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2015-2016学年高中数学 1.4.2含有一个量词的命题的否定课件 新人教A版选修2-1


1.4.2

含有一个量词的命题的否定

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1.能正确的对含有一个量词的命题进行否定. 2.知道全称命题的否定是特称命题,特称命题的 否定是全称命题.

研 题 型 学 习 法

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题型一

全称命题的

否定

例1 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)任何一个平行四边形的对边都平行;
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(4)负数的平方是正数.
解析:(1)是全称命题且为真命题. 命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一 个三角形,且它的内角和不等于180°.

(2)是全称命题且为假命题. 命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不 向下. (3)是全称命题且为真命题. 命题的否定:存在一个平行四边形的对边不都 平行.
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(4)是全称命题且为真命题.
命题的否定:某个负数的平方不是正数.

规律方法:(1)全称命题的否定是特称命题.因为 要否定全称命题“?x∈M,p(x)成立”,只需在M 中找到一个x,使得p(x)不成立,即“?x0∈M,綈 p(x0)成立”. (2)要证明一个全称命题是假命题,只需举一个反 例.
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(3)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千 万不要将否定写成“是”或“不是”,如例1第(4) 小题,将否定写成“负数的平方不是正数”就错 了,因为这个命题也是全称命题,是假命题.

?变式训练
1.写出下列命题的否定: (1)三个给定产品都是次品;

(2)数列:1,2,3,4,5中的每一项都是偶数;
(3)?a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (4)可以被5整除的整数,末位是0. 解析:(1)三个给定产品中至少有一个是正品. (2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数. (3)?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或无解. (4)存在被5整除的整数,末位不是0.
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题型二 例2

特称命题的否定

写出下列特称命题的否定,并判断其真假:

(1)有些实数的绝对值是正数;(2)某些平行四边形是菱 形; (3)?x0∈R,x+1<0;(4)?x0,y∈Z,使得x0+y=3. 解析:(1)命题的否定是:“不存在一个实数,它的绝 对值是正数”.也即“所有实数的绝对值都不是正 数”.由于|-2|=2.因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定是:“没有一个平行四边形是菱形”, 也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是 平行四边形,因此命题的否定是假命题.

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(3)命题的否定是:“不存在 x∈R,x2+1<0”,也即“?x∈ R, x2+1≥0”.由于 x2+1≥1>0,因此命题的否定是真命题. (4)命题的否定是:“?x,y∈Z, 2x+ y≠3”. ∵当 x=0,y=3 时, 2x+ y=3, 因此命题的否定是假命题.
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规律方法: (1)特称命题的否定是全称命题, 要否定特称命题“? x0∈M,p(x0)成立”,需要验证对 M 中的每一个 x,均有 p(x)不成立, 也就是说“?x∈M,綈 p(x)成立”. (2)要证明特称命题是真命题,只需要找到一个使 p(x)成立的条 件即可. (3)只有“存在”一词是量词时, 它的否定才是“任意”, 当“存 在”一词不是量词时,它的否定是“不存在”.例如:三角形存在外 接圆.这个命题是全称命题,量词“所有的”被省略了,所以,这个 命题的否定是:有些三角形不存在外接圆.
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?变式训练 2.写出下列特称命题的否定,并判断其真假. (1)p:?x0>1,使x-2x0-3=0; (2)p:若an=-2n+1,则?n∈N,使Sn<0; (3)p:有些偶数是质数;
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(4)p:?x0∈R,x0>2;
(5)p:?x0∈R,x<0.

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题型三 全称命题、特称命题的综合应用
例 3 若 p:sin x+cos x>m,q:x2+mx+1>0,如果?x∈R, p 为假命题且 q 为真命题,求实数 m 的取值范围.
? π? 栏 解析:由于 sin x+cos x= 2sin?x+ ?∈[- 2, 2],所以如果 目 4? ? 链

对任意的 x∈R,p 为假命题,即对任意的 x∈R,不等式 sin x+ cos x >m 恒不成立,所以 m> 2.又对任意的 x∈R,q 为真命题,即对任 意的 x∈R,不等式 x2+mx+1>0,所以Δ=m2-4<0,即-2<m <2.故如果对任意的 x∈R,p 为假命题且 q 为真命题,应有 2<m< 2.



规律方法:全称命题为真,意味着对限定集合 中的每一个元素都具有某些性质,因此属于恒 成立问题,因而可以根据题设条件列出方程或 不等式解决问题.

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?变式训练 3.已知命题 p:“对?x∈R,?m∈R,使 4x+2xm+1=0”.若 命题綈 p 是假命题,则实数 m 的取值范围是( A.-2≤m≤2 B.m≥2 C.m≤-2 D.m≤-2 或 m≥2 解析:綈 p 是假命题,则 p 是真命题,由 4x+2xm+1=0 得,
? x 1? m=-?2 + x ?≤-2 2? ?

)
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1 2 · x=-2,∴ m≤-2. 2
x

答案:C

析疑难 提 能 力
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混淆命题的否定与否命题而致误. 【典例】 (2014· 临沂高二检测)命题“任意 x∈R,若 y>0,则 x2+y>0”的否定是________________________________________. 解析:已知命题是一个全称命题,其否定为特称命题,先将“任 意”换成“存在”再否定结论,即命题的否定是:存在 x0∈R,若 y >0,则 x2 0+ y≤ 0. 答案:存在 x0∈R,若 y>0,则 x2 0+ y≤ 0 【易错剖析】本题易得错误结论:“存在 x0∈R,若 y≤0,则 x2 0+ y≤0”.混淆了命题的否定与否命题两个概念,将“ y>0”也作 了否定而导致了错解.
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