 5. (5 分)已知 tanα=3,π<α< ,则 cosα﹣sinα=

_________ .

_________ 象限. _________ .

6. (5 分) 函数 ( f x) =tanwx (w>0) 的图象的相邻两支截直线 y=2 所得的线段长为

, 则( f

) 的值是

_________ .

7. (5 分)函数 y=4sin x+6cosx﹣6(﹣

2

≤x≤ π)的值域 _________ .

8. (5 分)函数

的定义域为

_________ .

9. (5 分)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等 于= _________ .

10. (5 分)函数 f (x)=

的单调递增区间为 _________ .

11. (5 分)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数.给出下列三个函数:f1 (x)=sinx+cosx,f2(x)= ,f3(x)=sinx,试写出一对“同形”函数是 _________ . 12. (5 分) (2005?上海)函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 _________ . 13. (5 分) (2006?福建)已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间 是 _________ .
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上的最小值是﹣2,则 ω 的最小值

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www.jyeoo.com 14. (5 分)给出下列命题: ① 存在实数 α,使 sinα?cosα=1; ② 存在实数 α,使 ③ 函数 ④ 是函数 ; 是偶函数; 的一条对称轴方程;

⑤ 若 α、β 是第一象限的角,且 α>β,则 sinα>sinβ; 其中正确命题的序号是 _________ . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)写出与﹣ 终边相同的角的集合 S,并把 S 中在﹣4π 到 4π 之间的角写出来.

16. (14 分)已知方程 sin(α﹣3π)=2cos(α﹣4π) ,求

的值.

17. (15 分)已知函数 f(x)=a﹣bcos(2x+ (1)求 a,b 的值; (2)求函数

) (b>0)的最大值为 ,最小值为﹣ .

的最小值并求出对应 x 的集合.

18. (15 分)已知扇形的周长为 30,当它的半径 R 和圆心角 α 各取何值时,扇形的面积 S 最大?并求出扇形面积的 最大值.

19. (16 分)已知函数 (1)求 f(x)的最大值和最小值; (2)若不等式﹣2<f(x)﹣m<2 在





上恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. (16 分) 函数

在同一个周期内, 当

时 y 取最大值 1, 当

时,y 取最小值﹣1. (1)求函数的解析式 y=f(x) . (2)函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图象? (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1) ,求在[0,2π]内的所有实数根之和.

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2014-2015 学年江苏省扬州市高邮市界首中学高一 (上)期末数学模拟试卷(三)
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)tan600°的值是 . 考点: 专题: 分析: 解答: 运用诱导公式化简求值. 三角函数的求值. 利用正切函数的周期性,运用诱导公式化简求值即可.
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解:tan600°=tan(180°×3+60°)=tan60°= , 故答案为: . 点评: 本题考查正切函数的周期性及诱导公式的应用,是基础题.

2. (5 分)函数

的周期是 4π .

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用正弦函数的周期公式即可求得答案. 解答: 解:∵ ,
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∴ 其周期 T=

=4π,

故答案为:4π. 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,是基础题.

3. (5 分)若角 θ 的终边过点 P(4a,﹣3a) (a<0) ,则 cosθ=



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意可得 x=4a,y=﹣3a,r=5|a|,当 a<0 时,r=﹣5a,代入三角函数的定义进行运算,综合两者可得答 案. 解答: 解:∵ :∵ 角 θ 的终边过点 P(4a,﹣3a) (a≠0) , ∴ x=﹣4a,y=3a,r=5|a|.a<0,r=﹣5a.
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cosθ=

=



故答案为:﹣ . 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,本题解题的关键是求出 r 值,首先用绝对值 来表示.

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www.jyeoo.com 4. (5 分)若 cosθ>0,sin2θ<0,则角 θ 的终边位于第 考点: 专题: 分析: 解答:

四 象限.

象限角、轴线角;三角函数值的符号. 三角函数的图像与性质. 由题意可得 cosθ>0,sinθ<0,根据三角函数在各个象限中的符号,得出结论. 解:由于 cosθ>0,可得 θ 为第一、第四象限角,或 θ 的终边在 x 轴的非负半轴上. 再由 sin2θ=2sinθcosθ<0,可得 sinθ<0,故 θ 是第三、第四象限角,或 θ 的终边在 y 轴的非正半轴上. 综上可得,角 θ 的终边位于四象限, 故答案为 四. 点评: 本题主要考查象限角、象限界角的定义,三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.
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5. (5 分)已知 tanα=3,π<α<

,则 cosα﹣sinα=



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 tanα 的值及 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 与 sinα 的值,代入原式计算即可. 解答: 解:∵ tanα=3,π<α< ,
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∴ cosα=﹣

=﹣

,sinα=﹣

=﹣



则 cosα﹣sinα=﹣ 故答案为:

+

=



点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

6. (5 分) 函数 f (x) =tanwx (w>0) 的图象的相邻两支截直线 y=2 所得的线段长为

, 则f (

) 的值是



考点: 正切函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得函数的周期为
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=

,求得 ω=8,可得 f(x)=tan8x,由此求得 f(

)的值. ,

解答:

解:∵ 函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2 所得的线段长为 故函数的周期为 ∴ f( )=tan = ,∴ ω=8,f(x)=tan8x, =﹣ ,

=﹣tan

故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查正切函数的图象和性质,求得 ω=8,是解题的关键,属于基础题. 7. (5 分)函数 y=4sin x+6cosx﹣6(﹣
2

≤x≤ π)的值域 [﹣6, ]



考点: 函数的值域.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 2 2 2 化简 y=4sin x+6cosx﹣6=4﹣4cos x+6cosx﹣6=﹣4(cosx﹣ ) + ,从而求函数的值域. 解答: 解:y=4sin2x+6cosx﹣6 2 =4﹣4cos x+6cosx﹣6 =﹣4(cosx﹣ ) + , ∵ ﹣ ≤x≤ π,
2

∴ ﹣ ≤cosx≤1, 故﹣6≤﹣4(cosx﹣ ) + ≤ , 故答案为:[﹣6, ]. 点评: 本题考查了函数的值域的求法,属于基础题. ) ,k∈Z .
2

8. (5 分)函数

的定义域为

(2k

,2kπ

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 计算题;函数的性质及应用.
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要使函数有意义,则需 ﹣2cosx>0,由余弦函数的图象和性质,即可得到定义域. 解:要使函数有意义,则需 ﹣2cosx>0,即有 cosx< 则有 2k <x<2kπ ,2kπ ,2kπ , ,k∈Z ) ,k∈Z ) ,k∈Z

则定义域为(2k 故答案为: (2k

点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意对数的真数大于 0,考查余弦函数的图象和性质,属于基础题. 9. (5 分)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等 于= .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的三角函数的图象,可以看出函数的振幅和周期,根据周期公式求出 ω 的值,写出三角函数的形 式,根据函数的图象过点(2,2) ,代入点的坐标,整理出初相,点的函数的解析式,根据周期是 8 和特殊 角的三角函数求出结果. 解答: 解:由图可知函数 f(x)的振幅 A=2,周期为 8,
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www.jyeoo.com ∴ 8= ∴ ω= y=2sin( x+φ)

∵ 函数的图象过点(2,2) ∴ 2=2sin(2× ∴ cosφ=1 ∴ φ=2kπ 当 k=0 时,φ=0 ∴ 三角函数的解析式是 y=2sin x +φ)=2sin( +φ)=2cosφ

∵ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0 ∴ f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=2sin +2sin +…+2sin =2+2

故答案为:2+2 点评: 本题考查根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定函数的解析式,考查特殊角的三角函数值,本题解题的关键 是看出要求结果的前八项之和等于 0, 要理解好函数的中的周期、 振幅、 初相等概念, 本题是一个中档题目.

10. (5 分)函数 f (x)=

的单调递增区间为

,k∈Z .

考点: 对数函数的定义域;余弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 利用复合函数的单调性的规律: 同增异减将原函数的单调性转化为 t 的单调性, 利用三角函数的单调性的处 理方法:整体数学求出单调区间. 解答: 解:∵ y=log0.5t 为减函数,
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所以函数 f (x)=

的单调递增区间为即为

单调减区间

且 令 解得 故答案为 (k∈Z)

点评: 本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法. 11. (5 分)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数.给出下列三个函数:f1 (x)=sinx+cosx,f2(x)= ,f3(x)=sinx,试写出一对“同形”函数是 f1(x)=sinx+cosx,f2(x) = . 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

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www.jyeoo.com 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数的平移的法则可知函数 f1(x)= 向上平移 解答: 个单位得到函数 f(x)= sin(x+ sinx+

sin(x+

)先向右平移

个单位得 f1(x)=

sinx,再

,这一函数正好与② 中的函数重合. 个单位得 f1(x)= sinx,再向上平移 个单位得

解:① f1(x)=sinx+cosx=

)先向右平移

到函数② f2(x)= sinx+ ,这一函数正好与② 中的函数重合. 故答案为:f1(x)=sinx+cosx,f2(x)= . 点评: 本题主要考查了三角函数的图象的变换.考查了学生对三角函数基础知识的掌握的熟练程度. 12. (5 分) (2005?上海)函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 (1,3) . 考点: 正弦函数的图象. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据 sinx≥0 和 sinx<0 对应的 x 的范围,去掉绝对值化简函数解析式,再由解析式画出函数的图象,由图象 求出 k 的取值范围. 解答: 解:由题意知, ,
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在坐标系中画出函数图象: 由其图象可知当直线 y=k,k∈(1,3)时, 与 f(x)=sinx+2|sinx|, x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点. 故答案为: (1,3) .

点评: 本题的考点是正弦函数的图象应用,即根据 x 的范围化简函数解析式,根据正弦函数的图象画出原函数的 图象,再由图象求解,考查了数形结合思想和作图能力.

13. (5 分) (2006?福建)已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间 是 .

上的最小值是﹣2,则 ω 的最小值

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据函数在区间

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上的最小值是﹣2 确定 ωx 的取值范围,进而可得到



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www.jyeoo.com ,求出 ω 的范围得到答案. 解答: 解:函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间 则 ωx 的取值范围是 当 ωx=﹣ ∴ ﹣ ∴ ≤ω, ∴ ω 的最小值等于 . 故答案为: . 点评: 本题主要考查正弦函数的最值的应用.考查基础知识的运用能力.三角函数式高考的重要考点,一定要强 化复习. 14. (5 分)给出下列命题: ① 存在实数 α,使 sinα?cosα=1; ② 存在实数 α,使 ③ 函数 ④ 是函数 ; 是偶函数; 的一条对称轴方程; 时,函数有最小值﹣2, , , 上的最小值是﹣2,

≤﹣

⑤ 若 α、β 是第一象限的角,且 α>β,则 sinα>sinβ; 其中正确命题的序号是 ③ ④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: 由二倍角的正弦公式结合正弦的最大值为 1, 可得① 不正确; 利用辅助角公式, 可得 sinα+cosα 的最大值为
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小于 , 故② 不正确; 用诱导公式进行化简, 结合余弦函数是 R 上的偶函数, 得到③ 正确; 根据 y=Asin (ωx+?) 图象对称轴的公式,可得④ 正确;通过举出反例,得到⑤ 不正确.由此得到正确答案. 解答: 解:对于① ,因为 sinα?cosα= sin2α 对于② ,因为 说明不存在实数 α,使 对于③ ,因为 确; 对于④ ,当 时,函数 的值为 =﹣1 为最小值, ,故不存在实数 α,使 sinα?cosα=1,所以① 不正确; ≤ ,而 ,

,所以② 不正确; ,而 cosx 是偶函数,所以函数 是偶函数,故③ 正

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www.jyeoo.com 故 是函数 、β= 的一条对称轴方程,④ 正确; 时,都是第一象限的角,且 α>β,

对于⑤ ,当 α= 但 sinα= <

=sinβ,故⑤ 不正确.

故答案为:③ ④ 点评: 本题以命题真假的判断为载体,考查了二倍角的正弦公式、三角函数的奇偶性和图象的对称轴等知识,属 于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)写出与﹣ 终边相同的角的集合 S,并把 S 中在﹣4π 到 4π 之间的角写出来.

考点: 终边相同的角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据题意写出 S,根据 β 的范围,分别令 k=﹣1,0,1,2 即可求出相应元素 β 的值; 解答: 解:根据题意得:S={x|x=2kπ﹣ ,k∈Z},
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又∵ ﹣4π≤β<4π,k=﹣1,0,1,2 ∴ β= , , , .

点评: 此题考查终边相同的角,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

16. (14 分)已知方程 sin(α﹣3π)=2cos(α﹣4π) ,求

的值.

考点: 专题: 分析: 解答:

运用诱导公式化简求值. 计算题;三角函数的求值. 利用三角函数的诱导公式可求得 sinα=﹣2cosα,再将所求关系式化简整理即可求得其值. 解:∵ sin(α﹣3π)=2cos(α﹣4π) ∴ ﹣sin(3π﹣α)=2cos(4π﹣α) ∴ ﹣sin(π﹣α)=2cos(﹣α) ∴ sinα=﹣2cosα 且 cosα≠0…(6 分)
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∴ 原式=

=

=

=﹣ …(12 分)

点评: 本题考查三角函数的诱导公式及化简求值,熟练掌握诱导公式是化简的关键,属于中档题.

17. (15 分)已知函数 f(x)=a﹣bcos(2x+ (1)求 a,b 的值; (2)求函数

) (b>0)的最大值为 ,最小值为﹣ .

的最小值并求出对应 x 的集合.

考点: 余弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)根据余弦函数的性质可分别表示出函数的最大和最小值,进而联立方程气的 a 和 b 的值.
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www.jyeoo.com (2)根据(1)中求得 a 和 b 的值,得到函数的解析式,根据 x 的范围确定 x﹣ 的性质求得最小值和对应的 x 的集合. 解答: 解: (1) ∵ b>0 的范围,利用正弦函数

∴ ﹣b<0,

;∴

(7 分)

(2)由(1)知: ∴ 对应 x 的集合为 ∴ g(x)∈[﹣2,2]∴ g(x)的最小值为﹣2 (14 分)

点评: 本题主要考查了三角函数的最值问题,三角函数的单调性和值域问题.考查了学生综合分析问题和基本的 运算能力. 18. (15 分)已知扇形的周长为 30,当它的半径 R 和圆心角 α 各取何值时,扇形的面积 S 最大?并求出扇形面积的 最大值. 考点: 扇形面积公式;弧长公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 2 首先,首先,设扇形的弧长,然后,建立关系式,求解 S= lR=﹣R +15R,结合二次函数的图象与性质求
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解最值即可. 解答: 解:设扇形的弧长为 l, ∵ l+2R=30, ∴ S= lR= (30﹣2R)R =﹣R +15R =﹣(R﹣ ∴ 当 R= )+
2 2

, ,

时,扇形有最大面积

此时 l=30﹣2R=15,α= =2, 答:当扇形半径为 ,圆心角为 2 时,扇形有最大面积 .

点评: 本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题.

19. (16 分)已知函数 (1)求 f(x)的最大值和最小值; (2)若不等式﹣2<f(x)﹣m<2 在





上恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 三角函数的最值.

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www.jyeoo.com 专题: 三角函数的求值;不等式的解法及应用. 分析: (1)由 x 的范围求出 的范围,进一步得到 最小值;

的范围,从而得到 f(x)的最大值和

(2) 由 (1) 中求得的 ( f x) 的范围得到 2﹣m≤( f x) ﹣m≤3﹣m, 再由不等式﹣2<( f x) ﹣m<2 在 上恒成立,利用两不等式端点值间的关系列不等式组求解 m 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴ 故 f(x)的最大值为 3,最小值为 2; (2)由(1)知,当 要使﹣2<f(x)﹣m<2 在 时,2﹣m≤f(x)﹣m≤3﹣m, 上恒成立, ,∴ , , ,

只需

,解得 1<m<4,

∴ 实数 m 的取值范围是(1,4) . 点评: 本题考查了三角函数值的求法,考查了数学转化思想方法,体现了集合思想在解题中的应用,是中档题.

20. (16 分) 函数

在同一个周期内, 当

时 y 取最大值 1, 当

时,y 取最小值﹣1. (1)求函数的解析式 y=f(x) . (2)函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图象? (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1) ,求在[0,2π]内的所有实数根之和. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (1)通过同一个周期内,当 时 y 取最大值 1,当

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时,y 取最小值﹣1.求出函数的周期,利用

最值求出 φ,即可求函数的解析式 y=f(x) . (2)函数 y=sinx 的图象经过左右平移,然后是横坐标变伸缩变换,纵坐标不变,可得到 y=f(x)的图象, 确定函数解析式. (3)确定函数在[0,2π]内的周期的个数,利用 f(x)=a(0<a<1)与函数的对称轴的关 系,求出所有实数根之和. 解答: 解: (1)∵ ∴ ω=3, 又因 ∴ ∴ 函数 ,又 ; , ,得 ,

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www.jyeoo.com (2)y=sinx 的图象向右平移 再由 象, (3)∵ ∴ ∴ 同理, 故所有实数之和为 的周期为 , 个单位得 的图象, 的图

图象上所有点的横坐标变为原来的 .纵坐标不变,得到

在[0,2π]内恰有 3 个周期, 在[0,2π]内有 6 个实根且 , .

点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,正弦函数的图象,考查数形结合的思想,考查计算能力,是中 档题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:wfy814;qiss;caoqz;sllwyn;whgcn;lgh;双曲线;涨停;wdnah;1457446928; gongjy;wsj1012;ywg2058;wubh2011;csyzzhy211-211;sxs123(排名不分先后)
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